Metody numeryczne i statystyka dla inzynierów

Transkrypt

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok
Interpolacja
Bartosz Kuczewski
PWSZ Gªogów, 2009
Bartosz Kuczewski
Interpolacja
Okre±lenie zale»no±ci pomi¦dzy interesuj¡cymi nas wielko±ciami,
Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np.
wykorzystywana w procedurach caªkowania numerycznego),
Wykorzystywana w naukach do±wiadczalnych, gdy dysponujemy
niewielk¡ liczb¡ danych,
Deterministyczna metoda opisu zjawisk (w opozycji do podej±cia
statystycznego).
Graka komputerowa (szczególnie 3D)
Bartosz Kuczewski
Interpolacja - idea
Mniej formalna denicja
Rozwi¡» zadanie interpolacji tzn. odkryj zale»no±¢ która pozwala
wytªumaczy¢ warto±ci obserwowane w danych.
Bartosz Kuczewski
Interpolacja - idea
Mniej formalna denicja
Rozwi¡» zadanie interpolacji tzn. odkryj zale»no±¢ która pozwala
wytªumaczy¢ warto±ci obserwowane w danych.
Bartosz Kuczewski
Interpolacja - denicja
Denicja matematyczna
Maj¡c zbiór danych w postaci n + 1 tzw. w¦zªów {xi , yi }ni=0 , nale»y
wyznaczy¢ przybli»one warto±ci w punktach nieb¦d¡cych w¦zªami
interpolacji oraz oszacowa¢ bª¦dy takiego przybli»enia.
xi
yi
- w¦zªy interpolacji, punkty
- warto±ci dla w¦zªów (punktów)
Maj¡c dan¡ klas¦ funkcji G szukamy takiego g (x , a0 , a1 , . . . , an ) ∈ G aby
g (xi , a0 , . . . , an ) = yi , , i = 0, 1, . . . , n
Bartosz Kuczewski
Interpolacja - idea
yn
g
y2
y1
y0
x0 x1
Bartosz Kuczewski
x2
xn
Interpolacja - przykªad
Dane: Gªówny Urz¡d Statystyczny
Lata
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Liczba rozwodów
1537
1546
1479
1552
1968
2567
Bartosz Kuczewski
Jak powinna wygl¡da¢ krzywa opisuj¡ce dane ?
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
2000
2001
2002
Bartosz Kuczewski
2003
2004
2005
... tak
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
2000
2001
2002
Bartosz Kuczewski
2003
2004
2005
a mo»e tak ?
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
2000
2001
2002
Bartosz Kuczewski
2003
2004
2005
a mo»e jednak tak ?
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
2000
2001
2002
Bartosz Kuczewski
2003
2004
2005
Rodzaje interpolacji
Nieparmetryczne
(bazuj¡ce na danych):
algorytm najbli»szego s¡siada
(niezb¦dna identykacja parametryczna)
liniowa (g (xi , a0 , . . . , an ) = a0 + a1 g1 (x ) + a2 g2 (x ) + . . . + an gn (x ))
Parametryczne
wielomianowa (w tym w. liniowa, w. kwadratowa, ...):
trygonometryczna:
g (x ) = e ,
jix
i
√
j = −1
g (x ) = x
i
i
nieliniowa
np. wymierna:
g (x , a0 , . . . , a , b0 , . . . , b ) =
n
m
a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + a x
b0 + b1 x + b2 x 2 + . . . + b x
n
n
m
m
funkcjami sklejanymi (ang. spline): w¦zªy interpolacji dziel¡
przedziaª interpolacji na podprzedziaªy; w ka»dym podprzedziale
przybli»amy funkcje interpolowan¡ wielomianem niskiego stopnia,
np. n=3 (najpro±ciej - interpolacja liniowa - dla n=1)
Bartosz Kuczewski
Rodzaje interpolacji
Nieparmetryczne
(bazuj¡ce na danych):
algorytm najbli»szego s¡siada
(niezb¦dna identykacja parametryczna)
liniowa (g (xi , a0 , . . . , an ) = a0 + a1 g1 (x ) + a2 g2 (x ) + . . . + an gn (x ))
Parametryczne
