popularyzatorski opis rezultatów projektu

Nr wniosku: 190355, nr raportu: 18763. Kierownik (z rap.): prof. dr hab. Zbigniew Bogdan Lonc
Oryginalną motywację badań podjętych w projekcie stanowił następujący problem, który pojawił się w związku z
potrzebą optymalizacji przetwarzania pewnych dużych zbiorów danych. Przypuśćmy, że obliczamy wartości jakiejś 2argumentowej funkcji, której argumentami są pewne bardzo duże obiekty (mogą to być na przykład zdjęcia medyczne).
Zbiór A tych obiektów przechowywany jest w odległej bazie danych, zaś lokalna pamięć naszego komputera może
zmieścić jedynie co najwyżej k+1 takich obiektów. Załóżmy, że mamy obliczyć wartości naszej funkcji dla wszystkich
par obiektów z A i że obiekty te są ściągane do naszego komputera według zasady ,,first-in-first-out''. Ponieważ ściąganie
obiektów z odległej bazy danych jest kosztowne, chodzi o to, aby zminimalizować liczbę tych ściągnięć. Nietrudno
zauważyć, że optymalny scenariusz ściągania obiektów z bazy danych do lokalnej pamięci naszego komputera jest
opisany przez najkrótszy ciąg, którego wyrazami są obiekty z A, taki że każda para obiektów pojawia się co najmniej raz
w odległości nie przekraczającej k. Takie ciągi były jednym z głównych obiektów badanych w ramach projektu.
Dla pewnych wartości parametrów k i n (gdzie n to liczba elementów zbioru A) znaleźliśmy dokładnie najkrótsze takie
ciągi. W ogólnym przypadku pokazaliśmy rozwiązania będące bardzo dobrym przybliżeniem optymalnych.
Rozważaliśmy także problem dualny polegający na znalezieniu jak najdłuższych ciągów, w których żadna para różnych
elementów z A nie występuje więcej niż raz w odległości nie przekraczającej k, uzyskując podobne wyniki. Znaleźliśmy
powiązania tych problemów w pewnymi klasycznymi i pozornie odległymi problemami kombinatorycznymi, takimi jak
zagadnienia dotyczące zbiorów różnicowych Singera i rodzin różnicowych.
Te problemy dotyczące ciągów dają się uogólnić do problemów z zakresu achromatycznych i harmonijnych pokolorowań
hipergrafów t-jednorodnych czyli rodzin H złożonych z pewnych t-elementowych podzbiorów jakiegoś skończonego
zbioru X. Pokolorowanie elementów zbioru X nazywamy achromatycznym (odpowiednio harmonijnym), jeśli każdy
zbiór należący do H ma wszystkie swoje elementy pokolorowane różnymi kolorami i każdy zestaw t różnych kolorów
występuje na co najmniej (odpowiednio co najwyżej) jednym zbiorze z H. Jednym z głównych wyników uzyskanych w
ramach projektu jest twierdzenie mówiące, że dla „dużych” hipergrafów t-jednorodnych spełniających pewne dodatkowe
warunki, największa możliwa liczba kolorów w pokolorowaniu achromatycznym jest bliska najmniejszej możliwej liczbie
kolorów w pokolorowaniu harmonijnym. Jest to wynik dotyczący bardzo ogólnej struktury kombinatorycznej – w
konsekwencji w szczególnych przypadkach daje interesujące wnioski odnoszące się do wielu innych problemów
kombinatorycznych.
Inny rezultat uzyskany w ramach projektu łączy się z oryginalną motywacją tej problematyki opisaną w pierwszym
akapicie. Zakładamy mianowicie, że wartości naszej funkcji, której argumentami są duże obiekty, nie muszą być
obliczone dla wszystkich par tych obiektów, lecz tylko dla niektórych. Poszukujemy najkrótszego ciągu, w którym tylko
te niektóre pary obiektów muszą pojawić się w odległości nie przekraczającej k. Podaliśmy bliskie optymalnemu
rozwiązanie tego problemu w naturalnym przypadku, gdy zbiór tych par ma strukturę opisaną przez tzw. graf dwudzielny
pełny.