Kierunek: BUDOWNICTWO

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne drugiego stopnia
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot specjalizacyjny 3
Specjalność: Modelowanie matematyczne
Kierunek: MATEMATYKA
Przedmiot: RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
Rok studiów:
Semestr:
II
3
ECTS: 7
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
30
S
L
-
Przedmioty wprowadzające/wymagania wstępne:
Wstęp do równań różniczkowych.
Założenia i cele przedmiotu:
Znajdowanie dokładnych i uogólnionych rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych.
Metody dydaktyczne:
Wykład i ćwiczenia audytoryjne.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Kolokwia z ćwiczeń oraz egzamin pisemny i ustny z wykładów.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
I. Przestrzenie Sobolewa:
1. Przestrzenie Höldera.
2. Przestrzenie Sobolewa: słabe pochodne, definicja przestrzeni Sobolewa, elementarne
własności słabych pochodnych.
3. Aproksymacja: wewnętrzna aproksymacja funkcjami gładkimi, aproksymacja funkcjami
gładkimi, aproksymacja funkcjami gładkimi do brzegu włącznie.
4. Przedłużanie: twierdzenie o przedłużaniu.
5. Ślady: twierdzenie o śladzie.
6. Nierówności Sobolewa: nierówność Gagliarda – Nirenberga – Sobolewa, nierówność
Morreya, ogólne nierówności Sobolewa.
7. Zwartość: twierdzenie Rellicha – Kondraszowa o zwartości.
8. Nierówność Poincarėgo.
-1
9. Przestrzeń H , przestrzenie funkcji zależnych od czasu.
II. Liniowe równania eliptyczne drugiego rzędu:
1. Definicje: równania eliptyczne, słabe rozwiązania.
2. Istnienie słabych rozwiązań: twierdzenie Laxa – Milgrama, oszacowania energetyczne,
alternatywa Fredholma.
3. Regularność: regularność we wnętrzu, regularność na brzegu.
4. Zasady maksimum: słaba zasada maksimum, mocna zasada maksimum, nierówność
Harnacka.
5. Wartości własne i funkcje własne: wartości własne symetrycznych operatorów eliptycznych,
wartości własne niesymetrycznych operatorów eliptycznych.
III. Liniowe równania paraboliczne drugiego rzędu:
1. Definicje: równania paraboliczne, słabe rozwiązania.
2. Istnienie słabych rozwiązań: przybliżenia Galerkina, oszacowania energetyczne, istnienie
i jednoznaczność.
3. Regularność rozwiązań: twierdzenie o wzmocnionej regularności.
4. Zasady maksimum: słabe zasady maksimum, mocna zasada maksimum.
IV. Liniowe równania hiperboliczne drugiego rzędu:
1. Definicje: równania hiperboliczne, słabe rozwiązania.
2. Istnienie słabych rozwiązań: przybliżenia Galerkina, oszacowania energetyczne, istnienie i
jednoznaczność.
3. Regularność rozwiązań: twierdzenia o poprawionej regularności, większej regularności i
nieskończonej różniczkowalności.
4. Rozchodzenie się zaburzeń: twierdzenie o skończonej prędkości rozchodzenia się zaburzeń.
5. Równania w dwu zmiennych.
Ćwiczenia audytoryjne :
1.
2.
3.
4.
Zadania do części I z wykładów.
Zadania do części II z wykładów.
Zadania do części III z wykładów.
Zadania do części IV z wykładów.
Laboratorium:
Wykaz literatury podstawowej:
[1] L. C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, Warszawa 2002.
[2] H. Marcinkowska, Dystrybucje, przestrzenie Sobolewa, równania różniczkowe, PWN, Warszawa
1993.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] R. A. Adams, Sobolev Spaces, New York 1975.
[2] H. Marcinkowska, Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych, PWN, Warszawa 1986.
Osoba odpowiedzialna za przedmiot:
dr hab. Ludwik BYSZEWSKI, prof. PK
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK