Ekonometria - Przepływy miedzygałeziowe. Model Leontiefa.

Transkrypt

Przepływy międzygałęziowe
Model Leontiefa
Ekonometria
Przepływy międzygałęziowe. Model Leontiefa.
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
1 / 22
Model Leontiefa
Outline
1
2
Model Leontiefa
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
2 / 22
Model Leontiefa
Oznaczenia i definicje
Numeracja gałęzi: i, j = 1, 2, . . . , n.
Produkcja globalna i-tej gałęzi: Xi .
Przepływ z i-tej do j-tej gałęzi: xi,j .
Produkcja końcowa w i-tej gałęzi: Yi .
Amortyzacja środków trwałych w j-tej gałęzi: Aj .
Koszty związane z zatrudnieniem w j-tej gałęzi: x0j .
Zysk j-tej gałęzi: Zj .
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
3 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM
Jakub Mućk
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
Ekonometria
Ćwiczenia 10
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
Yi
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
4 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Yi
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
Xi - produkcja globalna i-tej gałęzi.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
4 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Yi
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
xi,j - przepływ z i-tej do j-tej gałęzi.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
4 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Yi
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
Yi - produkcja końcowa w i-tej gałęzi.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
4 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Yi
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
Aj - amortyzacja środków trwałych w j-tej gałęzi.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
4 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Yi
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
x0j - koszty związane z zatrudnieniem w j-tej gałęzi.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
4 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Yi
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
Zj - zysk w j-tej gałęzi.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
4 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
W gospodarce są tylko 2 sektory (sektor I oraz sektor II).
W sektorze I wykorzystano 50j wyprodukowanych w tym sektorze oraz 20j
z sektora II.
W sektorze II wykorzystano 20j wyprodukowanych w sektorze I oraz 40j w
sektorze II.
Amortyzacja wyniosła 3j w każdym sektorze.
Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j, a zysk
odpowiednio 15j oraz 19j.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
5 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
2
Yj
W gospodarce są tylko 2 sektory (sektor I oraz sektor II).
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
6 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
xij
1
2
50
20
Yj
W sektorze I wykorzystano 50j wyprodukowanych w tym sektorze oraz 20j
z sektora II.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
6 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
2
20
40
Yj
W sektorze II wykorzystano 20j wyprodukowanych w sektorze I oraz 40j w
sektorze II.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
6 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
2
20
40
3
Yj
Amortyzacja wyniosła 3j w każdym sektorze.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
6 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
2
20
40
3
18
Yj
Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j,
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
6 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
2
20
40
3
18
19
Yj
Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j, a zysk
odpowiednio 15j oraz 19j.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
6 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Można uzupełnić produkt końcowy, który dla każdej gałęzi wynosi 100.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
6 / 22
Model Leontiefa
Zużycie pośrednie, popyt pośredni (suma elementów i-tego wiersza):
n
X
xi,j
(1)
j=1
Równanie podziału produkcji globalnej:
Xi =
n
X
xi,j
+
j=1
Y
i
|{z}
(2)
popyt końcowy
| {z }
popyt pośredni
Koszty materiałowe dla j-tej gałęzi:
n
X
xi,j
(3)
xi,j + Aj
(4)
i=1
Koszty materialne dla j-tej gałęzi:
n
X
i=1
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
7 / 22
Model Leontiefa
Łączny koszt produkcji:
n
X
xi,j + Aj + x0,j
(5)
i=1
Zysk dla j-tej gałęzi:
Zj = Xj −
n
X
xi,j + x0,j + Aj
(6)
i=1
Produkcja czysta (VA) lub wartość dodana:
Dj = x0,j + Zj = Xj −
n
X
xi,j
(7)
i=1
Wartość dodana brutto:
DjBrutto = Dj + Aj
Równanie kosztów:
Xj =
n
X
(8)
xi,j + Aj + x0,j + Zj
(9)
i=1
Warunek równowagi ogólnej:
n X
j=1
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
Aj + x0,j + Zj
=
n
X
Yi
(10)
i=1
8 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
Jakub Mućk
Ekonometria
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
Ćwiczenia 10
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Koszty materiałowe
