samoadaptacyjna metoda algorytmów genetycznych w optymalizacji

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 52, ISSN 1896-771X
SAMOADAPTACYJNA METODA
ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH
W OPTYMALIZACJI PRZESTRZENNYCH
KRATOWNIC
Krzysztof Grygierek1a
Katedra Mechaniki i Mostów, Politechnika Śląska
[email protected]
1
a
Streszczenie
W artykule przedstawiono optymalizację masy przestrzennych kratownic stalowych metodą algorytmów genetycznych w połączeniu z metodą elementów skończonych. W metodzie algorytmów genetycznych zastosowano kodowanie całkowitoliczbowe dyskretnego zbioru zmiennych projektowych oraz samoadaptacyjną metodę opartą na
arytmetyce logiki rozmytej mającą poprawić jakość i szybkość optymalizacji. W przykładach zaprezentowano
efektywność zaproponowanej metody do optymalizacji masy kratownic z uwzględnieniem dopuszczalnych przemieszczeń i naprężeń.
Słowa kluczowe: algorytmy genetyczne, metoda elementów skończonych, kratownice
SELF-ADAPTIVE METHOD OF GENETIC ALGORITHM
IN OPTIMIZATION OF SPATIAL TRUSS STRUCTURES
Summary
In the article genetic algorithm method in combination with finite element method was used for the optimization of the weight of spatial steel truss structures. Integer encoding of a discrete set of design variables and selfadaptive method based on the fuzzy logic mechanism for improving the quality and speed of optimization were
applied in the method of genetic algorithm. The examples present the efficiency of proposed method for weight
optimization of spatial trusses taking into account allowable displacements and stresses.
Keywords: genetic algorithm, finite element method, truss
1. WSTĘP
Koszt materiału jest jednym z głównych kryteriów
doboru rodzaju konstrukcji nowych obiektów. Oczywiście, aby obniżyć ten wskaźnik, powinno się dążyć do
redukcji masy lub objętości materiału. Wiele metod oraz
algorytmów zostało rozwiniętych w ostatnich kilkudziesięciu latach w celu optymalnego projektowania zagadnień technicznych [3]. Większość z nich stosuje metody
programowania matematycznego oraz kryteria optymalności dla ciągłego zakresu zmiennych projektowych.
W praktyce w większości przypadków jest to związane
z dyskretnym zbiorem zmiennych projektowych, a tym
samym ze standaryzacją rozmiarów elementów wytwarzanych przez producentów.
Algorytmy genetyczne są to algorytmy poszukiwania
oparte na mechanizmach doboru naturalnego oraz
dziedziczności [10]. Łącząc w sobie ewolucyjną zasadę
przeżycia najlepiej przystosowanych z systematyczną,
choć losową wymianą informacji, tworzą metodę poszukiwań. Wykorzystują przy tym doświadczenia poprzednich pokoleń do określenia nowych obszarów poszukiwań
o spodziewanej wyższej wydajności. W ostatnich dwóch
dekadach algorytmy genetyczne, mimo że nie gwarantują otrzymania globalnego optimum, stały się zaawansowanym narzędziem optymalizacji dla szerokiego spektrum zagadnień inżynierskich. W budownictwie prace
naukowe dotyczą głównie optymalizacji konstrukcji
kratowych i ramowych. Oto niektóre z nich. W pracy [6]
80
Krzysztof Grygierek
przedstawiono optymalizację kratownic płaskich i przestrzennych, a w [9] kratownic i ram. Optymalizację
z uwzględnieniem nieliniowości w stalowych ramach
opisano w artykułach [8, 12]. W pracy [1] poddano
optymalizacji stalowe ramy o węzłach podatnych, zaś
w artykule [5] stalowe mostowe łuki kratownicowe.
Monolityczną ramową konstrukcję żelbetową zoptymalizowano w artykule [14], a w artykule [4] m.in. schody.
Powyższe artykuły zajmują się optymalizacją wagi lub
objętości konstrukcji. W literaturze problemu znajdziemy również pozycje, które optymalizują kształt kratownic [11, 15]. Algorytmy genetyczne, ze względu na ich
bardzo wolną zbieżność, są bardzo czasochłonne zwłaszcza w przypadku złożonych problemów. Stąd poprawa
efektywności jest tematyką wielu artykułów naukowych.
