modelowe badania prototypu tłumika magnetoreologicznego

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
40, s. 7-14, Gliwice 2010
ISSN 1896-771X
MODELOWE BADANIA PROTOTYPU TŁUMIKA
MAGNETOREOLOGICZNEGO
JERZY BAJKOWSKI*, MARIUSZ PYRZ**, ROBERT ZALEWSKI*
*
Instytut Podstaw Budowy Maszyn Politechniki Warszawskiej
Instytut Pojazdów Politechniki Warszawskiej
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
**
Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki badań eksperymentalnych
prototypu tłumika magnetoreologicznego, przeznaczonego do wykorzystania
w kontrolowanym procesie tłumienia drgań mechanicznych wybranej grupy
urządzeń. Główną uwagę skupiono na przedstawieniu zastosowanego rozwiązania
konstrukcyjnego oraz na analizie odpowiedzi badanego urządzenia na zadany
eksperymentalnie rodzaj wymuszenia kinematycznego. Zgromadzona baza
doświadczalna posłużyła, w dalszym etapie, jako punkt wyjściowy do ustalenia
reprezentatywnego modelu reologicznego dla rozpatrywanego tłumika. Do analiz
numerycznych wybrano model Bouc-Wena. Przeprowadzono estymację
parametrów materiałowych modelu, wykorzystując algorytm symulowanego
wyżarzania. W końcowej części pracy dokonano weryfikacji dokładności modelu
numerycznego poprzez porównanie jego odpowiedzi z rezultatami
eksperymentalnymi.
1. WPROWADZENIE
Ciecze magnetoreologiczne wykorzystywane są w różnych urządzeniach mechanicznych,
takich jak hamulce, sprzęgła, zawory czy amortyzatory drgań. Wykorzystywana w nich ciecz
zawiera mikroskopijne drobiny materiału o właściwościach ferromagnetycznych, które
powodują znaczne zmiany lepkości. pod wpływem silnych pól magnetycznych. Jednym
z zastosowań praktycznych, intensywnie badanych i rozwijanych w ostatnich latach są tłumiki
z cieczą magnetoreologiczną (z ang. Magneto Rheological - MR), stosowane w zawieszeniach
pojazdów, amortyzacji drgań siedzisk, budynków oraz zastosowaniach militarnych
i medycznych.
Badania takie realizowane są również w Instytucie Podstaw Budowy Maszyn Politechniki
Warszawskiej i dotyczą skonstruowanego tam prototypu tłumika. Mechaniczne właściwości
urządzenia zostały poddane serii testów eksperymentalnych. Celem było zbadanie
parametrów pracy tłumika poddanego kinematycznym wymuszeniu ruchu tłoczyska
w zależności od czynnika sterującego, jakim jest natężenie prądu w uzwojeniu cewki głowicy
tłumika. Wyniki doświadczalne pozwoliły na podjęcie problematyki modelowania
zachowania się urządzenia z cieczą MR i charakterystyce jego właściwości dyssypacyjnych.
Do opisu wytypowano fenomenologiczny model reologiczny tłumika zaproponowany przez
Bouc - Wen'a. Odpowiedź numeryczna modelu wymaga jednak prawidłowego doboru
wartości parametrów, aby dokładnie oddać realne zachowanie się urządzenia. Związane to
8
J. BAJKOWSKI, M. PYRZ, R. ZALEWSKI
jest z kolei z koniecznością rozwiązania problemu odwrotnego, polegającego na wyznaczeniu
parametrów modelu na podstawie otrzymanych wyników eksperymentalnych.
Identyfikację parametrów modelu wykonano, stosując metodę symulowanego wyżarzania,
należącą do klasy stochastycznych metod optymalizacji. W końcowej części pracy
przedstawiono przykłady wyników numerycznych, porównane z eksperymentem, oraz
sformułowano wnioski dotyczące efektywności proponowanego podejścia.
2. BADANIA EKSPERYMENTALNE PROTOTYPU TŁUMIKA
2.1. Budowa tłumika
Tłumik MR konstrukcyjnie jest bardzo zbliżony do zwykłego olejowego tłumika drgań. Od
klasycznego rozwiązania różni się rodzajem cieczy roboczej oraz możliwością wytworzenia
zmiennej co do wartości siły tłumienia. Oprócz tego w tłumiku MR występuje także cewka
oraz urządzenia zasilające i sterujące. Typowy tłumik z cieczą MR składa się z cylindrycznej
obudowy, tłoczyska, tłoka, uszczelnień, cewki oraz przewodów zasilających.