I sektor: 50 + 20 = 70
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Koszty materiałowe
I sektor: 50 + 20 = 70
II sektor: 20 + 40 = 60
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Koszty materialne
I sektor: 50 + 20 + 3 = 73
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Koszty materialne
I sektor: 50 + 20 + 3 = 73
II sektor: 20 + 40 + 3 = 63
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Łączny koszt produkcji
I sektor: 50 + 20 + 3 + 12 = 85
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Łączny koszt produkcji
I sektor: 50 + 20 + 3 + 12 = 85
II sektor: 20 + 40 + 3 + 18 = 81
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Wartość dodana (produkcja czysta)
I sektor: D1 = 12 + 15 = 27
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Wartość dodana (produkcja czysta)
I sektor: D1 = 12 + 15 = 27
II sektor: D2 = 18 + 19 = 37
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Wartość dodana brutto
I sektor: D1brutto = 12 + 15 + 3 = 30
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Wartość dodana brutto
I sektor: D1brutto = 12 + 15 + 3 = 30
II sektor: D2brutto = 18 + 19 + 3 = 40
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
9 / 22
Model Leontiefa
Rachunki narodowe
Produkt Krajowy Brutto (PKB):
PKB =
n
X
(Aj + x0j + Zj )
(11)
i=j
Produkt Krajowy Netto (PKN):
PKN =
n
X
(x0j + Zj )
(12)
i=j
Saldo Hanlu Zagranicznego (SHZ)
SHZ = EX − IM
(13)
gdzie EX to eksport, a IM to import.
Dochód Narodowy Brutto (DNB):
DNB = PKB − SHZ
(14)
Dochód Narodowy Netto (DNN):
DNN = PKN − SHZ
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
(15)
10 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM (cd.)
Jakub Mućk
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
Ekonometria
Ćwiczenia 10
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
Yi
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
11 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM (cd.)
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Yi
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
Produkt Krajowy Brutto (PKB):
PKB =
n
X
(Aj + x0j + Zj )
i=j
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
11 / 22
Model Leontiefa
Przykład TPM (cd.)
i
Xi
1
2
1
2
3
..
.
n
X1
X2
X3
..
.
Xn
Aj
x0j
Zj
Xj
x1,1
x2,1
x3,1
..
.
xn,1
A1
x0,1
Z1
X1
x1,2
x2,2
x3,2
..
.
xn,2
A2
x0,2
Z2
X2
xij
3
x1,3
x2,3
x3,3
..
.
xn,3
A3
x0,3
Z3
X3
...
...
...
...
..
.
...
...
...
...
...
n
x1,n
x2,n
x3,n
..
.
xn,n
An
x0,n
Zn
Xn
Yi
Y1
Y2
Y3
..
.
Yn
Produkt Krajowy Netto (PKB):
PKN =
n
X
(x0j + Zj )
i=j
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
11 / 22
Model Leontiefa
Efektywność procesów gospodarczych
Współczynnik materiałochłonności:
Pn
x
i=1 ij
mj =
Xj
(16)
Współczynnik płacochłonności:
x0j
Xj
(17)
Zj
Xj − Zj
(18)
pj =
Rentowność:
rj =
Rentowność brutto:
rjBrutto =
Zj + Aj
Xj − (Zj + Aj )
(19)
Wydajność pracy:
ωj =
Xj
Lj
(20)
Współczynnik importochłonności:
mjimport =
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
ximp,j
Xj
(21)
12 / 22
Model Leontiefa
xij
Jakub Mućk
Ekonometria
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
Ćwiczenia 10
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
13 / 22
Model Leontiefa
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
I sektor: m1 = (50 + 20)/100 = 0.7 = 70%
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
13 / 22
Model Leontiefa
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
I sektor: m1 = (50 + 20)/100 = 0.7 = 70%
II sektor: m2 = (20 + 40)/100 = 0.6 = 60%
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
13 / 22
Model Leontiefa
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
I sektor: p1 = 12/100 = 0.12 = 12%
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
13 / 22
Model Leontiefa
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
I sektor: p1 = 12/100 = 0.12 = 12%
II sektor: p2 = 18/100 = 0.18 = 18%
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
13 / 22
Model Leontiefa
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Rentowność:
I sektor: r1 = 15/(100 − 15) ≈ 17.6%
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
13 / 22
Model Leontiefa
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Rentowność:
I sektor: r1 = 15/(100 − 15) ≈ 17.6%
II sektor: r2 = 19/(100 − 19) ≈ 23.5%
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
13 / 22
Model Leontiefa
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Rentowność brutto
I sektor: r1Brutto = (15 + 3)/(100 − 15 − 3) ≈ 22.0%
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
13 / 22
Model Leontiefa
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
Rentowność brutto
I sektor: r1Brutto = (15 + 3)/(100 − 15 − 3) ≈ 22.0%
II sektor: r2Brutto = (19 + 3)/(100 − 19 − 3) ≈ 28.2%
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
13 / 22
Model Leontiefa
Outline
1
2
Model Leontiefa
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
14 / 22
Model Leontiefa
Macierz struktury kosztów i macierz Leontiefa
Macierz struktury kosztów A (relacji input-output):