Wprowadzono kodowanie całkowitoliczbowe dla dyskretnych zbiorów zmiennych projektowych [2, 7]. Przeanalizowano wpływ różnych operatorów krzyżowania
i mutacji na osiągane wyniki, zaś w artykule [17] operatory te są automatycznie zamieniane podczas kolejnych
kroków algorytmu, w zależności od aktualnego rozproszenia osobników. Wprowadzono zmienne, w czasie
trwania symulacji, prawdopodobieństwa krzyżowania
i mutacji, współczynniki stosowane w funkcjach kary,
liczbę osobników. Tutaj najbardziej popularna jest
metoda samoadaptacyjna (self-adaptive method).
W metodzie tej wyniki są obliczane z wyrażeń zależnych od wartości funkcji przystosowania [16] lub za
pomocą arytmetyki rozmytej logiki [13].
W artykule przedstawiono nowe połączenie kodowania całkowitoliczbowego z metodą samoadaptacyjną
opartą na arytmetyce rozmytej. Umożliwia ono,
w połączeniu z MES, efektywne optymalizowanie konstrukcji o dyskretnym zbiorze optymalizowanych wartości. W zaproponowanym algorytmie wszystkie podstawowe parametry sterujące przebiegiem procesu optymalizacji są dobierane automatycznie. Zmodyfikowano
również operację mutowania, która stała się równoważną
z krzyżowaniem. Zaproponowany algorytm przetestowano na przykładach przestrzennych kratownic.
konstrukcji. Ten klasyczny rodzaj kodowania ma
niestety pewne wady, które uwidaczniają się szczególnie
w
przypadku
dyskretnego
zbioru
zmiennych
projektowych. W przypadku kratownic takim zbiorem
może być typoszereg wybranych kształtowników
stalowych, w którym każdemu kolejnemu numerowi
przyporządkowane są charakterystyki geometrycznowytrzymałościowe odpowiedniego profilu. Można wtedy
zastosować kodowanie całkowitoliczbowe [2, 7].
Do każdej
liczby
przyporządkowany
jest
jeden
kształtownik, a co za tym idzie – odpowiednie
właściwości jego przekroju. W stosunku do kodowania
binarnego w kodowaniu tym chromosom jest opisany za
pomocą krótszego łańcucha znaków oraz odpada
konieczność dekodowania, ponieważ genotyp jest
identyczny z fenotypem. Oszczędza się w ten sposób
pamięć komputera oraz czas symulacji. Nie występuje
problem zgodności rozmiarów zakresu zmiennych
projektowych i opisującego je łańcucha binarnego. Unika
się klifu Hamminga (w niektórych przypadkach
potrzebna jest znaczna zmiana łańcucha binarnego dla
niewielkiej zmiany parametru), który spowalnia
zbieżność algorytmu genetycznego. Ze względu na
powyższe zalety, w artykule do optymalizacji kratownic
o dyskretnym zbiorze zmiennych projektowych
zastosowano kodowanie całkowitoliczbowe.
2.2 KRZYŻOWANIE I MUTACJA
W algorytmie zastosowano krzyżowanie jednorodne,
które w kodowaniu całkowitoliczbowym przebiega
analogicznie do krzyżowania w kodowaniu binarnym.
W krzyżowaniu binarnym wymieniane fragmenty
chromosomów przez rodziców mogą prowadzić do
rozrywania „dobrych” genów i przez to do zmniejszania
funkcji przystosowania ich dzieci. Taki proces nie
zachodzi w krzyżowaniu całkowitoliczbowym. Wymianie
ulegają zawsze całe geny. Z drugiej strony, taki przebieg
operacji krzyżowania powoduje, że operuje się wyłącznie
na genach wylosowanych w pierwszej populacji, co
znacznie
spowalnia
proces
optymalizacji.
Za wprowadzenie nowego materiału do procesu
optymalizacji całkowicie odpowiada mutacja, która staje
się
operacją
równorzędną
do
krzyżowania.
