zadania

Matematyka dla informatyków
Ćwiczenia 12
1
Kolorowanie naszyjników
Zadanie 1. Na ile sposobów możemy skonstruować niesymetryczny (względem samych obrotów) naszyjnik złożony z 6 korali przy założeniu, że:
(a) mamy do dyspozycji 6 korali Czerwonych i 6 korali Zielonych,
(b) mamy do dyspozycji 3 rodzaje korali (każdy w dużej ilości),
(c) chcemy aby 2 korale były Białe natomiast 4 Czerwone,
(d) chcemy aby 2 korale były Białe, 2 Czerwone, 2 Zielone,
(e) chcemy aby każdy koral był w innym kolorze.
Zadanie 2. Ile jest niesymetrycznych (względem obrotów i osi symetrii) naszyjników złożonych
z 5 korali przy założeniu, że:
(a) mamy do dyspozycji 2 rodzaje korali,
(b) 3 korale są zielone, 2 białe,
(c) 2 zielone, 2 białe i 1 niebieski.
Zadanie 3. Niech X oznacza zbiór wszystkich kolorowań naszyjnika złożonego z 5 korali przy
użyciu 2 kolorów. Niech G jest grupą C5 wszystkich obrotów pięciokąta foremnego.
(a) Wypisz wszystkie elementy zbioru X.
(b) Podziel zbiór X na klasy abstrakcji Ox relacji ∼ indukowanej przez grupę symetrii G.
(c) Dla każdego x ∈ X wypisz jego stabilizator Sx = {π : π(x) = x}.
(d) Oblicz liczbę orbit za pomocą wzoru (1/|G|)
P
x∈X
|Sx |.
(e) Wypisz dla każdego elementu g grupy G jego Fg = {x ∈ X : π(x) = x}.
(f) Oblicz liczbę orbit korzystając z lematu Burnsidea.
1