A = [aij ] =
xij
Xj



=
x1,1
X1
x2,1
X1
x1,2
X2
x2,2
X2
xn,1
X1
xn,2
X2
..
.
..
.
...
...
..
.
...
x1,n
Xn
x2,n
Xn
..
.
xn,n
Xn





(22)
gdzie aij to udział materiałów i-tej gałęzi wykorzystanych w produkcji j-tej
gałęzi.
Zależność pomiędzy macierzą struktury kosztów a współczynnikiem materiałochłonności:
mj =
n
X
ai,j
(23)
i=1
Macierz Leontiefa:
L =I −A
(24)
Jeśli każde mi < 0 to wtedy macierz Leontiefa jest nieosobliwa.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
15 / 22
Model Leontiefa

A = [aij ] =
xij
Xj



=
x1,1
X1
x2,1
X1
x1,2
X2
x2,2
X2
xn,1
X1
xn,2
X2
..
.
..
.
...
...
..
.
...
x1,n
Xn
x2,n
Xn
..
.
xn,n
Xn





(22)
gałęzi.
mj =
n
X
ai,j
(23)
i=1
Macierz Leontiefa:
L =I −A
(24)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
15 / 22
Model Leontiefa

A = [aij ] =
xij
Xj



=
x1,1
X1
x2,1
X1
x1,2
X2
x2,2
X2
xn,1
X1
xn,2
X2
..
.
..
.
...
...
..
.
...
x1,n
Xn
x2,n
Xn
..
.
xn,n
Xn





(22)
gałęzi.
mj =
n
X
ai,j
(23)
i=1
Macierz Leontiefa:
L =I −A
(24)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
15 / 22
Model Leontiefa

A = [aij ] =
xij
Xj



=
x1,1
X1
x2,1
X1
x1,2
X2
x2,2
X2
xn,1
X1
xn,2
X2
..
.
..
.
...
...
..
.
...
x1,n
Xn
x2,n
Xn
..
.
xn,n
Xn





(22)
gałęzi.
mj =
n
X
ai,j
(23)
i=1
Macierz Leontiefa:
L =I −A
(24)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
15 / 22
Model Leontiefa
Model Leontiefa
Założenie: relacja input-output, wyrażona macierzą A, jest stała w czasie.
Wtedy:

 




=


X1
X2
.
.
.
Xn
=
 
x1,1 + x1,2 + . . . + x1,n + Y1
x2,1 + x2,2 + . . . + x2,n + Y2
.
.
.
xn,1 + xn,2 + . . . + xn,n + Yn

a1,1 X1 . . . + a1,n Xn + Y1
a2,1 X1 + . . . + a2,n Xn + Y2
.
.
.
an,1 X1 + . . . + an,n Xn + Yn

=
 
a1,1
a2,1
.
.
.
an,1
a1,2
a2,2
.
.
.
an,2
...
...
..
.
...
=

a1,n
a2,n
.
.
.
an,n



X1
X2
.
.
.
Xn
 
+
 
Y1
Y2
.
.
.
Yn



Zapis macierzowy:
X = AX + Y
(25)
gdzie X to macierz produktu globalnego, a Y to macierz produktu końcowego.
Tożsamość dla Y :
Y = (I − A) X
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
(26)
16 / 22
Model Leontiefa
Model Leontiefa
Założenie: relacja input-output, wyrażona macierzą A, jest stała w czasie.
Wtedy:

