ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z

ĆWICZENIE 6
Kratownice
definicja
konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo
w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione
przyłożone w węzłach.
Umowa: jeśli konstrukcja jest kratownicą to w węzłach są przeguby,
nawet jeśli są nie zaznaczone kółkiem. Rysowanie przegubów jest
konieczne jeśli kratownica ma pręty krzyżujące się ze sobą, w celu
odróżnienia punktu skrzyżowania od przegubu.
Warunek konieczny i wystarczający geometrycznej niezmienności i
statycznej wyznaczalności dla kratownicy o oczkach trójkątnych.
2w = p + r
gdzie: w – liczba węzłów
p – liczba prętów
r – liczba reakcji podporowych
SIŁY PRZEKROJOWE W PRĘTACH KRATOWNICY
M ( x ) = ax + b
M ( 0) = a ⋅ 0 + b = 0 ⇒ b = 0
M ( L) = a ⋅ L + b = 0 ⇒ a = 0
⇒ M ( x) ≡ 0
dM ( x )
=a=0
dx
N ( x ) = constans
N i − j = N j −i
⇒ Q ( x) ≡ 0
Pręt i-j.
węzły i , j
układy prętowe
rozciąganie
Ni− j > 0
ściskanie
Ni− j < 0
Ni− j > 0
ściskanie
Ni− j < 0
układy węzłowe
rozciąganie
UWAGA: ma kratownicy rysujemy siły odnoszące się do układów węzłowych (umowa)
TWIERDZENIA O PRĘTACH ZEROWYCH
a)
słownie: jeśli w nieobciążonym węźle schodzą się dwa nierównoległe pręty, to obydwa
pręty są zerowe
b)
słownie: jeśli w węźle schodzą się dwa nierównoległe pręty i węzeł jest obciążony siłą równoległa
do jednego z nich, to drugi pręt jest zerowy.
c)
słownie: jeśli w węźle nieobciążonym schodzą się trzy pręty, z czego dwa są równoległe, to trzeci
pręt jest zerowy.
Pręty zerowe nie pracują w statyce, więc zanim przystąpimy do rozwiązywania
kratownicy należy te pręty usunąć ( tzn. przerysować kratownicę bez tych prętów).
Kolejność:
- szukamy węzłów, w których schodzą się dwa pręty i stosuje się twierdzenie a).
- usuwamy wyszukane pręty zerowe, przerysowujemy kratownicę i powtarzamy
szukanie
- jeśli nie ma już takich węzłów, do których stosuje się twierdzenie a), to szukamy
węzłów o trzech prętach z zastosowaniem twierdzenia b) lub c).
- usuwamy te pręty i ponawiamy poszukiwanie aż do wyczerpania możliwości usunięcia
prętów.
Uwaga: o tym czy pręt jest zerowy rozstrzyga twierdzenie zastosowane do jednego
węzła i to wystarczy (dla drugiego twierdzenie nie musi się stosować)
PRZYKŁADY
1)
2)
1.
METODA RÓWNOWAŻENIA WĘZŁÓW
Zastosowanie:
• dla kratownic, które posiadają przynajmniej jeden węzeł, w którym zbiegają się dwa
pręty
• gdy rozwiązujemy całą kratownicę
• do napisania oprogramowania
PRZYKŁAD
Numerujemy węzły (lub oznaczamy literami)
H1 = 10 ,
V1 = 5 ,
V2 = 10
Znajdujemy węzeł w którym zbiegają się dwa pręty, wycinamy z konstrukcji wraz z działającym
na niego obciążeniem i zapisujemy równania równowagi. Równania te, to suma rzutów na dwa
różne kierunki na płaszczyźnie.
2
+ 5 = 0 ⇒ N1−3 = −5 2 kN
2
2
X
=
0
⇒
N
+
N
+ 10 = 0 ⇒ N1−2 = −5 kN
∑
1− 2
1−3
2
∑ Z = 0 ⇒ N1−3
Otrzymane siły mają ujemny znak (są ściskające) stąd ich zwroty są przeciwne do
zaznaczonych na rysunku.
Na końcowym rysunku będącym graficzną ilustracją rozwiązania zaznaczamy
działanie sił na węzeł i zaznaczamy odpowiednie zwroty
Do kolejnych węzłów obliczone siły
N1−2 , N1−3 traktujemy jako znane i teraz
poszukujemy następnych węzłów o tylko dwóch niewiadomych siłach.
