Zadania na środę, 16 grudnia Zadanie 1. Niech a = 111 oraz b

Zadania na środę, 16 grudnia
Zadanie 1. Niech a = 111 oraz b = 243. Za pomocą algorytmu Euklidesa wyznaczyć
NWD(a, b). Korzystając z przeprowadzonych obliczeń wyznaczyć liczby całkowite x i y
spełniające równość: ax + by = NWD(a, b).
Zadanie 2. Liczby Fibonacciego zdefiniowane są za pomocą rekurencji:
F0 = 0,
F1 = 1,
Fn = Fn−1 + Fn−2 ,
dla n > 1.
Wykazać, że:
(i) NWD(Fn , Fn+1 ) = 1, dla n ­ 0.
(ii) NWD(Fm , Fn ) = NWD(Fn , Fm−n ), dla m > n ­ 0.
Wskazówka. (i) udowodnić za pomocą indukcji. W drugim kroku indukcyjnym wziąć
d ­ 1 takie, że d \ Fn oraz d \ Fn+1 . Pokazać, że wtedy d = 1.
W dowodzie (ii) wykorzystać tożsamość1: Fm = Fm−n Fn+1 +Fm−n−1 Fn , dla m > n ­ 0.
Wziąć d > 1 takie, że d \ Fm oraz d \ Fn . Korzystając z (i) pokazać, że wtedy d \ Fm−n .
Podobnie wykazać, że jeżeli d > 1 jest takie, że d \ Fn oraz d \ Fm−n to również d \ Fm .
Ponadto zadania: 2, 3, 9, 14, 18 z rozdziału 4.
1Dowód
nieobowiązkowy, mile widziany :)