Zaproponowana w artykułach [2, 7] operacja mutowania
polegająca na dodaniu lub odjęciu wartości jeden do
mutowanego genu wydaje się zbyt zachowawcza
(potrzeba wielu takich operacji, żeby znacznie zmienić
wartość genu). Większe i zmienne w czasie ewolucji
wartości dodawane do mutowanego genu powinny
przynieść lepszy efekt na proces zbieżności. Oczywiście,
innym rozwiązaniem jest zwiększenie rozmiaru populacji
chromosomów, co jednak znacznie wydłuży czas
działania
algorytmu.
W
artykule
zastosowano
samoadaptacyjną operację mutowania. Szerzej zostanie
ona opisana w kolejnym rozdziale.
2. ALGORYTMY GENETYCZNE
W algorytmach genetycznych, ze względu na ich stochastyczną naturę, głównym problemem jest powolna
zbieżność, a co za tym idzie, czasochłonność. W celu
poprawy zbieżności w artykule wprowadzono pewne
mechanizmy mające usprawnić ten proces. Są one opisane w następnych punktach.
2.1 KODOWANIE
W metodzie algorytmów genetycznych można
zastosować różne metody kodowania. W optymalizacji
konstrukcji
stalowych
w
artykułach
przewodzi
kodowanie binarne, gdzie ciąg znaków zero-jedynkowych
opisuje cechy charakterystyczne optymalizowanej
81
SAMOADAPTACYJNA METODA ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH…
strony, duże PC i PM zwiększają prawdopodobieństwo
zniszczenia
i
rozbicia
dobrych
chromosomów,
spowalniając proces optymalizacji i zbieżności. Podobny
wpływ na proces ewolucyjny będzie miała wartość S,
która określa maksymalną wartość, jaką można dodać do
mutowanego genu. Badania naukowe pokazują, że
stosowanie zmiennych wartości, dostosowanych do
aktualnej sytuacji procesu, znacznie zwiększają
efektywność i jakość rozwiązania [13, 17]. Problem
jednak polega na tym, że nie ma ścisłych zależności
matematycznych potrzebnych do obliczenia powyższych
wartości.
W artykule przyjęto, że danymi wejściowymi do
obliczenia PC, PM oraz S będą aktualne rozproszenie
populacji, jakość chromosomu oraz krok algorytmu.
W większości artykułów miarą rozproszenia populacji
jest rozrzut funkcji przystosowania. Można jednak
pokazać przykłady, w których chromosomy mające
bardzo zbliżony getotyp różnią się stosunkowo mocno
wartościami funkcji przystosowania oraz odwrotnie.
Dlatego w pracy przyjęto dwie miary rozproszenia
populacji. Pierwsza miara opiera się na funkcji
przystosowania [13]:
2.3 STEROWANIE ALGORYTMEM
Wiele parametrów wpływa na jakość i szybkość
procesu optymalizacyjnego w algorytmach genetycznych
np.: wybór funkcji przystosowania, definicja operacji
krzyżowania i mutacji, rozmiar populacji, liczba pokoleń,
prawdopodobieństwo operacji krzyżowania i mutacji.
W klasycznym algorytmie genetycznym wszystkie te
parametry są stałe i zdefiniowane przed rozpoczęciem
algorytmu. Wiele prac naukowych [13,16] pokazuje
jednak, że lepsze rezultaty można otrzymać, stosując
zmienne w trakcie trwania symulacji parametry.
Niestety duża liczba parametrów komplikuje proces
sterowania. Zależą one od wielu czynników, a relacje
pomiędzy nimi i ich wpływ na właściwości algorytmu
genetycznego są bardzo skomplikowane. Dlatego też
w większości metod wyizolowane są pojedyncze
parametry, które są modyfikowane w kolejnych
pokoleniach.
Przykładowo
w
artykule
[7]
prawdopodobieństwo krzyżowania i mutacji zależy od
funkcji przystosowania, a w pracy [17] operacje
krzyżowania i mutacji zależą od rozproszenia
chromosomów.