 




=


X1
X2
.
.
.
Xn
=
 
x1,1 + x1,2 + . . . + x1,n + Y1
x2,1 + x2,2 + . . . + x2,n + Y2
.
.
.
xn,1 + xn,2 + . . . + xn,n + Yn

a1,1 X1 . . . + a1,n Xn + Y1
a2,1 X1 + . . . + a2,n Xn + Y2
.
.
.
an,1 X1 + . . . + an,n Xn + Yn

=
 
a1,1
a2,1
.
.
.
an,1
a1,2
a2,2
.
.
.
an,2
...
...
..
.
...
=

a1,n
a2,n
.
.
.
an,n



X1
X2
.
.
.
Xn
 
+
 
Y1
Y2
.
.
.
Yn



Zapis macierzowy:
X = AX + Y
(25)
gdzie X to macierz produktu globalnego, a Y to macierz produktu końcowego.
Tożsamość dla Y :
Y = (I − A) X
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
(26)
16 / 22
Model Leontiefa
Model Leontiefa (cd)
Model Leontiefa jest liniowy, a zatem addytywny i jednorodny:
(I − A) (αX1 + βX2 ) = α (I − A) X1 + β (I − A) X2 = αY1 + βY2 ,
(27)
dla α, β ∈ R oraz X1 , X2 ∈ Rn .
Wniosek: model Leontiefa można aplikować do analizy przyrostów, tj. zmian
produktu globalnego/końcowego:
L∆X = ∆Y .
(28)
Interpretacja elemetów macierz Leontiefa L, tj. Li,j : przyrost produktu końcowego w gałęzi i wynikający ze wzrostu produktu globalnego w
gałęzi j o jednostkę, ceteris paribus.
Interpretacja elemetów macierz odwrotnej do macierzy Leontiefa
−1
L−1 , tj. Li,j
: jaki przyrost produkcji globalnej w gałęzi i spowoduje wzrost
produktu końcowego w gałęzi j o jednostkę, ceteris paribus.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
17 / 22
Model Leontiefa
Prognozy a model Leontiefa
Prognozy I rodzaju: znane X (lub ∆X ) i nieznane Y (lub ∆Y ):
LX = Y .
(29)
Prognozy II rodzaju: znane Y (lub ∆Y ) i nieznane X (lub ∆X ):
L−1 Y = X .
(30)
Prognozy mieszane: znane w sumie n (liczba sektorów) wartości Y i X
(lub Y i X ).
=⇒ rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
18 / 22
Model Leontiefa
LX = Y .
(29)
L−1 Y = X .
(30)
(lub Y i X ).
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
18 / 22
Model Leontiefa
LX = Y .
(29)
L−1 Y = X .
(30)
(lub Y i X ).
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
18 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
Jakub Mućk
Ekonometria
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
Ćwiczenia 10
1
50
20
3
12
15
100
2
20
40
3
18
19
100
Yj
30
40
19 / 22
Model Leontiefa
TPM - przykład
xij
i
X
1
2
X1
X2
Aj
x0j
Zj
Xj
1
50
20
3
12
15
100
50
100
20
100
20
100
40
100
Yj
2
20
40
3
18
19
100
30
40
Macierz relacji input-output:
A=
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
=
1
2
1
2
1
5
2
5
(31)
19 / 22
Model Leontiefa
O ile zmieni się produkt końcowy jeżeli produkt globalny w sektorach I i II
zmieni się odpowiednio o α i β (α, β ∈ R)?
Korzystamy z prognozy pierwszego rodzaju
L∆X = ∆Y .
gdzie ∆X = [α, β ]T .
Macierz Leontiefa:
L =I −A=
1
0
0
1
−
1
2
1
2
1
5
2
5
=
1
2
− 12
− 15
3
5
(32)
Ostatecznie prognoza I rodzaju:
∆Y =
1
2
− 12
− 15
3
5
α
β
=
1
α
2
3
β
5
− 51 β