Wycinamy węzeł 2, gdyż spełnia powyższy warunek i zapisujemy równania
równowagi:
∑Z = 0 ⇒ N
∑X =0⇒ N
2 −3
2− 4
− 10 = 0 ⇒ N 2−3 = 10 kN
+ 5 − 10 = 0 ⇒ N 2−4 = 5 kN
Podobnie wycinamy węzeł 4 i otrzymujemy:
∑ Z = 0 ⇒ N 4 −3
2
+ 5 = 0 ⇒ N 4−3 = −5 2 kN
2
Można sprawdzić, że dla
∑ X = 0 jest spełniony dla powyższego rozwiązania.
Uwaga: na kratownicy zaznaczamy siły działające na węzłowe układy
własne !!!
i-j
Ni− j
1-3
1-2
2-3
2-4
3-4
-5
-5√2
+10
+5
-5√2
Zadanie.
Zadaniem jest wyznaczenie sił podłużnych w prętach kratownicy
pokazanej na rysunku, wykorzystując metodę Rittera oraz metodę
równoważenia węzłów.
Metoda Rittera
Pierwszym krokiem jest wybór odpowiedniego rozcięcia kratownicy na dwie
części, przecinającego co najwyżej trzy pręty, których kierunki nie zbiegają się
w jednym punkcie.
Drugi krok: równania równowagi wybranej części. Równania te najkorzystniej
zapisać jako równania zerowania momentów względem punktów przecięcia
kierunków dwóch niewiadomych sił. (w przypadku gdy te siły są równoległe
zamiast równania momentów zapisujemy warunek zerowania się sił na
kierunku prostopadłym do rozważanych dwóch niewiadomych sił w prętach.
Tak zapisane warunki równowagi pozwalają uzyskać układ trzech równań
rozdzielonych ze względu na niewiadome siły podłużne w przeciętych prętach.
Dla podanej kratownicy dokonujemy przecięcia i wyboru rozważanej części
jak na rysunku.
i zapisujemy następujące równania:
M y (C ) = 0 ⇒ 40 ⋅ 3 + r ⋅ N D− H = 0 ⇒= N D− H = −50 kN
3 r
gdzie ramię siły wyznaczyliśmy z podobieństwa trójkątów: = ⇒ r = 2.4 m
5 4
I
∑ M y ( H ) = 0 ⇒ 40 ⋅ 3 + 3 ⋅ NC −E − 40 ⋅ 6 = 0 ⇒ NC −E = +40 kN
∑
I
∑
I
M y ( D) = 0 ⇒ 4 ⋅ NC −G − 40 ⋅ 3 = 0 ⇒ NC −G = +30 kN
W celu wyznaczenia siły podłużnej w pręcie G-H oraz pręcie H-F dokonujemy
wycięcia węzła H. Zapisujemy warunki równowagi wyciętego węzła:
∑X =0⇒ N
∑Z = 0 ⇒ N
F −H
G−H
+ 50 ⋅ cos α = 0 ⇒ N F − H = −40 kN
− 50 ⋅ sin α = 0 ⇒ N G − H = 30 kN
Graficzne przedstawienie rozwiązania zadania
Drugi sposób: jeśli ramię jest kłopotliwe do wyznaczenia to przecinamy kratownicę tuż
przy węźle nieskończenie blisko (ale nigdy w samym węźle). Rozkładamy siłę na
składowe wzdłuż osi x oraz y i wyznaczamy ramiona prostopadłe tzn. na kierunku osi x
oraz y dla tych składowych
N D− H , x = N D− H ⋅ cos α = 0.8 ⋅ N D− H
ry = 0
N D− H , y = N D− H ⋅ sin α = 0.6 ⋅ N D− H
rx = 4.0
I
∑ M y (C ) = 0 ⇒ 40 ⋅ 3 + ry ⋅ N D−H ,x + rx ⋅ N D−H , y = 0 ⇒ N D−H , y = −30 kN
N D− H =
N D− H , y
0.6
−30
=
= −50
0.6
Kartkówka
Uwaga:
Jeśli przy przecięciu metodą Rittera przecina się dwa pręty równoległe to siłę w trzecim pręcie
oblicza się z sumy rzutów na kierunek prostopadły do kierunku tych prętów ( gdyż pręty równoległe
nie mają punktu przecięcia)
cos α =
3
= 0.894
11.25
∑Y = 0
61.875 − 35 − N 3−9 ⋅ 0.894 = 0
N3−9 = 30.084