Ułamki zwykłe
Transkrypt
Ułamki zwykłe
Ułamki zwykłe mgr Janusz Trzepizur Ułamek jako część całości W ułamku wyróżniamy licznik i mianownik. licznik kreska ułamkowa 1 2 mianownik 1 2 (czytamy: jedna druga) czyli połowa całości. Dwie takie połowy tworzą całość. Jaką część figury zamalowano? Odp.: Zamalowano (czytamy: trzy ósme) figury. W liczniku piszemy liczbę zamalowanych części. W mianowniku piszemy liczbę wszystkich części z których składa się ta figura. Jaką część poniższych figur zamalowano? Ułamek zwykły jako iloraz licznik kreska ułamkowa 1 2 mianownik 1 1: 2 = 2 Iloraz dwóch liczb możemy zapisać w postaci ułamka, gdzie dzielna jest licznikiem, znak dzielenia kreską ułamkową, a dzielnik mianownikiem. Ułamki właściwe Ułamek nazywamy właściwym, jeżeli licznik jest liczbą mniejszą od mianownika. 3 5 3<5 Przykłady ułamków właściwych: 5<8 , 1<6 , 3<4 Ułamki niewłaściwe Ułamek nazywamy niewłaściwym, jeżeli licznik jest liczbą większą lub taką samą jak liczba w mianownika. 6 5 6>5 6 6 6=6 Przykłady ułamków niewłaściwych: 7>3 , 9>7 , 3=3 Liczbę 1 można zapisać w postaci ułamka, w którym licznik równy jest mianownikowi. 1= 5 5 5=5 1= 1 1 1=1 Każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci ułamka, w którym licznik jest wielokrotnością mianownika. 3= 5= 2·3 2 3·5 3 6 2 = 15 =3 6:2=3 15 : 3 = 5 Liczba mieszana Liczbą mieszaną nazywamy liczbę złożoną z całości i ułamka właściwego. 2 3 5 Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy Każdą liczbę mieszaną możemy zamienić na ułamek niewłaściwy w następujący sposób: 1. Mnożymy liczbę z mianownika przez liczbę całości. 2. Sumę otrzymanego iloczynu i liczby z licznika zapisujemy nad kreską ułamkową. 3. Mianownik pozostawiamy bez zmian. 2 3 5 = 2·5+3 5 = 13 5 Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną Każdy ułamek niewłaściwy możemy zamienić na liczbę mieszaną w następujący sposób: 1. Dzielimy liczbę z licznika przez liczbę z mianownika. 2. Otrzymaną część całkowitą ilorazu zapisujemy przed ułamkiem, a resztę z dzielenia wpisujemy do licznika. 3. Mianownik pozostawiamy bez zmian. 13 5 =2 3 5 2 13 : 5 - 10 3 Skracanie ułamków Aby skrócić ułamek, trzeba licznik i mianownik podzielić przez taką samą liczbę różną od 0. 12 16 = 12 : 4 16 : 4 = 3 4 Ponieważ licznik i mianownik można było podzielić przez taką samą liczbę (w tym przypadku liczbą taką jest 4). Ponieważ nie znajdziemy liczby która byłaby wspólnym dzielnikiem liczb 3 i 4, wówczas mówimy, że ten ułamek jest nieskracalny. Po skróceniu wartość ułamka się nie zmienia. Jeżeli ułamek nie można skrócić (czyli znaleźć takiej liczby, która byłaby dzielnikiem licznika i mianownika), to mówimy, że jest on ułamkiem nieskracalnym. Zadanie 1 Skróć ułamki: = = = = = Rozszerzanie ułamków Aby rozszerzyć ułamek, należy jego licznik i mianownik pomnożyć przez taką samą liczbę, różną od zera. 2 3 = 2·4 3·4 8 = 12 Po rozszerzeniu wartość ułamka się nie zmienia. Porównywanie ułamków Jeśli dwa ułamki mają jednakowe mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik. 4>3 4 5 > 5=5 2>1 3 5 2 3 > 3=3 5<7 1 3 5 9 < 9=9 7 9 Jeśli dwa ułamki mają jednakowe liczniki, to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik. 5=5 3=3 5 4 3 2 < 4>3 5 3 < 2>1 3 1 9=9 9 5 > 5<7 9 7 Dodawanie ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach Dodawanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach polega na dodaniu do siebie liczników i przepisaniu bez zmian mianownika. 4 5 3 5 + = 4+3 5 7 5 = =1 2 5 Odejmowanie ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach Odejmowanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach polega na odjęciu do siebie liczników i przepisaniu bez zmian mianownika. 4 5 - 3 5 = 4-3 5 = 1 5 Dodawanie liczb mieszanych W dodawaniu liczb mieszanych, dodajemy najpierw liczby całkowite, a następnie ułamki. 2 4 3 2 4 1 4 + +1 == 4 Najpierw dodajemy całości: 3+1=4 1 4 3 4 = 3 4 Dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach Dodawanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika i wykonaniu działania. 2 3 1 4 8 12 3 12 + = + = Wspólna najmniejsza wielokrotność liczb 3 i 4 to 12 – wspólny mianownik tych liczb. 8+3 12 = 11 12 Odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach Odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach polega na sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika i wykonaniu działania. 2 2 1 3 6 6 2 6 - = - = Wspólna najmniejsza wielokrotność liczb 2 i 3 to 6 – wspólny mianownik tych liczb. 6-2 6 4 6 4 6 = = = 2 3 4:2 2 = 6:2 3 skracamy ułamek Odejmowanie liczb mieszanych W odejmowaniu liczb mieszanych, odejmujemy najpierw liczby całkowite, a następnie ułamki. 2 3 3 2 3 1 3 - - 1 == 2 Najpierw odejmujemy całości: 3–1=2 1 3 1 3 = 1 3 Ponieważ odjemnik jest większy od odjemnej, to nie możemy wykonać odejmowania. 3 1 3 2 3 4 3 2 3 2 3 - 1 ==2 -1 = 1 Dlatego całość zmniejszamy o jeden. A jeden zapisujemy w postaci ułamka i dodajemy do ułamka liczby mieszanej. 3 1 3 3 3 1 3 =2 + = 2 4 3 Mnożenie ułamków zwykłych przez liczbę Mnożenie ułamka przez liczbę polega na pomnożeniu liczby przez licznik ułamka (jeżeli istnieje taka możliwość, przed mnożeniem skracamy liczbę z mianownikiem) i przepisaniu mianownika bez zmian. 4· 2 3 = 4·2 3 8 = 3 2 8 3 = =2 2 3 2 8:3 -6 2 2 3 4 8· 2 6 = 4·2 3 8 3 = =2 2 3 · = 8 3 3 8= 8 1 4 8 1 2 63 Największy wspólny dzielnik liczb 8 i 6 to 2, dlatego licznik pierwszego i mianownik drugiego dzielimy przez 2 Skracanie ułamków „na krzyż”, polega na podzieleniu licznika pierwszego i mianownika drugiego przez taką samą liczbę i odwrotnie. Mnożenie ułamków przez siebie Mnożenie ułamka przez siebie polega na pomnożeniu ich liczników i zapisaniu otrzymanego wyniku w liczniku oraz obliczeniu iloczynu mianowników i zapisaniu uzyskanego wyniku w mianowniku. Przed wykonaniem obliczeń skracamy, jeżeli jest to możliwe, wybrane liczby z licznika z wybranymi liczbami z mianownika. 