Prawdopodobieństwo
krzyżowania
i mutacji oraz liczba bitów biorących udział w operacji
mutacji są sterowane w [13]. Parametry te uzależniono
od funkcji przystosowania danego chromosomu, średniej
funkcji przystosowania całej populacji, kroku symulacji
oraz liczby kroków, w których nie uzyskano poprawy
wyników. Jak widać, badacze stosują różne parametry
wejściowe
do
obliczania
wartości
parametrów
odpowiedzialnych
za
przebieg
procesu
optymalizacyjnego. Kolejnym problemem jest brak
ścisłych zależności pomiędzy parametrami wejściowymi
i wyjściowymi. W artykule [16] zastosowano metodę
samoadaptacyjną, w której zaproponowano ścisłe
zależności. Jako dane wejściowe przyjęto wartości
funkcji przystosowania, jako parametry wyjściowe
prawdopodobieństwo
mutacji
i
krzyżowania.
Zaproponowane
zależności
matematyczne
bazują
wyłącznie
na
obserwacji
przebiegu
algorytmu
genetycznego i wynikach testów. Sformułowanie ścisłych
związków, potrzebnych do uwzględnienia więcej danych
wejściowych, jest praktycznie niemożliwe. Interesującą
alternatywą dla takiego przypadku jest zastosowanie
logiki rozmytej [18]. Algebra rozmyta jest stosunkowo
prostą i efektywną metodą służącą do opisu złożonych
relacji szczególnie wówczas, kiedy relacje te bazują na
obserwacji i wynikach eksperymentu.
Za rozproszenie chromosomów odpowiedzialne są
operacje krzyżowania i mutacji. Prawdopodobieństwa
krzyżowania PC i mutacji PM decydują o tym, jak często
chromosomy poddane są tym operacjom w procesie
ewolucji. Z jednej strony duże PC i PM umożliwiają
lepsze przeszukanie przestrzeni zadania i stąd zwiększa
się
prawdopodobieństwo
znalezienia
lepszego
rozwiązania, a nawet globalnego optimum. Z drugiej
T1 f = (fmax − favg ) / (fmax − fmin ) ,
(1)
gdzie, przez fmax, favg, fmin oznaczono odpowiednio
maksymalną, średnią i minimalną wartość funkcji
przystosowania w populacji. Drugą miarą jest
rozproszenie genotypu T1g. Zakres zmiennych został
podzielony na przedziały i sprawdza się, czy w całej
populacji
przynajmniej
raz
występuje
wartość
z przedziału w każdym genie. Obydwie miary przyjmują
wartości z zakresu [0,1]. Duże wartości oznaczają
znaczne rozproszenie chromosomów. Duże PC, powinno
pomóc w uzyskaniu lepszej zbieżności. W przeciwnym
wypadku chromosomy mogą zbiegać do lokalnego
optimum, a duże PM zwiększy ich rozproszenie. Z drugiej
strony małe S umożliwi znalezienie tego optimum (może
ono się okazać globalnym optimum).
m
1
L
M
H
0.5
0
0
0.25
0.5
0.75
T 1f , T 1g , T 2
1
Rys. 1. Funkcje przynależności dla danych wejściowych
Jeśli przez f oznaczy się funkcję przystosowania
pewnego chromosomu, to współczynnik:
(2)
T2 = (fmax − f ) / (fmax − fmin ) ,
określa jakość tego chromosomu w całej populacji. Małe
wartości oznaczają, że jest to bardzo dobry chromosom
82
Krzysztof Grygierek
i dlatego stosuje się małe PC, PM i S, aby ochronić go
przed zniszczeniem. W przeciwnym wypadku zastosuje
się duże wartości, żeby go znacząco zmienić.
W opisie wpływu powyższych parametrów na
wartości sterowane pojawiły się nieprecyzyjne wartości
typu: małe, duże. O ile sformułowania takie są
zrozumiałe w potocznej mowie, o tyle zamiana ich na
konkretne wartości jest już mocno kłopotliwa. Z pomocą
przychodzi w takich nieprecyzyjnych sformułowaniach
system logiki rozmytej. Zbiory rozmyte mają za zadanie
matematyczną
reprezentację
niejednoznaczności
i niepewności. Podstawowym celem logiki opartej na
zbiorach rozmytych jest naśladowanie ludzkiego sposobu
wnioskowania.
zmiennych lingwistycznych: małe (L), średnie (M), duże
(H). Założono, że wszystkie dane wejściowe są określone
za pomocą takich samych zbiorów rozmytych (rys. 1).
Dzięki funkcji przynależności w bloku fuzyfikacji
zamieniono wartości liczbowe na zmienne lingwistyczne
stosowane w kolejnych blokach. Etap wnioskowania, na
podstawie wejściowych stopni przynależności, wyznacza
wynikową funkcję przynależności. Funkcja ta ma często
złożony kształt, a jej obliczanie odbywa się w drodze
tzw. inferencji. Moduł wnioskowania działa na podstawie
bazy reguł rozmytych. Składa się na nią zbiór instrukcji
warunkowych, które powstają na podstawie wiedzy
eksperta i określają zależności przyczynowo-skutkowe
istniejące w systemie pomiędzy zbiorami rozmytymi
wejść i wyjść. W tym przypadku reguły te
przedstawiono w tabeli 1, na podstawie przesłanek
opisanych powyżej. Reguły są skonstruowane na
zasadzie IF… THEN…, np.: pierwsza reguła to:
Tab. 1. Baza reguł rozmytych
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
T1g
T1f
T2
PC
PM
S
L
M
H
L
M
H
L
M
H
L
M
H
L
M
H
L
M
H
L
M
H
L
M
H
L
M
H
L
L
L
M
M
M
H
H
H
L
L
L
M
M
M
H
H
H
L
L
L
M
M
M
H
H
H
L
L
L
L
L
L
L
L
L
M
M
M
M
M
M
M
M
M
H
H
H
H
H
H
H
H
H
L
L
L
L
L
L
L
M
M
L
L
M
M
M
M
M
H
H
M
M
H
H
H
H
H
H
H
L
M
M
L
L
L
L
L
L
H
H
H
M
M
M
L
L
M
H
H
H
H
H
H
M
M
H
L
L
L
L
L
L
M
M
M
L
L
L
M
M
M
H
H
H
M
M
M
H
H
H
H
H
H
IF (T1g=L) AND (T1f =L) AND (T2=L)
THEN PC =L, PM =L, S=L
Przyjęte funkcje przynależności dla zmiennych
wyjściowych pokazano na rys. 2 (PM=P*M·0,4/LCH,
S=S*·0,6Pz, LCH - liczba genów w chromosomie, Pz liczba dopuszczalnych przekrojów). Na podstawie stopni
aktywizacji konkluzji poszczególnych reguł, stosując
metodę MIN-MAX [18], określono wynikowe postacie
funkcji przynależności wyjść. W etapie ostrzenia,
z obliczonych rozmytych zbiorów wyjść, wyznaczono
dokładną wartość wyjściową (liczba) stosowaną
w dalszych obliczeniach. W defuzyfikacji zastosowano
metodę środka ciężkości.
m
1
L
M
H
0.5
0
0
0.25
0.5
0.75
PC , P*M , S*
1
Rys. 2. Funkcje przynależności dla funkcji wyjścia
Wartość, która jest dodawana do mutowanego genu,
jest losowo wybierana z przedziału max([-1,1],[-S,S]·k),
gdzie współczynnik k zależy od kroku algorytmu
i zmienia się liniowo od 1 na początku symulacji
do 0 w ¾ kroków. Parametr ten mógłby zostać
wprowadzony bezpośrednio do sterownika rozmytego.
Jednak, jeśli przyjęto by dla niego analogiczne krzywe
przynależności jak na rys. 2, to trzykrotnie wzrosłaby
liczba reguł w tab. 1. Dlatego w celu uproszczenia
mechanizmu sterowania zdecydowano się tutaj na takie
uproszczenie.
Sterownik rozmyty składa się z trzech podstawowych
części
(bloków)
[18]:
fuzyfikacji
(rozmywanie),
wnioskowania (interferencja) i defuzyfikacji (ostrzenie).
W bloku fuzyfikacja przeprowadzana jest operacja
rozmywania, czyli obliczania stopnia przynależności do
poszczególnych zbiorów rozmytych, otrzymanych na
wejściu wartości liczbowych T1f, T1g, T2. Aby operację tę
przeprowadzić, blok ten musi posiadać dokładnie
zdefiniowane funkcje przynależności do zbiorów
rozmytych poszczególnych wejść. Przyjęto, że dane
wejściowe T1f, T1g, T2 są określone przez zbiór
83
SAMOADAPTACYJNA METODA ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH…
dlatego
przekształcono
rozwiązywane
zadanie
z ograniczeniami na zadanie bez ograniczeń poprzez
obciążenie funkcji celu funkcją kary. W zastosowanym
algorytmie najlepszy osobnik przechodzi do następnej
iteracji bez zmian (elitaryzm), co gwarantuje
niepogorszenie wyniku w kolejnych krokach.
