STATYSTYKA MATEMATYCZNA Zestaw 2. Rachunek

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Zestaw 2. Rachunek prawdopodobieństwa c.d.
Zadanie 1. Wyznacz kwartyle zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym standardowym oraz
oblicz
P(−1 ¬ X ¬ 1), P(−2 ¬ X ¬ 2), P(−3 ¬ X ¬ 3).
Zadanie 2. Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami: µ = −1, σ 2 = 2.5. Oblicz:
P(0 < X < 2), P(−2 < X ¬ 0), P(X > 1), P(|X − 1| < 1), P(|2X + 1| > 2).
Zadanie 3. Wydajność pracy w pewnym zakładzie jest zmienną losową X o rozkładzie normalnym
z wartością oczekiwaną równą 12 ton/godz. i odchyleniu standardowym 2 tony/godz. Korzystając
z tablic rozkładu normalnego oblicz prawdopodobieństwa, że wydajność:
1. jest mniejsza od 15 ton/godz.,
2. jest mniejsza od 7 ton/godz.,
3. jest zawarta w przedziale [8, 16] ton/godz.,
4. jest zawarta w przedziale [8, 13] ton/godz.,
5. przekroczy 19 ton/godz.
Zadanie 4. Do wypełnienia kartonów z sokiem wykorzystywany jest automat. Waga soku w wypełnianych pojemnikach ma rozkład N (1kg, 0.05kg). Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga losowo
wybranego kartony jest mniejsza niż 0.95kg? Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga kartonu
przekroczy 1.05kg? Jaki procent kartonów waży więcej niż 1kg?
Zadanie 5. Waga kotów ma rozkład N (5kg, 3kg). Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
1. losowo wybrany kot waży poniżej 2.8kg?
2. łączna waga 30 kotów nie przekroczy 205kg?
3. średnia waga 30 kotów jest większa niż 4.5kg i mniejsza niż 5.3kg?
Zadanie 6. Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta o 11 stopniach swobody. Oblicz: P(|X| >
0.697), P(X > 0.260), P(|X| ¬ 2.201).
Zadanie 7. Zmienna losowa X ma rozkład χ2 z 41 stopniami swobody. Oblicz P(X < 32), P(X >
16).
Zadanie 8. Korzystając z odpowiednich tablic odczytaj:
1) kwantyle rzędu 0.25, 0.30, 0.50, 0.60, 0.75, 0.99 dla standardowego rozkładu normalnego,
2) kwantyle rzędu 0.75, 0.50, 0.25, 0.99, 0.995 dla rozkładu t-Studenta o: a) n1 = 25 stopniach
swobody, b) n1 = 20 stopniach swobody, c) n1 = 34 stopniach swobody,
3) kwantyle rzędu 0.01, 0.25, 0.75, 0.50, 0.995 dla rozkładu χ2 o a) n1 = 15 stopniach swobody,
b) n1 = 23 stopniach swobody, c) n1 = 45 stopniach swobody,
Zadanie 9. Przez u(p), t(n, p), χ2 (n, p), f (n1 , n2 , p) oznaczmy odpowiednio kwantyle rzędu p
rozkładu:
• normalnego N (0, 1),
• t-Studenta z n stopniami swobody,
• χ2 z n stopniami swobody oraz
• F -Snedecora z n1 i n2 stopniami swobody.
(a) Dla α = 0.05 oblicz:
u(1 − α2 ), t(10, 1 − α2 ), χ2 (7, α2 ), χ2 (7, 1 − α2 ), f (15, 35, α2 ), f (15, 35, 1 − α2 ).
(b) Dla α = 0.1 oblicz:
u(1 − α2 ), t(15, 1 − α2 ), χ2 (17, α2 ), χ2 (17, 1 − α2 ), f (10, 12, α2 ), f (10, 12, 1 − α2 ).
Zadanie 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10 000 noworodków będzie więcej chłopców
niż dziewczynek? Przyjmij, że prawdopodobieństwo płci męskiej noworodka wynosi 0.517.
Zadanie 11. Z magazynu wybieramy losowo 100 worków. Średnia waga worka równa jest 50kg,
a odchylenie standardowe wynosi 4kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łączna waga wybranych
worków przekroczy 4.5 tony?
Zadanie 12. Rzucamy 100 razy kostką do gry. Znaleźć prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych
oczek: a) będzie większa od 380, b) będzie mniejsza od 400, c) będzie zawarta w przedziale [320, 390].
Zadanie 13. Ciężar jaj kurzych zniesionych w okresie zimowym w pewnym gospodarstwie ma
rozkład normalny o średniej 0.05 kg i odchyleniu standardowym 0.005kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 20 sztuk losowo wybranych jajek przekroczy wagę 1.02kg?
Zadanie 14. Wielkość miesięcznej produkcji każdego z trzech zakładów produkcji telewizorów
jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, przy czym parametry tych trzech rozkładów są
następujące: m1 = 20 000, σ1 = 2000, m2 = 30 000, σ2 = 4000, m3 = 50 000, σ3 = 4000. Oblicz
prawdopodobieństwo, że łączna produkcja tych zakładów będzie: a) zawarta między 100 000 a
110 000 sztuk, b) wyższa niż 120 000.
Zadanie 15. Załóżmy, że czas przepisywania jednej strony pracy dyplomowej ma rozkład normalny
z wartością oczekiwaną 15 minut i odchyleniem standardowym 3 minuty. Jaki procent stron będzie
przepisywany dłużej niż 20 minut? Jeśli praca zawiera 100 stron, to jak długo należy oczekiwać na
jej przepisanie?
Zadanie 16. Wadliwość produkowanego przez firmę obuwia wynosi 10%. Sklep sprzedał 300 par
obuwia wyprodukowanego przez daną firmę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że więcej niż 8%
klientów złoży reklamację?
Zadanie 17. Prawdopodobieństwo uzyskania wygranej w pewnej grze liczbowej wynosi 0.1. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że spośród 500 grających osób wygra więcej niż 60 osób?
WYBRANE ODPOWIEDZI
Odpowiedź 1. Q1 = −0.6744898, Q2 = 0, Q3 = 0.6744898,
P(−1 ¬ X ¬ 1) = 0.6826895, P(−2 ¬ X ¬ 2) = 0.9544997, P(−3 ¬ X ¬ 3) = 0.9973002.
Odpowiedź 2. 0.2346548, 0.4729107, 0.1029516, 0.2346548, 0.5473057.
Odpowiedź 3. 0.9331928, 0.006209665, 0.9544997, 0.6687123, 0.0002326291.
Odpowiedź 4. 0.1586553, 0.1586553, 50%.
Odpowiedź 5. 0.2316776, 0.9995918, 0.5274036.
Odpowiedź 6. 0.500268, 0.399833, 0.9500013.
Odpowiedź 7. 0.1580553, 0.999845.
Odpowiedź 8. 1) −0.6744898, −0.5244005, 0, 0.2533471, 0.6744898, 2.3263479,
2) a) 0.684430, 0, −0.684430, 2.485107, 2.787436,
b) 0.6869545, 0, −0.6869545, 2.5279770, 2.8453397,
c) 0.6817741, 0, −0.6817741, 2.4411496, 2.7283944.
3) a) 5.229349, 11.036538, 18.245086, 14.338860, 32.801321,
b) 10.19572, 18.13730, 27.14134, 22.33688, 44.18128,
c) 25.90127, 38.29102, 50.98495, 44.33512, 73.16606.
Odpowiedź 9. a) 1.959964, 2.228139, 1.689869, 16.01276, 0.3830813, 2.23499,
b) 1.644854, 1.75305, 8.67176, 27.58711, 0.3432914, 2.753387.
Odpowiedź 10. Przybliżenie rozkładem normalnym: 0.9996655.
Odpowiedź 11. 1
Odpowiedź 12. 0.03949129, 0.9982926, 0.9509225.
Odpowiedź 13. 0.1855467.
Odpowiedź 14. 0.4522096, 0.0004290603.
Odpowiedź 15. 4.779035%, oczekiwany czas 1500 minut z odchyleniem standardowym 30 minut.
Odpowiedź 16. Dokładnie (rozkład dwumianowy): 0.856084. Przybliżenie rozkładem normalnym:
0.8758935. Z poprawką na ciągłość: 0.8550806.
Odpowiedź 17. Dokładnie (rozkład dwumianowy): 0.06182548. Przybliżenie rozkładem normalnym: 0.06801856. Z poprawką na ciągłość: 0.05876243.