wielomianowa (w tym w. liniowa, w. kwadratowa, ...):
trygonometryczna:
g (x ) = e ,
jix
i
√
j = −1
g (x ) = x
i
i
nieliniowa
np. wymierna:
g (x , a0 , . . . , a , b0 , . . . , b ) =
n
m
a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + a x
b0 + b1 x + b2 x 2 + . . . + b x
n
n
m
m
funkcjami sklejanymi (ang. spline): w¦zªy interpolacji dziel¡
przedziaª interpolacji na podprzedziaªy; w ka»dym podprzedziale
przybli»amy funkcje interpolowan¡ wielomianem niskiego stopnia,
np. n=3 (najpro±ciej - interpolacja liniowa - dla n=1)
Bartosz Kuczewski
Interpolacja - Matlab
Polecenie
yi = interp1(x,y,xi,Metoda);
x - w¦zªy interpolacji,
y - warto±ci w w¦zªach,
xi - punkty, w których chcemy wyznaczy¢ warto±ci po wykonaniu
interpolacji,
yi - warto±ci w punktach xi,
Metoda - dost¦pne:
nearest, linear,spline,pchip,cubic,v5cubic
Bartosz Kuczewski
Algorytm najbli»szego s¡siada
Zasada post¦powania
Je±li chcemy wyznaczy¢ warto±¢ y ∗ w nowym (nieb¦d¡cym w¦zªem
interpolacji) punkcie x ∗ , to znajd¹ najbli»szy mu punkt w danych i
przyjmij jego warto±¢.
Wady i zalety
nie trzeba budowa¢ modelu - maªy nakªad obliczeniowy
wykorzystywana w przypadku interpolacji wielowymiarowej
maªo realistyczne zaªo»enie o lokalnej niezmienno±ci zjawisk
Bartosz Kuczewski
Algorytm najbli»szego s¡siada
Je±li chcemy wyznaczy¢ warto±¢ y ∗ w nowym (nieb¦d¡cym w¦zªem
interpolacji) punkcie x ∗ , to znajd¹ najbli»szy mu punkt w danych i
przyjmij jego warto±¢.
Wady i zalety
nie trzeba budowa¢ modelu - maªy nakªad obliczeniowy
wykorzystywana w przypadku interpolacji wielowymiarowej
maªo realistyczne zaªo»enie o lokalnej niezmienno±ci zjawisk
Bartosz Kuczewski
Interpolacja metod¡ najbli»szego s¡siada
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
2000
2001
2002
Bartosz Kuczewski
2003
2004
2005
Interpolacja liniowa
Warto±¢ y ∗ punkcie x ∗ le»y na prostej ª¡cz¡cej warto±ci w w¦zªach,
pomi¦dzy którymi le»y x ∗ .
y ∗ = ya +
dla
xa ≤ x ∗ ≤ xb
(x ∗ − xa )(yb − ya )
xb − xa
Bartosz Kuczewski
Warto±¢ y ∗ punkcie x ∗ le»y na prostej ª¡cz¡cej warto±ci w w¦zªach,
pomi¦dzy którymi le»y x ∗ .
y ∗ = ya +
dla
xa ≤ x ∗ ≤ xb
(x ∗ − xa )(yb − ya )
xb − xa
Bartosz Kuczewski
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
2000
2001
2002
Bartosz Kuczewski
2003
2004
2005
Wady i zalety
najprostszy z grupy modeli wielomianowych
nie trzeba estymowa¢ parametrów - bardzo szybkie obliczenia
nieró»niczkowalno±¢ funkcji interpoluj¡cej w w¦zªach interpolacji
zwykle powoduje du»e bª¦dy
Bartosz Kuczewski
Bª¦dy interpolacji - interpolacja liniowa
Zaªó»my, »e istnieje zale»no±¢ pomi¦dzy zmiennymi {xi , yi }, któr¡ mo»na
opisa¢ za pomoc¡ funkcji g : R → R, tzn. yi = g (xi ), a która to funkcja
posiada ci¡gª¡ drug¡ pochodn¡. Je±li mamy dane dwa s¡siednie w¦zªy
interpolacji ya = g (xa ) oraz yb = g (xb ), bª¡d jaki mo»emy popeªni¢,
chc¡c oszacowa¢ warto±¢ funkcji g (·) w punkcie x ∗ ∈ (xa , xb ) wynosi:
|y ∗ − g (x ∗ )| ≤ C (xb − xa )2 ,
gdzie
C
= 1/8 max
x ∈(xa ,xb )
g (x )
00
Wnioski
czym wi¦ksza odlegªo±¢ mi¦dzy w¦zªami, tym wi¦kszy bª¡d
(zale»no±¢ kwadratowa) !!!
Bartosz Kuczewski
Bª¦dy interpolacji - interpolacja liniowa