W badaniach eksperymentalnych wykorzystano prototyp urządzenia MR, głównie
stosowanego w sterowanym tłumieniu drgań obiektów. Szerszy opis przeprowadzonych
eksperymentów można odnaleźć w pracach [1-6]. Na rys. 1 zaprezentowano schemat
omawianego prototypu urządzenia MR.
Rys. 1 Schemat tłumika: 1 - tłok, 2 - cewka, 3 – szczelina robocza, 4 - tłoczysko, 5 - ciecz
MR, 6 - obudowa, 7 - przewody zasilające.
Siła tłumiąca powstaje wskutek przepływu cieczy roboczej poprzez szczelinę znajdującą
się w głowicy. W przypadku tłumika mamy do czynienia z przepływowym trybem pracy
urządzenia z cieczą MR. Dzięki obecności cewki elektrycznej w głowicy możemy wytworzyć
zmienne, zależne od natężenia prądu, pole magnetyczne. Jak wcześniej wspomniano,
w obecności pola magnetycznego ciecz MR zmienia swoją lepkość. Urządzenie jest tak
skonstruowane, aby linie sił pola magnetycznego były prostopadłe do kierunku przepływu
cieczy roboczej.
W przypadku, gdy przez cewkę nie płynie prąd, urządzenie działa na takiej samej zasadzie
jak jego hydrauliczny odpowiednik. Wielkość siły tłumienia uzależniona jest od wielu
czynników, takich jak wielkość szczeliny [3], natężenie prądu, temperatura [4],[5], siły tarcia
oraz materiałów, z jakich zostały wykonane części składowe urządzenia.
MODELOWE BADANIA PROTOTYPU TŁUMIKA MAGNETOREOLOGICZNEGO
9
2.2. Wyniki eksperymentalne
Program badań eksperymentalnych obejmował trzy różne wartości częstości wymuszenia
kinematycznego: 0,83 Hz; 2,5 Hz oraz 5 Hz. W każdym przypadku amplituda drgań wynosiła
5 mm.
W trakcie realizacji programu badawczego wzięto pod uwagę następujące wartości
parametru sterującego (natężenia prądu elektrycznego): 0 A, 0,2 A; 0,5 A; 0,7 A oraz 1,2 A.
Dla każdego zestawu parametrów eksploatacyjnych (wybranej wartości natężenia prądu
elektrycznego, charakteru wymuszenia kinematycznego) wykonano trzy serie pomiarowe.
Umożliwiono tym samym wyeliminowanie występowania błędów grubych oraz umożliwiono
obróbkę statystyczną danych eksperymentalnych.
Czas trwania eksperymentu wynosił 5 s, a założona częstość próbkowania 400 Hz.
W trakcie trwania eksperymentu rejestrowano wartości przemieszczenia, siły i czasu. Na rys.
2 i 3 zilustrowano przykładowe wyniki eksperymentalne.
Rys. 2. Charakterystyka dyssypacyjna siły w funkcji przemieszczenia dla zadanej wartości
częstości f=2,5 [Hz] oraz zmiennej wartości natężenia prądu I [A].
Rys. 3. Charakterystyka dyssypacyjna siły w funkcji przemieszczenia dla zadanej wartości
częstości f=5 [Hz] oraz zmiennej wartości natężenia prądu I [A].
Na podstawie uzyskanych danych eksperymentalnych zilustrowanych na rys. 2 i 3 można
zauważyć wyraźny wpływ natężenia pola elektrycznego na rejestrowane odpowiedzi tłumika
MR. Wzrostowi natężenia towarzyszy podnoszenie się charakterystyk siła-przemieszczenie
i tym samym zwiększenie możliwości dyssypacyjnych urządzenia. Bardziej szczegółową
analizę rezultatów badań eksperymentalnych można odnaleźć w pracach [2,3,5].
