Analiza kinematyczna i statyczna ustrojów prętowych

Transkrypt

Część 1
8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH
1

8.
8.1. Analiza kinematyczna płaskiego układu tarcz sztywnych. Układy statycznie wyznaczalne
Rozważania należy rozpocząć od wyjaśnienia pojęcia stopni swobody. Liczbą stopni swobody danego
układu nazywamy liczbę niezależnych parametrów niezbędnych do jednoznacznego określenia możliwości jego
ruchu w przestrzeni. Swobodna tarcza na płaszczyźnie ma trzy stopnie swobody.
Aby układ był geometrycznie niezmienny, musi on zostać unieruchomiony. Jeżeli do układu
wprowadziliśmy tyle więzów ile ma stopni swobody, to po tym zabiegu liczba stopni swobody s tego układu
będzie równa zeru:
(8.1)
s=3 t−r
gdzie:
t to liczba tarcz w układzie,
r to liczba więzów (liczba stopni swobody odebranych przez więzy).
Jednak o geometrycznej niezmienności nie decyduje wyłącznie liczba więzów. Istotny jest również
sposób połączenia układu (bryły) z podłożem.
Wyjaśnijmy to na przykładach:
Układ trójprzegubowy składa się z dwóch tarcz i trzech przegubów. W zależności od położenia przegubów
układ jest niezmienny (rys. 8.1) lub zmienny (rys. 8.2).
•
Rys. 8.1. Układ trójprzegubowy
geometrycznie niezmienny
s=0
Układ jest geometrycznie niezmienny.
•
Rys. 8.2. Układ trójprzegubowy chwilowo geometrycznie
zmienny
s=0
Układ jest chwilowo geometrycznie zmienny, ponieważ
trzy przeguby leżą na jednej prostej.
Tarcza połączona z podłożem za pomocą trzech prętów jest układem geometrycznie niezmiennym pod
warunkiem, że kierunki więzy nie przecinają się w jednym punkcie (rys. 8.3).
Dobra D., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 1
Rys. 8.3. Układ geometrycznie niezmienny
2
Rys. 8.4. Układ geometrycznie zmienny
s=0
s=0
Układ jest geometrycznie niezmienny.
Układ jest geometrycznie zmienny, ponieważ trzy pręty
przecinają się w jednym punkcie, tzn. istnieje biegun
chwilowego obrotu.
8.2. Układy statycznie niewyznaczalne
Aby zapisać warunki równowagi dowolnego układu sił na płaszczyźnie mamy do dyspozycji trzy
równania równowagi. Jeżeli liczba więzów jest większa od liczby równań równowagi, to taki układ określa się
jako statycznie niewyznaczalny.
Rys. 8.5. Przykład układu statycznie niewyznaczalnego
Stopnień statycznej niewyznaczalności SSN, jest to liczba więzów jaką należałoby odrzucić, aby układ
stał się statycznie wyznaczalny. Więzy można odrzucić tylko w taki sposób, aby powstały układ był
geometrycznie niezmienny.
8.3. Określanie stopnia statycznej niewyznaczalności
8.3.1. Metoda I
Stopień statycznej niewyznaczalności SSN dla układów składających się z kilku tarcz połączonych
więzami można określić ze wzoru:
n=SSN =r p1 2 p 2 3 p 3 −2 w2 3 w3 
(8.2)
AlmaMater
Część 1
3
gdzie:
r - liczba reakcji (liczba więzów, prętów podporowych),
p1 - liczba prętów zakończonych obustronnie przegubami (przesuwnymi i nie przesuwnymi),
p2 - liczba prętów zakończonych z jednej strony przegubem, a z drugiej strony sprężyście zamocowanym
(wewnętrznie lub zewnętrznie utwierdzonym),
p3 - liczba prętów obustronnie sprężyście zamocowanych (utwierdzonych zewnętrznie lub wewnętrznie),
w2 - liczba węzłów przegubowych (węzeł to element konstrukcji, w którym spotykają się pręty), z
wyłączeniem przegubów wewnętrznych, tzw. dołączonych, czyli nie obejmujących wszystkich prętów
