linkiem

Zadanie 1
Właściciel winnicy, nie mający jednak zbyt wielkiego doświadczenia w produkcji wina,
postanowił wypróbować recepturę na Merlota, zakupioną od znanego włoskiego producenta.
Już w pierwszym roku, sprzedał 2 tys. butelek swojego nowego wina. Po dziesięciu latach
postanowił opisać sprzedaż (w tys. butelek):
y T = [2 2 3 3 5 6 5 7 8 9]
liniowym modelem trendu: yt = β 0 + β 1t + ε t
(
)
−1
[A] Oszacuj parametry strukturalne modelu za pomocą estymatora B = X T X X T y
[B] Wyznacz oceny parametrów strukturalnych modelu β1 oraz β 0 odpowiednio
n
estymatorami
bˆ1 =
∑ (x
t =1
t
− x )( y t − y )
n
∑ (x
t =1
t
− x)
oraz
bˆ0 = y − b1 x ,
2
dla których punktem wyjścia jest pochodna funkcji liniowej f ( x) = b0 + b1 x względem
zmiennej x.
W tym celu pomocne będzie uzupełnienie tabeli z danymi szczegółowymi (dane
częściowo przeliczone):
xt = t
yt
xt − x
yt − y
(xt − x )( yt − y ) (xt − x )2
1
2
2
2
3
3
4
3
5
5
6
6
7
5
8
7
9
8
10
9
Suma:
55
50
Średnia:
5,5
5
Porównaj otrzymane rezultaty.
-4,5
-3,5
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
-3
-3
-2
-2
0
1
0
13,5
10,5
5
3
0
0,5
0
20,25
12,25
6,25
2,25
0,25
0,25
2,25
[C] Oceń dopasowanie modelu do danych statystycznych.
[D] Dokonaj weryfikacji statystycznej istotności zmiennej objaśniającej modelu.
[E] Oceń poprawność doboru postaci analitycznej modelu. W tym celu pomocne będzie
uzupełnienie tabelki:
t
yt
ŷ t
et
znaki:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
3
5
6
5
7
8
9
Zadanie 2
Na podstawie 15 letnich obserwacji rocznych oszacowano estymatorem KMNK parametry
strukturalne modelu popytu na herbatę, otrzymując (w nawiasach podano wartości
standardowych błędów szacunku):
yˆ t = 0,25 + 0,7 DR − 0,1CH + 0,04CK
, gdzie:
(0,28) (0,19) (1,24) (1,47)
y t − sprzedaż detaliczna herbaty w danym roku w kg na mieszkańca
DR − dochód realny na mieszkańca w danym roku w tys. zł
CH oraz CK − cena realna odpowiednio za 1 kg herbaty oraz kawy, w danym roku
[A] Dokonaj weryfikacji statystycznej istotności dochodu realnego jako zmiennej
wyjaśniającej zmienność sprzedaży detalicznej herbaty.
[B] Postawiono roboczą hipotezę, iż wzrost realnego dochodu na mieszkańca w ciągu
najbliższego roku o tysiąc złotych, spowoduje w tym czasie wzrost sprzedaży detalicznej
herbaty na mieszkańca o 1,2 kg. Dokonaj weryfikacji tej hipotezy na przyjętym poziomie
istotności.
Zadanie 3
Analizując związek pomiędzy miesięczną sprzedażą produkcji pewnego soku owocowego (yt,
sprzedaż mierzona w tysiącach hektolitrów), a wydatkami na promocję w lokalnej prasie (x1t)
oraz wydatkami na promocję radiową (x2t – wydatki mierzone w setkach tysięcy zł), zaproponowano
następujący model:
y t = β 0 + β 1 x1t + β 2 x 2t + ε t , który po oszacowaniu parametrów
strukturalnych przyjął postać: yˆ t = −0,69 − 0,49 x1t + 2,52 x 2t .
Wiedząc, iż w analizowanym okresie sprzedaż
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
kształtowała się zgodnie z danymi zestawionymi w tabeli,
należy ocenić
yt 3 2 2 4 1 5 1 0 1 4 0 1 4 7
[A] istotność parametrów strukturalnych modelu oraz
[B] dopasowanie modelu do danych empirycznych.
W tym celu pomocne będą następujące informacje:
14
∑ yˆ
t =1
2
t
= 115,29
,
T
(X X)
−1
 236 − 44 − 88
1 
=
− 44 76 − 48

400
 − 88 − 48 104 
Zadanie 4
Szacowano parametry strukturalne modelu spełniającego założenia KMRL: yt = β 0 + β1 x1t + β 2 x2t + ε t
W wyniku podjętych prac, wykorzystując estymator dany KMNK uzyskano model regresji:
yˆ t = 0,7 + 2,1x1t + 1,2 x2t .
[A] Spośród przedstawionych poniżej wektorów reszt, wybierz ten, który Twoim zdaniem
mógłby pełnić rolę wektora reszt zaprezentowanego modelu (uzasadnij odpowiedź):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 3 -2 1 -4 3 -2 3 -1 2 -1 1
A e
2 1 -2 3 -4 2 3 -2 -3 4 -2 -2
B e
1 -2 3 -2 2 -1 3 -3 -1 3 -1 -2
C e
[B] Dla wybranego wektora reszt dokonaj weryfikacji poprawności doboru postaci
analitycznej modelu.