10
J. BAJKOWSKI, M. PYRZ, R. ZALEWSKI
3. MODEL BOUC-WENA
Klasyczny model Bouc - Wena [9] opisuje zachowanie się zarówno cieczy MR jak
i urządzeń pracujących na jej bazie. Składa się z umieszczonych równolegle: elementu
tłumiącego, elementu sprężystego oraz elementu odpowiedzialnego za tworzenie pętli
histerezy (rys. 4). Równanie opisujące siłę tłumiącą, jaką może wygenerować tłumik ma
następującą postać:
F = c0 x& + k0 ( x - x0 ) + az
(1)
zaś zmienna z, która odpowiada za tworzenie się pętli histerezy, wyraża się następująco:
z& = g x& z z
n -1
n
- b x& z + Ax&
(2)
W powyższych wyrażeniach c0 - reprezentuje tłumienie wiskotyczne, k0 – sztywność,
parametry γ, β, α, A określają kształt pętli histerezy, n – jest stopniem wielomianu, a x0 opisuje początkowe warunki przemieszczeniowe.
Rys. 4 Model Bouc - Wena dla tłumika z cieczą MR.
Model Bouc-Wena jest efektywnym sformułowaniem teoretycznym, umożliwiającym
odzwierciedlenie rzeczywistej pętli histerezy modelowanego urządzenia. Występuje w nim 7
parametrów materiałowych, które należy zidentyfikować na podstawie wykonanych
eksperymentów badawczych.
4. IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW MODELU
4.1. Identyfikacja jako problem optymalizacji
Różniczkowo- algebraiczne równania fenomenologicznego modelu Bouc-Wena (1),(2)
zawierają siedem parametrów determinujących kształt charakterystyki numerycznej.
Wyznaczenie ich wartości na drodze doświadczalnej dla pełnego zakresu możliwych
zastosowań jest skomplikowane (o ile w ogóle możliwe). Wymagać to może wyszukanego
i kosztownego oprzyrządowania oraz skomplikowanych procedur badawczych. Problem
identyfikacji można jednak sformułować jako problem optymalizacji i odnaleźć poszukiwane
wartości numerycznie. Z jednej strony, dysponujemy zestawem danych doświadczalnych,
z drugiej zaś potrafimy symulować komputerowo zachowanie się tłumika. Wartości
MODELOWE BADANIA PROTOTYPU TŁUMIKA MAGNETOREOLOGICZNEGO
11
parametrów mogą być zatem wyznaczone poprzez porównanie krzywych eksperymentalnych
i krzywych numerycznych. Różnice między tymi krzywymi wyrazić można w zależności od
wartości parametrów, przyjmując jako funkcję celu sumę błędów, liczonych w określonych
punktach badanego zakresu. Rozwiązanie zadania minimalizacji różnic pozwala na
wyznaczeniu szukanych parametrów. Przedstawiony problem optymalizacji, odpowiadający
identyfikacji parametrów modelu, można zapisać w następujący sposób:
wyznaczyć N parametrów modelu p1,p2,, ...,pN tak, aby zminimalizować sumę różnic S
pomiędzy danymi eksperymentalnymi Dexp oraz danymi numerycznymi Dnum
rozpatrywanymi w M zadanych punktach doświadczalnych
M
S ( p1 ,..., pN ) = å Diexp - Dinum ( p1 ,..., pN ) ® min .
(3)
i =1
W rozważanym zagadnieniu różnice pomiędzy krzywą eksperymentalną i numeryczną
wyrażono, porównując wartości sił zarejestrowanych doświadczalnie i sił obliczonych za
pomocą modelu Bouc-Wena w punktach czasowych, odpowiadających jednemu okresowi
periodycznego wymuszenia kinematycznego.
W rozważanym zagadnieniu szukane są zatem parametry minimalizujące funkcję (3)
(zagadnienie optymalizacji bez ograniczeń). Do rozwiązania problemu wybrano metodę
symulowanego wyżarzania, mając na uwadze skomplikowane sformułowania matematyczne
modelu i wielomodalny charakter rozważanego zadania optymalizacji.
4.2. Algorytm metody symulowanego wyżarzania
Metoda symulowanego wyżarzania należy do klasy stochastycznych metod
optymalizacji, które podczas przeszukiwania obszaru rozwiązań wykorzystują parametry
losowe. Została ona zaproponowana w [7], [8] i znajduje obecnie szerokie zastosowanie do
rozwiązywania zadań, w których korzystanie z klasycznych metod staje się problematyczne.