3. PROCES OPTYMALIZACJI
Podstawowym
kryterium
przy
projektowaniu
konstrukcji jest osiągnięcie jak najmniejszego ciężaru.
W pracy tej optymalizacja przestrzennych kratownic
przebiega tak, by osiągnąć minimalny ciężar konstrukcji.
Z tego powodu funkcja celu W została zdefiniowana
jako:
lp
min W = ∑ ρ i Li Ai ,
4. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
(3)
Zaproponowany algorytm może być stosowany do
szerokiej klasy zagadnień, w której zmienne projektowe
należą do dyskretnego zbioru.
Efektywność algorytmu sprawdzono na przykładach
optymalizacji dwóch przestrzennych kratownic: A – 25
prętów, B- 72 pręty. Przykłady te są optymalizowane
w wielu artykułach, zarówno dla zmiennych ciągłych jak
i dyskretnych. W większości artykułów zostały przyjęte
jednostki anglosaskie, które tutaj zostały przeliczone na
układ SI. Obliczenia przeprowadzono w autorskim
programie. Przyjęto rozmiar populacji 40 oraz 200
kroków iteracji. Schemat kratownicy A przedstawiono
na rys. 3. Składa się ona z 25 prętów, kolejno
ograniczonymi węzłami: 1-2, 1-4, 2-3, 1-5, 2-6, 2-4, 2-5,
1-3, 1-6, 6-3, 4-5, 3-4, 6-5, 3-10, 6-7, 4-9, 5-8, 4-7, 3-8, 510, 6-9, 6-10, 3-7, 4-8, 5-9. Pręty podzielono na 8 grup.
Wszystkie przyjęte założenia zestawiono w tabeli 2.
i =1
gdzie ρ i - to ciężar właściwy materiału, Li - długość
pręta, Ai - pole przekroju poprzecznego pręta, lp –
liczba prętów. Optymalizowana konstrukcja musi
spełniać
również
ograniczenia
związane
z dopuszczalnymi przemieszczeniami i naprężeniami:
gdzie
δi , δu -
δ i ≤ δ u , i = 1,2,...,p
(4)
σ j ≤ σ u , j = 1,2,..., lp
(5)
to
odpowiednio
obliczone
w
MES
przemieszczenia oraz przemieszczenia dopuszczalne, pliczba
węzłów,
w
których
są
ograniczone
przemieszczenia, σ i , σ u - obliczone i dopuszczalne
naprężenia.
Ponieważ algorytmy genetyczne są metodami
rozwiązującymi zadania optymalizacyjne bez ograniczeń,
Tab. 2. Dane dla kratownicy A i B
Kratownica A
Dopuszczalne
naprężenia, MPa
Dopuszczalne
przemieszczenia, cm
Dopuszczalne przekroje poprzeczne,
cm2
Grupy prętów
nr grupy – nr prętów
Obciążenia, kN
grupa (Gr) – nr
węzła (W) – obciążenia w kierunku osi
X, Y, Z
275,79
Kratownica B
moduł sprężystości E=68950 MPa, ciężar właściwy ρ=0,02714, N/cm3
172,36
0,889
0,635 w węzłach 17, 18, 19, 20
0,65 1,29 1,94 2,58 3,23 3,87 4,51
5,16 5,81 6,45 7,10 7,74 8,39 9,03
9,68 10,32 10,97 11,61 12,26 12,90
13,55 14,19 14,84 15,48 16,13 16,77
18,07 19,36 20,65 21,94
1 1
2 2, 3, 4, 5
3 6, 7, 8, 9
4 10, 11
5 12, 13
6 14, 15, 16, 17
7 18, 19, 20, 21
8 22, 23, 24, 25
1,12 1,42 1,45 1,74 1,85 2,26 2,67 2,78 3,08 3,28
3,79 3,87 4,30 4,48 4,80 5,69 5,86 6,31 6,56 6,91
8,24 8,70 9,03 9,40 10,10 11,00 11,50 11,90 12,30
13,20 14,10 14,30
Gr
1
W
1
2
3
6
X
4,448
0
2,224
2,67
Y
-44,48
-44,48
0
0
Z
-44,48
-44,48
0
0
84
1
2
3
4
5
6
7
8
1, 2, 3, 4
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
13, 14, 15, 16
17, 18
19, 20, 21, 22
23, 24, 25, 26, 27 ,28,
29, 30
31, 32, 33, 34
35, 36
Gr
1
2
W
17
17-20
X
22,24
0
9
10
11
12
13
14
15
16
37, 38,
41, 42,
45, 46,
49, 50,
53,54
55, 56,
59, 60,
63, 64,
67, 68,
71,72
Y
22,24
0
39,
43,
47,
51,
40
44,
48
52
57,
61,
65,
69,
58
62,
66
70
Z
-22,24
-22,24
Krzysztof Grygierek
stosunkowo niewielkiej populacji 40 osobników
(w literaturze stosowano od 80 do 100 osobników), co
może
świadczyć
o
wysokiej
efektywności
zaproponowanego algorytmu.
