LISTA 3

METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 4
POZIOM ROZSZERZONY – LISTA 3 – Funkcje
Zad.1 Które z poniższych zdań jest prawdziwe? Dziedziną funkcji określonej wzorem:
1. f (x) =
q
2. g(x) =
1
x2 +x+1
3. h(x) =
(
3 − |x + 1| jest przedział h−4; 2i;
jest zbiór liczb rzeczywistych;
1 dla
|x + 3| 6 1
jest zbiór (−∞; −4) ∪ (−2; +∞).
x dla (x + 4)(x + 2) > 0.
(
|x| dla x ∈ h−1; 2i
Na podstawie wykresu
x + 2 dla x ∈ h−2; −1).
funkcji f narysuj wykres funkcji g(x) = f 12 x i podaj jej wzór.
Zad.2 Dana jest funkcja o wzorze f (x) =
Zad.3
Wykaż na podstawie definicji, że funkcja o wzorze f (x) =
x+1
x−3
jest różnowartościowa
w zbiorze R\{3}.
Zad.4 Narysuj wykres funkcji f (x) = max{x2 − 2x, −x2 + 4x}. Na podstawie wykresu funkcji
zbadaj liczbę rozwiązań równania f (x) = m2 − 1, gdzie m jest parametrem rzeczywistym.
Zad.5 Funkcja kwadratowa
f (x) = −x2 + (1 − m)x + m + 3
osiąga wartość największą dla tego samego argumentu, dla którego wartość najmniejszą osiąga
funcja kwadratowa
g(x) = −(m + 1)x2 + (2m − 2)x − 4m.
Uzasadnij, że dla dowolnej wartości argumentu prawdziwa jest nierówność f (x) 6 g(x).
Zad.6 Dana jest funkcja f (x) = cos x oraz funkcja g(x) = f
równanie f (x) = g(x).
1
x
2
. Rozwiąż graficznie i algebraicznie
Zad.7 Dane są funkcje f (k) = k 3 oraz g(k) = 2f (k) − f (k − 2), gdzie k ∈ R. Wyznacz wartości k,
dla których g(k) = 80.
Zad.8 Sporządzając wykresy odpowiednich funkcji wyznacz rozwiązanie równania
x2 − 2x − 3 = log2 |x − 1|.
Zad.9 Wyznacz dziedzinę funkcji f (x) = log0,5 (6x+1 − 6x−1 − 210).
Zad.10 Dana jest funkcja f : h−2π; 2πi → h−1; 1i określona wzorem f (x) = sin x. Naszkicuj
wykres funkcji f oraz funkcji g określonej wzorem g(x) = |2 sin x+1|. Podaj zbiór wartości funkcji g.
Zad.11 Jaki warunek spełniają współczynniki a i b, jeżeli funkcje określone wzorami f (x) = 3x + b
i g(x) = ax − 2 mają to samo miejsce zerowe?
Zad.12 Opisz przekształcenie, w którym obrazem wykresu funkcji f (x) = −2x2 jest wykres funkcji
g(x) = 2x2 − 6x + 1.
Zad.13
Jaki warunek spełnia parametr k, gdy największa wartość funkcji określonej wzorem
f (x) = −x2 + 3kx − k + 1 jest większa od 1?
Zad.14 Podaj dziedzinę funkcji f określonej wzorem: f (x) = log2 log2 log 1 x.
2
Zad.15 Uzasadnij, że funkcja f określona wzorem f (x) = |x − 3| nie jest funkcją różnowartościową
w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zad.16 Wykaż, że f (x) =
2
x−1
jest malejąca w przedziale (1; ∞).
Zad.17 Wykaż, że iloczyn funkcji parzystych określonych na tym samym zbiorze jest funkcją
parzystą, a iloczyn funkcji nieparzystych określonych na tym samym zbiorze jest funkcją parzystą.
Zad.18 Wykaż, że funkcja określona wzorem f (x) =
|x|−4
x2 −4
jest funkcją parzystą.
Zad.19 Narysuj wykres funkcji g(x) = sin x dla x ∈ h−2π; 2πi, a następnie sporządź wykresy
funkcji g(|x|) i g(−x).
Zad.20 Dana jest funkcja f określona wzorem f (x) =
x 6= 0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
|x+3|+|x−3|
x
dla każdej liczby rzeczywistej