Zaªó»my, »e istnieje zale»no±¢ pomi¦dzy zmiennymi {xi , yi }, któr¡ mo»na
opisa¢ za pomoc¡ funkcji g : R → R, tzn. yi = g (xi ), a która to funkcja
posiada ci¡gª¡ drug¡ pochodn¡. Je±li mamy dane dwa s¡siednie w¦zªy
interpolacji ya = g (xa ) oraz yb = g (xb ), bª¡d jaki mo»emy popeªni¢,
chc¡c oszacowa¢ warto±¢ funkcji g (·) w punkcie x ∗ ∈ (xa , xb ) wynosi:
|y ∗ − g (x ∗ )| ≤ C (xb − xa )2 ,
gdzie
C
= 1/8 max
x ∈(xa ,xb )
g (x )
00
Wnioski
czym wi¦ksza odlegªo±¢ mi¦dzy w¦zªami, tym wi¦kszy bª¡d
(zale»no±¢ kwadratowa) !!!
Bartosz Kuczewski
Szacowanie bª¦du interpolacji liniowej
Przykªad
funkcja g (x ) = x 2 ,
g (x ) = 2
w¦zªy interpolacji xa = 0, xb = 2, (ya = 0,yb = 4)
00
Maksymalny bª¡d interpolacji liniowej wynosi zatem:
C
=
1
8
max
x ∈(xa ,xb )
g (x ) =
00
1
4
a wi¦c maksymalny bª¡d wynosi:
|y ∗ − g (x )| ≤ C (xb − xa )2 = 1
Bartosz Kuczewski
Szacowanie bª¦du interpolacji liniowej
4.5
4
3.5
wezly interpolacji
Funkcja interpolowana
Blad interpolacji
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−0.5
0
0.5
Bartosz Kuczewski
1
1.5
2
2.5
Interpolacja wielomianowa
Sformuªowanie problemu
Maj¡c dane w¦zªy x0 , x1 , . . . , xn oraz odpowiadaj¡ce im warto±ci
y0 , y1 , . . . , yn , znale¹¢ wielomian
Wm (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + am x m ,
taki »e
Wm (xi ) = yi , dla i = 0, 1, . . . , n.
Twierdzenie (o jednoznaczno±ci interpolacji wielomianowej)
Istnieje dokªadnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwy»ej n,
który w punktach x0 , x1 , . . . , xn przyjmuje warto±ci y0 , y1 , . . . , yn .
Bartosz Kuczewski
Interpolacja wielomianowa
Sformuªowanie problemu
Maj¡c dane w¦zªy x0 , x1 , . . . , xn oraz odpowiadaj¡ce im warto±ci
y0 , y1 , . . . , yn , znale¹¢ wielomian
Wm (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . . + am x m ,
taki »e
Wm (xi ) = yi , dla i = 0, 1, . . . , n.
Twierdzenie (o jednoznaczno±ci interpolacji wielomianowej)
Istnieje dokªadnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwy»ej n,
który w punktach x0 , x1 , . . . , xn przyjmuje warto±ci y0 , y1 , . . . , yn .
Bartosz Kuczewski
Interpolacja wielomianowa - przykªad
Przykªad
Spróbujmy dopasowa¢ wielomian stopnia pi¡tego, tj.
W5 (x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + a5 x 5 ,
do danych:
i
0
1
2
3
4
5
xi
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Bartosz Kuczewski
yi
1537
1546
1479
1552
1968
2567
Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d.
Przykªad c.d.
Jak wyznaczy¢ wspóªczynniki wielomianu {ai }5i =0 ? - wielomian musi
przechodzi¢, przez dane punkty, czyli:
a0 + a1 2000 + a2 20002 + a3 20003 + a4 20004 + a5 20005 = 1537
a0 + a1 2001 + a2 20012 + a3 20013 + a4 20014 + a5 20015 = 1546
a0 + a1 2002 + a2 20022 + a3 20023 + a4 20024 + a5 20025 = 1479
a0 + a1 2003 + a2 20032 + a3 20033 + a4 20034 + a5 20035 = 1552
a0 + a1 2004 + a2 20042 + a3 20043 + a4 20044 + a5 20045 = 1968
a0 + a1 2005 + a2 20052 + a3 20053 + a4 20054 + a5 20055 = 2567,
tzw.
macierz Vandermonde'a.
Bartosz Kuczewski
Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d.
Przykªad c.d.
Problem sprowadza si¦ do rozwi¡zania ukªadu równa« liniowych, t.j.
Xa
gdzie:




X = 



1
1
1
1
1
1
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x02
x12
x22
x32
x42
x52
x03
x13
x23
x33
x43
x53
x04
x14
x24
x34
x44
x54
x05
x15
x25
x35
x45
x55
= y,












a = 



Bartosz Kuczewski
a0
a1
a2
a3
a4
a5












y = 



y0
y1
y2
y3
y4
y5








Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. - rozwi¡zanie
Przykªad c.d.
Ogólny sposób rozwi¡zywania ukªadów równa« liniowych:
a
= X−1 y,
Matlab: X = vander(x); a = inv(X) * y;
Rozwi¡zanie:


1537

52.25 


 −6.125 


a =
 −62.8333 


 28.6250 
−2.9167
Bartosz Kuczewski
Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. - wyniki
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
2000
2001
2002
Bartosz Kuczewski
2003
2004
2005
Interpolacja Lagrange'a
Wprowadzenie
Wielomian
Wn (x ) mo»na przedstawi¢ w alternatywnej postaci:
Wn (x ) = y0 Φ0 (x ) + y1 Φ1 (x ) + . . . + yn Φn (x ),
gdzie Φj (x ) s¡ wielomianami stopnia co najwy»ej n.
0, gdy j 6= i
Φj (xi ) =
1, gdy j = i
Rozwi¡zanie
Φj (x ) =
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xj −1 )(x − xj +1 ) . . . (x − xn )
,
(xj − x0 )(xj − x1 ) . . . (xj − xj −1 )(xj − xj +1 ) . . . (xj − xn )
Inaczej:
Ln (x ) =
n
X
yj Φj (x ) =
j =0
Bartosz Kuczewski
n
X
j =0
yj
n
Y
i =0
i 6= j
x − xi
xj − xi
Wprowadzenie
Wielomian
Wn (x ) = y0 Φ0 (x ) + y1 Φ1 (x ) + . . . + yn Φn (x ),
0, gdy j 6= i
Φj (xi ) =
1, gdy j = i
Rozwi¡zanie
Φj (x ) =
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xj −1 )(x − xj +1 ) . . . (x − xn )
,
Inaczej:
Ln (x ) =
n
X
yj Φj (x ) =
j =0
Bartosz Kuczewski
n
X
j =0
yj
n
Y
i =0
i 6= j
x − xi
xj − xi
Wprowadzenie
Wielomian
Wn (x ) = y0 Φ0 (x ) + y1 Φ1 (x ) + . . . + yn Φn (x ),
0, gdy j 6= i
Φj (xi ) =
1, gdy j = i
Rozwi¡zanie
Φj (x ) =
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xj −1 )(x − xj +1 ) . . . (x − xn )
,
Inaczej:
Ln (x ) =
n
X
yj Φj (x ) =
j =0
Bartosz Kuczewski
n
X
j =0
yj
n
Y
i =0
i 6= j
x − xi
xj − xi
Interpolacja Lagrange'a - przykªad
Znale¹¢ wielomian interpolacyjny Lagrange'a dla danych:
xi
i
0
1
2
yi
-1
1
3
2
0
2
Zgodnie ze wzorem mamy:
L2 (x ) =
2
X
yj Φj (x ) =
j =0
2
X
yj
j =0
x −1 x −3
·
+0 ·
2·
−2
−4
|
{z
} |
2
Y
i =0
i 6= j
x +1 x −3
( j = 0)
1
2
2
x
−x+
x − xi
xj − xi
·
2
{z
(j =1)
−2
=
+2 ·
} |
x +1 x −1
4 {z
·
( j = 2)
2 }
1
2
Bartosz Kuczewski
=
Wzór interpolacyjny Newtona
Iloraz ró»nicowy 1-go rz¦du:
f [xi , xi +1 ] =
f (xi +1 ) − f (xi )
xi +1 − xi
Iloraz ró»nicowy k-go rz¦du:
f [xi , xi +1 , . . . , xi +k ] =
f [xi +1 , xi +2 , . . . , xi +k ] − f [xi , xi +1 , . . . , xi +k −1 ]
xi +k − xi
Ci¡g ilorazów ró»nicowych:
x0 f (x0 )
x1 f (x1 )
x2 f (x2 )
f [x0 , x1 ]
f [x1 , x2 ]
Bartosz Kuczewski
f [x0 , x1 , x2 ]
Wielomian interpolacyjny Newtona
Qn (x ) =f (x0 ) +
n
X
f [x0 , . . . , xj ]
j =1
jY
−1
(x − xk ) =
k =0
Qn−1 (x ) + f [x0 , . . . , xn ]
nY
−1
(x − xk )
k =0
Przykªad - znale¹¢ wielomian interpolacyjny Newtona dla danych:
i
0
1
2
Bartosz Kuczewski
xi
-1
1
3
yi
2
0
2
Wielomian interpolacyjny Newtona
Qn (x ) =f (x0 ) +
n
X
f [x0 , . . . , xj ]
j =1
jY
−1
(x − xk ) =
k =0
Qn−1 (x ) + f [x0 , . . . , xn ]
nY
−1
(x − xk )
k =0
Przykªad - znale¹¢ wielomian interpolacyjny Newtona dla danych:
i
0
1
2
Bartosz Kuczewski
xi
-1
1
3
yi
2
0
2
Wielomian interpolacyjny Newtona - przykªad
Zgodnie ze wzorem mamy:
Q2 (x ) =f (x0 ) +
2
X
f [x0 , . . . , xj ]
j =1
jY
−1
(x − xk ) =
k =0
f (x0 ) + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
Ilorazy ró»nicowe:
f (x1 ) − f (x0 ) 0 − 2
=
= −1
x1 − x0
1+1
f (x ) − f (x1 ) 2 − 0
f [x1 , x2 ] = 2
=
=1
x2 − x1
2−0
f [x , x ] − f [x0 , x1 ] 1 + 1
f [x0 , x1 , x2 ] = 1 2
=
x2 − x0
3+1
f [x0 , x1 ] =
=
1
2
Zatem:
Q2 (x ) = 2 − 1(x + 1) −
1
(x + 1)(x − 1) =
2
Bartosz Kuczewski
1
2
x
2
−x+
1
2
Wersja iteracyjna:
1
Y
Q2 (x ) = Q1 (x ) + f [x0 , x1 , x2 ]
(x − xk ) =
k =0
Q1 (x ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
Q1 (x ) = Q0 (x ) + f [x0 , x1 ]
0
Y
(x − xk ) =
k =0
Q0 (x ) + f [x0 , x1 ](x − x0 )
Q0 (x ) = f (x0 ) = 2
Zatem po podstawieniu:
Q1 (x ) = 2 − 1(x + 1) = 1 − x
1
1
1
(x − 1)(x + 1) = x2 − x +
2
2
2
Zaleta: po dodaniu nowego w¦zªa (x3 , f (x3 )) mo»na wykorzysta¢
2
Q
wystarczy doliczy¢ f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
(x − xk )
Q2 (x ) = (1 − x ) +
Q2 (x ) k =0
Bartosz Kuczewski
Wersja iteracyjna:
1
Y
Q2 (x ) = Q1 (x ) + f [x0 , x1 , x2 ]
(x − xk ) =
k =0
Q1 (x ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
Q1 (x ) = Q0 (x ) + f [x0 , x1 ]
0
Y
(x − xk ) =
k =0
Q0 (x ) + f [x0 , x1 ](x − x0 )
Q0 (x ) = f (x0 ) = 2
Zatem po podstawieniu:
Q1 (x ) = 2 − 1(x + 1) = 1 − x
1
1
1
(x − 1)(x + 1) = x2 − x +
2
2
2
Zaleta: po dodaniu nowego w¦zªa (x3 , f (x3 )) mo»na wykorzysta¢
2
Q
wystarczy doliczy¢ f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
(x − xk )
Q2 (x ) = (1 − x ) +
Q2 (x ) k =0
Bartosz Kuczewski
Bª¦dy interpolacji - interpolacja wielomianowa
Zaªó»my, »e warto±ci y0 , y1 , . . . , yn dla w¦zªów interpolacji x0 , x1 , . . . , xn
(z przedziaªu < a, b >) bior¡ si¦ z pewnej funkcji g : R → R, t.j.
g (xi ) = yi .
Pytanie: jak dobrze wielomian interpolacyjny Wn (x ) przybli»a funkcj¦
g (x ) w przedziale < a, b > ?
Odpowied¹:
|g (x ) − Wn (x )| ≤ Mn+1 |ωn (x )|,
gdzie
Mn + 1 =
sup
x ∈(xa ,xb )
g (n+1) (x ), oraz ωn (x ) =
n
Q
i =0
(x − xi )
Bª¡d interpolacji - komentarz
zale»y od postaci pochodnej interpolowanej funkcji,
zale»y od funkcji ωn (x ), czyli od rozmieszczenia w¦zªów interpolacji
Bartosz Kuczewski
g (xi ) = yi .
Odpowied¹:
|g (x ) − Wn (x )| ≤ Mn+1 |ωn (x )|,
gdzie
Mn + 1 =
sup
x ∈(xa ,xb )
g (n+1) (x ), oraz ωn (x ) =
n
Q
i =0
(x − xi )
Bartosz Kuczewski
g (xi ) = yi .
Odpowied¹:
|g (x ) − Wn (x )| ≤ Mn+1 |ωn (x )|,
gdzie
Mn + 1 =
sup
x ∈(xa ,xb )
g (n+1) (x ), oraz ωn (x ) =
n
Q
i =0
(x − xi )
Bartosz Kuczewski
Bª¦dy interpolacji wielomianowej
Przykªad
Z jak¡ dokªadno±ci¡ mo»na oszacowa¢ warto±¢ sin(1.885) maj¡c dane
sin(0) = 0, sin(0.6283) = 0.5878, sin(2.3562) = 0.7071).
Mamy dane:
n = 2, < a, b >=< 0, 2.3562 >
funkcja interpolowana g (x ) = sin(x ),
g (3) (x ) = −cos(x ), zatem Mn+1 = 1
ωn (x ) = (x − 0)(x − 0.6283)(x − 2.3563)
ωn (1.885) = −1.1165
czyli:
|W2 (1.885) − sin(1.885)| ≤
Bartosz Kuczewski
1.1165
= 0.1860
6
Bª¦dy interpolacji wielomianowej
Przykªad
Z jak¡ dokªadno±ci¡ mo»na oszacowa¢ warto±¢ sin(1.885) maj¡c dane
sin(0) = 0, sin(0.6283) = 0.5878, sin(2.3562) = 0.7071).
Mamy dane:
n = 2, < a, b >=< 0, 2.3562 >
funkcja interpolowana g (x ) = sin(x ),
g (3) (x ) = −cos(x ), zatem Mn+1 = 1
ωn (x ) = (x − 0)(x − 0.6283)(x − 2.3563)
ωn (1.885) = −1.1165
czyli:
|W2 (1.885) − sin(1.885)| ≤
Bartosz Kuczewski
1.1165
= 0.1860
6
Bª¦dy interpolacji wielomianowej - przykªad
Bª¡d w rzeczywisto±ci
W2 (1.885) − sin(1.885) = 0.0587
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
wezly interpolacji
szukana wartosc
wielomian interpolacyjny
blad interpolacji
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
Bartosz Kuczewski
1.5
2
2.5
3
Interpolacja za pomoc¡ funkcji sklejanych
Interpolacja za pomoc¡ wielomianów:
rz¡d wielomianu interpolacyjnego zazwyczaj musi by¢ równy liczbie
w¦zªów ...
... co dla du»ej ilo±ci w¦zªów (wysokich stopni wielomianu
interpolacyjnego) prowadzi¢ mo»e do du»ych bªedów
macierz Vandermonada zwykle ¹le uwarunkowana
wielomiany nie nadaj¡ si¦ do szacowania warto±ci poza granicami
przedziaªu z którego pochodz¡ w¦zªy interpolacyjne.
: czy nie mo»na inaczej ?
Pytanie
Funkcje sklejane - idea
Zamiast stosowa¢ wielomian wysokiego rz¦du do interpolacji punktów,
mo»na zastosowa¢ kilka wielomianów stopnia ni»szego.
Bartosz Kuczewski
w¦zªów ...
Pytanie
Bartosz Kuczewski
w¦zªów ...
Pytanie
Bartosz Kuczewski
Denicja funkcji sklejanej
Nie b¦dzie dany przedziaª < a, b > oraz zestaw punktów