2 3 · = 5 7 2·5 3·7 = 10 21 Mnożenie liczb mieszanych Mnożenie liczb mieszanych polega na zamianie ich na ułamki niewłaściwe i wykonaniu działania. Po zamianie liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe skracamy je, jeżeli jest to możliwe, wybrane liczby z licznika z wybranymi liczbami z mianownika. 2 2·3+2 8 =3 23= 3 3 2 7 1 ·2 2 3 = · = · = =3 9 7 2 1·7+2 9 =7 17 = 7 8 3 1 3 8 7 1 24 7 3 7 Potęgowanie ułamków zwykłych Potęgowanie ułamków polega na pomnożeniu przez siebie określonej liczby ułamków zwykłych. 2 3 2 1 2 2 = 2 2 3 2 3 = · = 5 2 2 5 2 5 2 4 9 25 4 = · = =6 1 4 Odwrotność ułamka Odwrotnością ułamka nazywamy ułamek, w którym zamienione zostały miejscami liczba z licznika z mianownikiem. Liczba zero nie ma swojej odwrotności. Każdą liczbę mieszaną i każdą liczbę naturalną możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego i podać jej odwrotność. 2 3 3 2 2 3 Ułamkiem odwrotnym do 3 jest ułamek 2 . Dzielenie ułamków zwykłych Aby podzielić dowolną liczbę przez ułamek, należy tę liczbę pomnożyć przez odwrotność ułamka. 2 3 2 3 : = · = 5 7 7 5 2 3 : 2= · = 2 3 2 2 = 1 1 2 1 2 2·7 3·5 2·1 3·2 = 2 6 14 15 = = 1 3 Obliczanie ułamka danej liczby Aby obliczyć ułamek danej liczby, należy ten ułamek pomnożyć przez daną liczbę. Oblicz 2/3 liczby 120 40 2 3 1 · 120 = 80 Zadanie 1 Przerwa trwa 1/6 godziny. Oblicz, ile to minut. Jedna godzina to 60 minut, więc 10 1 6 1 · 60 = 10 Odp.: Przerwa trwa 10 minut. Zadanie 2 W klasie jest 30 uczniów. Jeżeli 2/3 klasy to dziewczyny, to ilu chłopców jest w tej klasie? Chłopcy stanowią 1- 2 1 3 = 3 10 1 3 1 · 30 = 10 Odp.: Chłopców w tej klasie jest 10. Obliczanie liczby z danego jej ułamka Aby obliczyć liczbę, mając wartość danego jej ułamka musimy podzielić tę wartość przez ułamek. 2/3 tej liczby – to 20. Jaka to liczba? 10 20 : 2 3 =20 · = 30 Odp.: Liczba tą jest 30. 3 21 Zadanie 1 W klasie jest 8 chłopców, którzy stanowią ¼ całej klasy. Ile jest wszystkich uczniów w tej klasie? 8: 1 4 = 8 · = 32 4 1 Odp.: Wszystkich uczniów w tej klasie jest 32. Zadanie 2 Ania poświęca 1/3 wolnego czasu na oglądanie telewizji, a pozostałe 6 godzin na naukę. Ile czasu Ania ogląda telewizję? Na naukę Ania poświęca 6 godzin co stanowi 1 – 1/3 = 2/3 jej wolnego czasu. 6: 2 3 3 wolny czas Ani =6 · =9 3 2 1 czas na oglądanie TV Odp.: Ania na oglądanie telewizji poświęca 9 h – 6 h = 3 h. wolny czas Ani czas na naukę Bibliografia • H. Lewicka i E. Rosłon, „Matematyka wokół nas” (klasa 4 i 5), Nowa Era, Warszawa 1999. • J. Brdnarczuk i J. Bednarczuk, „Matematyka w segregatorze” (klasa 4 i 5), WSiP, Warszawa 2006. • Ł. Badowski, A. Chmielecka, A. Trajnerowicz, Ewa i Krzysztof Werner-Malento, „Kompendium szóstoklasisty MATEMATYKA”, Papilon. • S. Durydlwka i S. Łęski, „Mogę zostać Pitagorasem” (klasa 5), Adam, Warszawa 1999.