Politechnika Białostocka
Transkrypt
Politechnika Białostocka
Laboratorium z Podstaw i Algorytmów Przetwarzania Sygnałów Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: Analiza widmowa. Zastosowanie i właściwości szybkiego przekształcenia Fouriera Numer ćwiczenia: 3 Laboratorium z przedmiotu: Podstawy i Algorytmy Przetwarzania Sygnałów Kod: W06 047 Opracował: dr inż. Dariusz Jańczak Temat: i właściwości szybkiego 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie z podstawowymi właściwościami dyskretnego przekształcenia Fouriera (DFT - ang. Discrete Fourier Transform) oraz szybkiego przekształcenia Fouriera (FFT- ang. Fast Fourier Transform)). 2. Zagadnienia do opracowania przed przystąpieniem do zajęć 2.1 Przed przystąpieniem do zajęć należy opracować następujące zagadnienia teoretyczne: - rodzaje przekształceń Fouriera pozwalające na wyznaczanie widma różnych typów sygnałów (ciągłe / dyskretne, nieokresowe / okresowe); - wyznaczanie dyskretnej transformaty Fouriera; transformata odwrotna; - podstawowe właściwości DFT; - szybkie przekształcenie Fouriera (FFT); podobieństwa i różnice między DFT i FFT; - związki między częstotliwością próbkowania i okresem powtarzania sygnału, a częstotliwościami prążków widmowych i zakresem widma DFT (opis osi częstotliwości). 2.2 Przed przystąpieniem do zajęć należy opracować następujące zagadnienia obliczeniowe: - korzystając z definicji wyznaczyć DFT ośmioelementowego ciągu składającego się z 4 jedynek i 4 zer ([1 1 1 1 0 0 0 0]); - wyznaczyć (korzystając z definicji) odwrotne DFT ciągu uzyskanego w poprzednim punkcie; - (zadanie dodatkowe) wyznaczyć FFT ciągu z punktu poprzedniego ([1 1 1 1 0 0 0 0]) stosując algorytm z podziałem czasowym (na wstępie narysować graf struktury działań i wyznaczyć wartości niezbędnych operatorów obrotu); - wyznaczyć splot liniowy i kołowy dwu dowolnie wybranych ciągów sześcioelementowych. 3. Program ćwiczeń 3.1. Białystok 2007 Analiza widmowa. Zastosowanie przekształcenia Fouriera. Wyznaczyć FFT sygnału zadanego przez prowadzącego (podany sygnał jest przebiegiem ciągłym). Określić cechy otrzymanego widma (skok i zakres częstotliwości, liczba prążków, symetria, wartość prążka X(0)). Podać jego związek z sygnałem spróbkowanym (dziedzina czasowa). 3.2. Wyznaczyć transformatę odwrotną widma uzyskanego w punkcie 3.1. Podać jego cechy (skok, zakres czasowy, liczba próbek) i związek z pierwotnym sygnałem ciągłym. 3.3. Porównać widmo FFT z punktu 3.1. z teoretycznie wyznaczonym widmem ciągłym. 3.4. Zbadać wpływ zmiany częstotliwości próbkowania sygnału na otrzymane widmo. 3.5. Zbadać wpływ zmiany długości czasu obserwacji sygnału (przy niezmienionej częstotliwości próbkowania) na otrzymane widmo. 3.6. Zbadać zmiany wyznaczonego widma po uzupełnieniu zerami ciągu czasowego. 3.7. Na przykładzie transformaty sygnału sinusoidalnego liczonej przy różnych czasach obserwacji zbadać zjawisko rozmywania widma (zachować stałą częstotliwość próbkowania). 3.8. Sprawdzić cechę liniowości FFT na przykładzie transformaty sumy dwu sygnałów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach. 3.9. Zbadać wpływ przesunięcia sygnału w dziedzinie czasu na widmo amplitudowe i fazowe. 