Tab. 4. Optymalne przekroje poprzeczne kratownicy B.
Rys. 3. Schemat kratownicy A
Porównanie otrzymywanych wyników dla tego
przykładu można znaleźć w artykule [7]. Ciężar
konstrukcji otrzymany programem autorskim jest
identyczny
z
najlepszym
rezultatem
tam
prezentowanym. Przekroje dla poszczególnych grup
zestawiono w tabeli 3.
Tab. 3. Optymalne przekroje poprzeczne kratownicy A.
Pole, cm2
Dede [7]
Autorskie
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
0,65
1,94
21,4
0,65
13,55
6,45
3,23
21,94
0,65
1,94
21,4
0,65
13,55
6,45
3,23
21,94
Ciężar, kN
2,157
2,157
Pole, cm2
Dede [7]
Autorskie
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
13,20
3,79
1,12
1,12
6,31
3,79
1,12
1,12
3,28
3,08
1,12
1,12
1,12
3,79
2,26
3,28
12,30
3,28
1,12
1,12
8,24
3,28
1,12
1,12
3,28
3,28
1,12
1,12
1,12
3,79
2,26
3,79
Ciężar, kN
1,806
1,774
Na rys. 5 przedstawiono porównanie zbieżności
klasycznego
algorytmu
genetycznego
(KAG)
z zaproponowanym
tutaj
samoadaptacyjnym
algorytmem genetycznym (SAG). W przypadku KAG
przyjęto stałe PC=0.7, PM=0.1 oraz S=1 kodowanie
całkowitoliczbowe oraz elitaryzm. Z rysunku tego
jednoznacznie można odczytać znacznie szybszą
zbieżność algorytmu samoadaptacyjnego. Najniższy
ciężar, jaki uzyskano, stosując KAG, to 1780 kN i jest
on większy od uzyskanego SAG.
Schemat kratownicy B przedstawiono na rys. 4.
Zbudowana jest ona z 72 prętów podzielonych na 16
grup i jest obciążona dwoma grupami obciążeń. Dane
przyjęte w obliczeniach zestawiono w tabeli 2.
3500
Ciężar, kN
3000
SAG
2500
KAG
2000
1500
0
50
100
150
200
Numer iteracji
Rys. 5. Porównanie zbieżności
5. PODSUMOWANIE
Efektywność i zbieżność optymalizacji w metodzie
algorytmów genetycznych zależy od wielu parametrów
powiązanymi ze sobą trudnymi do opisania, w sposób
dokładny, zależnościami. Dlategfo w artykule do
podniesienia efektywności algorytmu zastosowano
sterownik rozmyty, gdzie nieprecyzyjne przesłanki są
Rys. 4. Schemat kratownicy B
Porównanie wyników zestawiono w tabeli 4. Ciężar
konstrukcji otrzymany z zastosowaniem przedstawionej
powyżej metody jest około 2% mniejszy od najlepszego
prezentowanego w literaturze. Otrzymano go przy
85
SAMOADAPTACYJNA METODA ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH…
zamieniane na liczby umożliwiające sterowanie
procesem.