zbiegających się w tym węźle,
w3 - liczba węzłów, w których zbiegają się sprężyście zamocowane pręty.
W p1 i p2 uwzględniamy również pręty, które łączą się z więzami podporowymi, także przesuwnymi. Do w2 i
w3 wlicza się również więzy podporowe, przeguby, podpory przesuwne.
Przykład 1
Na rys 8.6 zaznaczono przypadki prętów typu p1, p2, p3 oraz przypadki węzłów typu w2 i w3 .
w
p
2
3
p
3
p
1
w
2
Rys. 8.6. Układ statycznie niewyznaczalny z różnymi rodzajami węzłów i prętów
Zadanie 1
Określ stopień statycznej niewyznaczalności ramy podanej na schemacie.
AlmaMater
Część 1
4
Zaznaczono pręty typu p2 dwoma kreskami, pręty typu p3 trzema kreskami. Liczbę reakcji w podporze
podajemy w nawiasie. Liczymy węzły i wyznaczamy SSN:
r = 10
p1 = 0
p2 = 5
p3 = 7
(1)
(2)
(3)
(1)
w2 = 4
w3 = 9
SSN=10+2·5+3·7–(2·4+3·9)=6
(3)
Podpory przesuwne można zaliczyć do prętów typu p1. Wynik jest ten sam.
r = 12
p1 = 2
p2 = 5
p3 = 7
(2)
(2)
(3)
(2)
w2 = 6
w3 = 9
SSN=12+2·5+3·7–(2·6+3·9)=6
(3)
Zadanie 2
Określić stopień statycznej niewyznaczalności dla poniższego układu.
AlmaMater
Część 1
5
Podobnie jak poprzednio oznaczamy pręty i reakcje.
r =8
p1 = 0
p2 = 5
p3 = 6
w2 = 2
w3 = 8
(3)
(2)
(3)
SSN=8+2·5+3·6–(2·2 + 3·8)=8
Zadanie 3
Zaznaczono typy prętów.
r =5
p1 = 0
p2 = 2
p3 = 3
w2 = 1
(2)
(3)
w3 = 4
SSN=5+2·2+3·3–(2·1+3·4)=4
AlmaMater
Część 1
6
Zadanie 4
W ramie występują tylko pręty sprężyście zamocowane.
r =5
p1 = 0
p2 = 0
p3 = 5
w2 = 0
(2)
(3)
w3 = 5
SSN=5+3·5–(2·0+3·5)=5
8.3.2. Metoda II
Do ramy w miejsce przegubów wprowadzamy dodatkowe więzy utwierdzające przekroje stykające się z
przegubem, zamieniając w ten sposób podpory na utwierdzenia, a połączenia prętów na sprężyście
zamocowane (wewnętrznie utwierdzone). Określamy liczbę wprowadzonych dodatkowo więzów d. Następnie
wyznaczamy stopnień statycznej niewyznaczalności nowego układu N, odrzucając myślowo wszystkie
utwierdzenia z wyjątkiem jednego (w przypadku ram zamkniętych musimy “otworzyć” obieg).
Stopień statycznej niewyznaczalności układu wyjściowego n jest różnicą:
n=SSN =N −d
(8.3)
Przykład 2
W ramie o podanym schemacie należy wprowadzić dwa więzy (d = 2), aby utwierdzić pręty.
AlmaMater
Część 1
7
(+1)
d=2
(+1)
Nowy układ jest trzykrotnie statycznie niewyznaczalny (N = 3).
N=3
Wobec tego wyjściowy układ jest 1-krotnie statycznie niewyznaczalny. SSN = 3 – 2 = 1
Przykład 3
Pręty w ramie o podanym schemacie tworzą obieg “zamknięty”.
Aby uzyskać układ statycznie wyznaczalny należy przeciąć obieg (każde przecięcie daje 3 stopnie statycznej
niewyznaczalności SSN = 3.
Jeżeli w przegubie wewnętrznym zbiegają się więcej niż dwa pręty, to taki przegub nazywamy
wielokrotnym. Liczbę sił w przegubie (niezależnych) określa wzór:
AlmaMater
Część 1
8
S k =2 ⋅k −1
(8.4)
gdzie:
k
- liczba prętów w przegubie.
W przegubie, w którym zbiegają się 2, 3, 4 pręty liczba niezależnych sił wynosi odpowiednio 2, 4 i 6.
S 2 =2 ⋅2−1=2
S 3 =2 ⋅3−1=4
S 4 =2 ⋅4−1=6
Jeżeli w przegubie spotykają się trzy pręty, to możemy zastąpić ten węzeł w taki sposób jak na
poniższym rysunku.
=
Wobec tego, aby usztywnić ten węzeł należy wprowadzić dwa więzy (d = 2).
W przypadku prętów sprężyście zamocowanych liczbę sił niezależnych można określić według
zależności:
S k =3 ⋅k −1
(8.4)
Dla przykładu:
3 siły wewnętrzne
(3)
6 sił wewnętrznych
(3)
=
Zadanie 5
AlmaMater
Część 1
9
Wprowadzamy dodatkowe więzy aby usztywnić połączenia (d = 6). W nawiasach podano dodatkowe więzy w
poszczególnych węzłach.
(+1)
(+1)
(+2)
(+2)
Odrzucamy sztywne podpory pozostawiając jedną (N = 4·3 = 12)
Ostatecznie SSN wynosi n = SSN = 12 - 6 = 6
Zadanie 6
AlmaMater
Część 1
10
Wprowadzamy dodatkowe więzy (d = 4).
(+1)
(+2)
(+1)
Następnie, aby otrzymać układ statycznie wyznaczalny odrzucamy dwie podpory i przecinamy ramę w dwóch
miejscach. (N = 2·3 + 2·3 = 12)
Stopień statycznej niewyznaczalności SSN wynosi n = SSN = 12 - 4 = 8
Zadanie 7
AlmaMater
Część 1
11
Aby usztywnić każdy z prętów należy wprowadzić dwa więzy (d = 2), po jednym dla każdego pręta.
(+2)
Dalej likwidujemy jedną podporę i przecinamy ramę (N = 3 +3 = 6)
Ostatecznie SSN = 6 – 2 = 4
Zadanie 8
Pręty są ze sobą sztywno połączone, wystarczy jeden dodatkowy więz podporowy (d = 1)
AlmaMater
Część 1
12
(+1)
Dalej odrzucamy podporę i “otwieramy” obieg (N = 3 + 3 = 6)
SSN = 6 – 1 = 5
8.3.3. Metoda III
Ramę zamieniamy poprzez myślowe “cięcia” (przecięcia prętów na kawałki) na pojedyncze tarcze.
Poprzez tarczę rozumiemy pojedynczy pręt lub grupę prętów połączonych ze sobą, o trzech stopniach
swobody. Stopnień statycznej niewyznaczalności określamy ze wzoru:
n=SSN =c−3⋅t
(8.5)
gdzie:
c - liczba cięć, równa się liczbie odebranych więzów,
t - to liczba pojedynczych prętów lub grup prętów.
Zadanie 9
AlmaMater
Część 1
13
Przecinając pręt sztywny likwidujemy trzy więzy, przecinając przegub dwa więzy, a odcinając podporę
przegubowo przesuwną jeden więz. W nawiasach podano liczbę “przecinanych” więzów.
(2)
(2)
(3)
(1)
(3)
(1)
Po tym zabiegu powstają dwie swobodne tarcze (t = 2).
II
I
Tak więc n = SSN = 12 – 3·2 = 6
Innym sposobem rozwiązania tego zadania jest podział układu na cztery tarcze (t = 4)
AlmaMater
Część 1
14
(3)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
(3)
(1)
Liczba niezbędnych cięć wyniosła 18 (c = 18)
III
II
I
IV
Ostatecznie n = SSN = 18 – 3·4 =6
Zadanie 10
W podobny sposób jak w poprzednim zadaniu tniemy ramę na pojedyncze tarcze. W przegubie wielokrotnym
odłączamy wszystkie pręty od siebie (likwidujemy wszystkie więzy).
AlmaMater
Część 1
15
(2)
(4)
(2)
(3)
(3)
Liczba niezbędnych cięć wyniosła 14 (c = 14), a liczba uzyskanych poprzez te cięcia tarcz jest równa 2
(t = 2)
II
I
Ostatecznie n = SSN = 14 – 3·2 =8
Zadanie 11
Tniemy ramę tak, aby uzyskać jedną tarczę.
(2)
(2)
(3)
Wykonaliśmy 7 cięć więzów (c = 7), przez co otrzymaliśmy 1 tarczę (t = 1).
AlmaMater
Część 1
16
A zatem n = SSN = 7 – 3·1 = 4
Zadanie 12
Tniemy ramę w trzech miejscach.
(3)
(2)
(3)
Wykonaliśmy 8 cięć więzów (c = 8), przez co otrzymaliśmy 1 tarczę (t = 1).
Ostatecznie n = SSN = 8 – 3·1 = 5
AlmaMater

Analiza kinematyczna i statyczna ustrojów prętowych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Akorinol VG-3

MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW 1. Wydział

Tematy egzaminu dyplomu II stopnia

specjalista - Praca w Służbie Cywilnej

z mechaniki budowli

WNIOSEK O SKIEROWANIE NA BADANIE LEKARSKIE Świadectwo

1.. 1. wiadomości wstępne, praca sił na przemieszczeniach

staż sukcesem naukowca ii edycja

Film promocyjny szkoły „HAPPY”

Układ maszyny wyciągowej zasilanej z przekształtnika