Algorytm metody jest zainspirowany procesami wyżarzania w metalurgii, polegającymi na
rozgrzewaniu i powolnym schładzaniu metali aż do osiągnięcia krystalizacji. Celem jest
osiągnięcie najniższego stanu energetycznego. Energia odpowiada funkcji celu, a jej
minimalizacja to poszukiwanie rozwiązania optymalnego. W fizycznym procesie
wyżarzania dopuszczalne są stany związane z chwilowym zwiększeniem energii.
Właściwość ta, odtworzona w algorytmie metody, pozwala na unikanie minimów
lokalnych.
Zastosowanie metody symulowanego wyżarzania wymaga definicji funkcji energii
(zależnej od zmiennych decyzyjnych), określenia sposobu generacji losowych zmian
rozwiązania oraz wyznaczenia schematu wyżarzania/chłodzenia (tj. podania temperatury
początkowej i metody jej obniżania). Niezbędne jest ponadto zaproponowanie
początkowego oszacowania rozwiązania, przyjmowanego jako punkt startowy algorytmu.
Funkcja energii jest bezpośrednią funkcją celu, której minimum poszukujemy. Procedura
generująca kolejne propozycje rozwiązania (zwane sąsiadami) losowo zaburza aktualne
wartości zmiennych decyzyjnych w określonym wcześniej, dopuszczalnym zakresie
zmienności. Element przypadkowości realizowany jest za pomocą generatora liczb
losowych. Liczba rozpatrywanych na każdym poziomie temperatury sąsiadów jest jednym
z parametrów algorytmu. Początkowe oszacowanie poszukiwanego rozwiązania również
jest generowane w sposób losowy. Schemat schładzania w opracowanej wersji polega na
ustaleniu aktualnej temperatury w postaci stałego ułamka temperatury poprzedniej.
Aktualna temperatura ma wpływ na kierunek poszukiwania rozwiązania obierany w danym
12
J. BAJKOWSKI, M. PYRZ, R. ZALEWSKI
kroku. Jeżeli w procesie poszukiwania rozwiązania wygenerowana zostanie propozycja
lepsza niż znana dotychczasowo, to jest ona przyjmowana jako nowe rozwiązanie
problemu. Jeżeli natomiast wygenerowany sąsiad okaże się gorszy, to może on (ale nie
musi) posłużyć jako punkt wyjściowy do poszukiwania lepszych sąsiadów. Kryterium
wyboru jest wtedy określane przez porównanie zmiennej losowej z wartością funkcji
akceptacji. Prawdopodobieństwo akceptowania gorszych rozwiązań jest stosunkowo duże
na początku algorytmu, umożliwiając eksplorację obszaru rozwiązań, i maleje wraz ze
spadkiem temperatury, prowadząc do eksploracji obszaru przyciągania znalezionego
minimum. Funkcja akceptacji fa określona jest wzorem
f a = e - ( Es - Ea )/T
(4)
gdzie Es- wartość optymalizowanej energii sąsiada, Ea - wartość energii w aktualnym
położeniu, T - temperatura na danym poziomie przeszukiwania.
Efektywność metody symulowanego wyżarzania zależy od odpowiedniego doboru
parametrów algorytmu, takich jak liczba sąsiadów, liczby i badanych poziomów
temperatury. Algorytm metody może być zapisany w następującej postaci:.
Losowy wybór rozwiązania początkowego s=s0
Obliczenie funkcji energii E=E(s0)
Aktualne rozwiązanie srozw=s, Erozw=E
Dopóki (temperatura końcowa nie osiągnięta) wykonaj
Dopóki (nie wszyscy sąsiedzi sprawdzeni) wykonaj
Utwórz rozwiązanie sąsiednie s’=sąsiad(s)
Obliczenie funkcje energii sąsiada E’=E(s’)
Jeżeli E’<E to srozw=s’ oraz Erozw=E’
Jeżeli funkcja akceptacji fa(E,E’,temperatura) > zmienna losowa to
s=s’ oraz E=E’
Obniż temperaturę
5. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
5.1. Parametry metody symulowanego wyżarzania
Do identyfikacji parametrów modelu wykorzystana została metoda symulowanego
wyżarzania, opracowana w programie Scilab. Minimalizowano funkcję energii E
sformułowaną w postaci sumy bezwzględnych wartości różnic miedzy wartościami siły
eksperymentalnej i numerycznej, liczonych w N=100 punktach czasowych rozłożonych
równomiernie w jednym pełnym okresie wymuszenia kinematycznego.