4. Realizacja ćwiczeń Dotyczy punków 3.1 – 3.10 Badania symulacyjne należy przeprowadzić w środowisku programu Matlab. Przydatne funkcje: - fft(X) - szybkie przekształcenie Fouriera wektora X (ciągu próbek czasowych) - ifft(X) - odwrotne przekształcenie Fouriera - real(X) - część rzeczywista liczby X - imag(X) - część urojona liczby X - abs(X) - wartość bezwzględna elementów rzeczywistych macierzy X lub moduł elementów zespolonych macierzy X - angle(X) kąt fazowy elementów zespolonych macierzy X (w radianach) - unwrap(X) - korekcja fazy elementów wektora X (wartości w radianach); polega na dodaniu do fazy wartości ± 2π Dotyczy punku 3.11 Moduł DSK RS232C We Wy Oscyloskop Y1 Y2 Wy Generator funkcyjny 3.10. Zastosować FFT oraz IFFT (odwrotne FFT) do wyznaczenia splotu dwu ciągów. Porównać ze splotem wyznaczonym teoretycznie. Rys. 1 Schemat połączeń stanowiska laboratoryjnego DSP 3.11. Analiza widmowa sygnałów. W punkcie tym prowadzona jest analiza widmowa prowadzona przy pomocy procedur FFT wykonywanych na procesorze sygnałowym. Uruchamiane oprogramowanie oblicza transformatę FFT przebiegu podanego na wejście przetwornika A/C. Wynik obserwowany jest na dołączonym do modułu DSP oscyloskopie lub monitorze PC. Po załadowaniu i uruchomieniu programu DSK_SPEC.DSK należy zaobserwować obliczone widma dla różnych przebiegów wejściowych (sinusoida, trójkąt, prostokąt i inne). Na podstawie obserwacji określić częstotliwość próbkowania zastosowaną w analizatorze oraz przelicznik osi czasu w oscyloskopie na oś częstotliwości. 5. Wymagania BHP W trakcie realizacji programu ćwiczenia należy przestrzegać zasad omówionych we wstępie do ćwiczeń, zawartych w: „Regulaminie porządkowym w laboratorium” oraz w „Instrukcji obsługi urządzeń elektronicznych znajdujących się w laboratorium z uwzględnieniem przepisów BHP”. Regulamin i instrukcja są dostępne w pomieszczeniu laboratoryjnym w widocznym miejscu. 6. Sprawozdanie powinno zawierać: - wnioski dotyczące badanych właściwości FFT; porównanie FFT z ciągłym przekształceniem Fouriera i DFT; analizę znaczenia doboru długości ciągu czasowego; wyniki i wnioski z obserwacji widma oraz analizę przelicznika osi czasu na oś częstotliwości w analizatorze widmowym; spostrzeżenia dotyczące błędów numerycznych pojawiających się przy stosowaniu procedur FFT. - uwagi i wnioski nasuwające się w trakcie wykonywania ćwiczenia. 7. Literatura 1. Zieliński T., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: od teorii do zastosowań, WKŁ, Warszawa, 2005. 2. Stranneby D., Cyfrowe przetwarzanie sygnałów: metody, algorytmy, zastosowania, BTC, Warszawa, 2004 3. Lyons R., Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ, Warszawa, 1999. 4. Dąbrowski A. (red.), Przetwarzanie sygnałów przy użyciu procesorów sygnałowych, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań, 2000. 5. W. Kwiatkowski, Wstęp do cyfrowego przetwarzania sygnałów, IAiR WAT, Warszawa 2003. Dodatek. W dodatku zamieszczono fragmenty programu ułatwiające realizację ćwiczenia osobom posiadającym małe doświadczenie w symulacji przebiegów czasowych w środowisku Matlab. Symulacje sygnału ciągłego i dyskretnego w środowisku Matlab można otrzymać poprzez odpowiedni dobór kroku czasowego: To = 20e-3; % [s] czas obserwacji równy 20ms Sygnał ciągły: t = 0 : 0.0001 : To; % wektor chwil czasowych dla których wyznaczane będą % wartości sygnału s(t) alf=0.8; % stała czasowa st = exp(-alf * t); % wartości sygnału s(t) Sygnał dyskretny z okresem próbkowania Td: Td = 1e-3; %[s] okresem próbkowania równy 1ms td = 0: Td : (To – Td); % wektor chwil czasowych (momenty próbkowania) % dla których wyznaczane będą wartości sygnału % dyskretnego s(kTd) Uwaga: Należy wyjaśnić dlaczego w powyższym przykładzie ostatnią próbkę pobrano w chwili (To-Td) st = exp(-alf * td); % wartości sygnału s(kTd)