− 15 α
.
(33)
Łączna zmiana produktu końcowego wyniesie: 3/5α + 2/5β.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
20 / 22
Model Leontiefa
L∆X = ∆Y .
Macierz Leontiefa:
L =I −A=
1
0
0
1
−
1
2
1
2
1
5
2
5
=
1
2
− 12
− 15
3
5
(32)
∆Y =
1
2
− 12
− 15
3
5
α
β
=
1
α
2
3
β
5
− 51 β
− 15 α
.
(33)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
20 / 22
Model Leontiefa
L∆X = ∆Y .
Macierz Leontiefa:
L =I −A=
1
0
0
1
−
1
2
1
2
1
5
2
5
=
1
2
− 12
− 15
3
5
(32)
∆Y =
1
2
− 12
− 15
3
5
α
β
=
1
α
2
3
β
5
− 51 β
− 15 α
.
(33)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
20 / 22
Model Leontiefa
L∆X = ∆Y .
Macierz Leontiefa:
L =I −A=
1
0
0
1
−
1
2
1
2
1
5
2
5
=
1
2
− 12
− 15
3
5
(32)
∆Y =
1
2
− 12
− 15
3
5
α
β
=
1
α
2
3
β
5
− 51 β
− 15 α
.
(33)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
20 / 22
Model Leontiefa
O ile powinien się zmienić produkt globalny aby produkt końcowy w sektorach I i II zmieni się odpowiednio o γ i δ (γ, δ ∈ R)?
Korzystamy z prognozy drugiego rodzaju
L−1 ∆Y = ∆X .
gdzie ∆Y = [γ, δ]T .
Macierz odrotna do macierzy Leontiefa:
L−1 =
1
2
− 12
− 15
−1
=
3
5
30
13
10
13
10
13
25
13
(34)
Ostatecznie prognoza II rodzaju:
∆X =
30
13
10
13
10
13
25
13
γ
δ
=
30
γ
13
10
γ
13
+
+
10
δ
13
25
δ
13
.
(35)
Łączna zmiana produktu globalnego powinna wynieść: 40/13γ + 35/13δ.
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
21 / 22
Model Leontiefa
L−1 ∆Y = ∆X .
L−1 =
1
2
− 12
− 15
−1
=
3
5
30
13
10
13
10
13
25
13
(34)
∆X =
30
13
10
13
10
13
25
13
γ
δ
=
30
γ
13
10
γ
13
+
+
10
δ
13
25
δ
13
.
(35)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
21 / 22
Model Leontiefa
L−1 ∆Y = ∆X .
L−1 =
1
2
− 12
− 15
−1
=
3
5
30
13
10
13
10
13
25
13
(34)
∆X =
30
13
10
13
10
13
25
13
γ
δ
=
30
γ
13
10
γ
13
+
+
10
δ
13
25
δ
13
.
(35)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
21 / 22
Model Leontiefa
L−1 ∆Y = ∆X .
L−1 =
1
2
− 12
− 15
−1
=
3
5
30
13
10
13
10
13
25
13
(34)
∆X =
30
13
10
13
10
13
25
13
γ
δ
=
30
γ
13
10
γ
13
+
+
10
δ
13
25
δ
13
.
(35)
Jakub Mućk
Ekonometria
Ćwiczenia 10
21 / 22
Model Leontiefa
Wyznacz zmianę produktu końcowego w I sektorze i produktu globalnego w II sektorze, jeżeli:
zmiana produktu globalnego w pierwszym sektorze jest równa α,
zmiana produktu końcowego w drugim sektorze jest równa β,
gdzie α, β ∈ R.
Korzystamy z prognozy mieszanej
1
2
− 12
− 15
β
3
5
∆X2
=
∆Y1
α
(36)
czyli układ równań:
∆Y1
=
α
=
1
β − 15 ∆X2
2
3
∆X2 − 21 β
5
(37)
Rozwiązanie:
Jakub Mućk
Ekonometria
∆Y1
=
∆X2
=
Ćwiczenia 10
1
β
3
5
α
3
− 31 α
+ 56 β
(38)
22 / 22

Ekonometria - Przepływy miedzygałeziowe. Model Leontiefa.

Transkrypt

Podobne dokumenty

Informacje finansowe 2013

List Zarządu 2012

BANK SPÓŁDZIELCZY W KAŁUSZYNIE Przepływy Finansowe

Pytania na egzamin dyplomowy inżynierski