takich »e:
a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
x0 , x1 , . . . , xn ,
Oznaczmy przez ∆n podziaª ustanowiony przez punkty {xi }ni=0 . Funkcj¦
s (x ) = s (x , ∆n ) nazywamy funkcj¡ sklejan¡ stopnia m ≥ 1, je±li:
1) s (x ) jest wielomianem stopnia co najwy»ej m w ka»dym
podprzedziale (xi , xi +1 ), i = 0, 1, . . . , n − 1,
2) s (x ) ∈ C m−1 dla
x ∈< a, b >.
Bartosz Kuczewski
takich »e:
a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
x0 , x1 , . . . , xn ,
2) s (x ) ∈ C m−1 dla
x ∈< a, b >.
Bartosz Kuczewski
takich »e:
a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
x0 , x1 , . . . , xn ,
2) s (x ) ∈ C m−1 dla
x ∈< a, b >.
Bartosz Kuczewski
Funkcje sklejane stopnia trzeciego (m = 3)
s0 (x ) = c0,3 x 3 + c0,2 x 2 + c0,1 x + c0,0
s1 (x ) = c1,3 x 3 + c1,2 x 2 + c1,1 x + c1,0
s2 (x ) = c2,3 x 3 + c2,2 x 2 + c2,1 x + c2,0
s3 (x ) = c3,3 x 3 + c3,2 x 2 + c3,1 x + c3,0
Bartosz Kuczewski
Komentarz 1
Mamy dokªadnie n(m + 1) = 4n parametrów opisuj¡cych krzyw¡.
Komentarz 2
Warunek w denicji funkcji sklejanej:
s (x ) ∈ C 2 dla x ∈< a, b >,
Oznacza to, »e druga pochodna funkcji s (x ) musi by¢ funkcj¡ liniow¡ w
ka»dym podprzedziale < xi , xi +1 >, i = 0, 1, . . . , n − 1.
Bartosz Kuczewski
Wyznaczanie parametrów
warto±ci w w¦zªach zewn¦trznych speªniaj¡ warunek interpolacji:
s0 (x0 ) = f (x0 ), sn−1 (xn ) = f (xn )
warto±ci 2-gich pochodnych w w¦zªach zewn¦trznych speªniaj¡
warunek naturalno±ci:
s0 (x0 ) = sn−1 (xn ) = 0
00
00
w w¦zªach wewn¦trznych warto±ci funkcji s¡ równe:
si −1 (xi ) = si (xi ) = f (xi ), i = 1, 2, . . . , n − 1
w w¦zªach wewn¦trznych warto±ci pierwszych pochodnych s¡ równe:
si −1 (xi ) = si (xi ), i = 1, 2, . . . , n − 1
0
0
w w¦zªach wewn¦trznych warto±ci drugich pochodnych s¡ równe:
si −1 (xi ) = si (xi ), i = 1, 2, . . . , n − 1
00
00
¡cznie mamy 4n równa«
Bartosz Kuczewski
Funkcje sklejane - przykªad
Dokona¢ interpolacji funkcjami sklejanymi stopnia 3 dla danych:
i
0
1
2
3
4
Bartosz Kuczewski
xi
1
3
4
6
7
yi
-1
0
4
2
5
Funkcje sklejane - przykªad - wyniki
20
15
y
10
5
0
−5
0
1
2
3
Bartosz Kuczewski
4
x
5
6
7
8

Metody numeryczne i statystyka dla inzynierów

Transkrypt

Podobne dokumenty

Aproksymacja cz. II, Wielomiany ortogonalne

1 690 000 337.24 m2 - Bartosz Piwowarski Inwestycje w

STATYSTYKA CBOS - ROŚNIE ZAUFANIE DO POLICJI (STYCZEŃ

Komputerowe przetwarzanie tekstu

Lab3 - interpolacja

Zastosowania interpolacji

Listy z nazwiskami osób - Politechnika Poznańska

Nazwa zespołu Skład zespołu Punkty Miejsce Urywacze chwytów

STATYSTYKA NIELEGALNA ADOPCJA (ART.211A)