W
połączeniu
z
kodowaniem
całkowitoliczbowym, które rozwiązuje szereg problemów
pojawiających się w klasycznym kodowaniu binarnym
oraz MES, powstało efektywne narzędzie do
optymalizacji konstrukcji inżynierskich. W kodowaniu
całkowitoliczbowym skraca się czas dekodowania,
długość genów w chromosomach, która w tym
przypadku nie zależy od liczby zmiennych projektowych.
Nie ma również problemu ze zgodnością rozmiarów
liczby zmiennych projektowych z ciągiem znaków
binarnych
oraz
unika
się
klifu
Hamminga.
Zaprezentowane przykłady pokazują, że zastosowanie
sterownika rozmytego znacznie przyśpiesza zbieżność
algorytmu, a otrzymane wyniki są takie same lub lepsze
od prezentowanych w literaturze.
W
artykule
optymalizowano
wyłącznie
ciężar
konstrukcji. Dalsze prace będą próbą rozbudowy
zaprezentowanego tutaj algorytmu na równocześną
optymalizację topologii i ciężaru kratownic.
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Ali N. B. H., Sellami M., Cutting-Decelle A.F., Mangin J. C.: Multi-stage production cost optimization of semirigid steel frames using genetic algorithms. “Engineering Structures” 2009, 31, p. 2766 – 2778.
Bekiroglu S., Dede T., Ayvaz Y.: Implementation of different encoding types on structural optimization based
on adaptive genetic algorithm. “Finite Elements in Analysis and Design” 2009, 45, p. 826 – 835.
Blachut J., Eschenauer H.A.: Emerging methods for multidisciplinary optimization. CISM No. 425. Wien, New
York: Springer, 2001.
Burczyński T., Poteralski A.: Advanced evolutionary optimization of 3-D structures. European Congress on
Computational Metods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS 2004.
Cheng J.: Optimum design of steel truss arch bridges using a hybrid genetic algorithm. “Journal of Constructional Steel Research” 2010, 66, p. 1011 – 1017.
Coelle C. A., Christiansen A.D.: Multiobjective optimization of trusses using genetic algorithms. “Computers
and Structures” 2000, 75, p. 647 – 660.
Dede T., Bekiroglu S., Ayvaz Y.: Weight minimization of trusses with genetic algorithm. “Applied Soft Computing”, 2011, 11, p. 2565 – 2575.
Degertekin S. O., Saka M. P., Hayalioglu M.S.: Optimal load and resistance factor design of geometrically
nonlinear steel space frames via tabu search and genetic algorithm. “Engineering Structures” 2008, 30, p. 197205.
Erbatur F., Hasancebi O., Tutuncu I., Kilic H.: Optimal design of planar and space structures with genetic
algorithms. “Computers and Structures” 2000, 75, p. 209 – 224.
Goldberg D. E.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. Warszawa: WNT, 1995.
Hajela P., Lee E.: Genetic algorithms in truss topological optimization. “Int. J. Solids Structures” 1995, Vol. 32,
No. 22, p. 3341 – 3357.
Hayalioglu M. S.: Optimum design of geometrically non-linear elastic-plastic steel frames via genetic algorithm.
“Computers and Structures” 2000, 77, p. 527 – 538.
Hu X.B., Wu S.F.: A self-adaptive genetic algorithm based on fuzzy mechanism. In: 2007 IEEE Congress on
Evolutionary Computation, p. 4646 – 4652.
Kwak H-G., Kim J.: An integrated genetic algorithm complemented with direct search for optimum design of
RC frames. “Computer-Aided Design” 2009, 41, p. 490 – 500.
Lingyun W., Mei Z., Guangming W., Guang M.: Truss optimization on shape and sizing with frequency constraints based on genetic algorithm. “Comput. Mech.” 2005, 35, p. 361 – 368.
Srinivas M., Patnaik L. M.: Adaptive probabilities of crossover and mutation in genetic algorithms. IEEE
“Transaction on Systems, Man and Cybernetics” 1994, Vol. 24, No. 4, s. 656 - 667.
Varnamkhasti M. J., Lee L. S.: A fuzzy genetic algorithm based on binary encoding for solving multidimensional
knapsack problem. “Journal of Applied Mathematics” 2012, Article ID 703601, 2012.
Yager R. R.: Podstawy modelowania i sterowania rozmytego. Warszawa: WNT, 1995.
86