N
E = å F eks (t i ) - F num (t i ) ® min
(5)
i =1
W schemacie schładzania przyjęto 10 poziomów temperatury, stosując miedzy nimi
iloczynowy współczynnik spadku 0.8 i startując z wartości początkowej 500 °C. Na każdym
poziomie temperatury analizowano 20 sąsiadów rozwiązania aktualnego, generując losowo
wartości szukanych parametrów w zadanych granicach zmienności.
MODELOWE BADANIA PROTOTYPU TŁUMIKA MAGNETOREOLOGICZNEGO
13
5.2. Wyniki modelowania zachowania tłumika
Na rys. 5, 6, 7 przedstawiono przykładowe wyniki symulacji, porównując wyniki
numeryczne z doświadczalnymi.
Rys. 5 Eksperymentalne charakterystyki F=f(x) oraz F=f( x& ) dla f = 2,5 Hz oraz I = 0 A.
Rys. 6 Eksperymentalne charakterystyki F=f(x) oraz F=f( x& ) dla f = 5 Hz I = 0 A.
Rys. 7 Eksperymentalne charakterystyki F=f(x) oraz F=f( x& ) dla.f = 5 Hz I = 0,7 A.
6. PODSUMOWANIE
Analizując dane przedstawione na rys. 5-7, można zauważyć zadowalającą zbieżność
rezultatów eksperymentalnych i numerycznych. Fakt ten świadczy zarówno o przydatności
zastosowanego modelu matematycznego jak również o skuteczności wykorzystanej
w procesie identyfikacji optymalizacyjnej procedury symulowanego wyżarzania.
14
J. BAJKOWSKI, M. PYRZ, R. ZALEWSKI
W celu wykorzystania opisywanego prototypu tłumika MR w modernizacji rzeczywistych
konstrukcji, należy dodatkowo opracować odpowiednią metodologię sterowania odpowiedzią
urządzenia na zewnętrzne siły wymuszające. W tym celu wskazane jest wyznaczenie
uniwersalnych zależności łączących wartości parametrów materiałowych modelu
konstytutywnego z wartością czynnika sterującego, jakim w przypadku rozpatrywanych
tłumików MR jest natężenie pola magnetycznego.
LITERATURA
1. Zalewski R., Bajkowski J.: Analogie i różnice właściwości cieczy magnetoreologicznych
oraz granulatów umieszczonych w przestrzeni z podciśnieniem. „Modelowanie
Inżynierskie” 2008, nr 36, s. 313-320.
2. Bajkowski J., Zalewski R.: Dynamic model of special object with magnetorheological
shock absorber. „Machine Dynamics Problems” 2007, Vol. 31, No 4, p. 5-14.
3. Bajkowski J., Dudziak B., Zalewski R.: Experimental research of a magnetorheological
damper with various . „Modeling and Simulations, Machine Dynamics Problems” 2008,
Vol. 32, No 1, p. 14-23.
4. Zalewski R., Grzesikiewicz W., Bajkowski J.: Some problems in modeling of devices
with MR dampers. In: Proceeding on “CAD in Machinery Design. Implementation and
Educational Problems.”, CADMD’2008, Lviv, 2008, p. 12-14,
5. Bajkowski J., Bajkowski M., Grzesikiewicz W., Zalewski R.: Modeling, research and
application of MR fluids and devices in controlled damping of impacts and vibrations,
Modelling and simulation in machine design. Ch. 3, Mirosław Wrocławski Publishing
House, Bydgoszcz 2009, p. 87-117
6. Bajkowski J., Bajkowski M. Grzesikiewicz W., Zalewski R.: Temperature ipact on MR
devices. In: Proceedings of the IV ECCOMAS Thematic Conference of Smart Structures
and Materials, SMART’09 Porto, Portugal, 2009, p. 513-515.
7. Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D., Vecchi, M.P.: Optimization by simulated annealing.
„Science” 1983, 220, 1983, 671-680.
8. Cerny, V.: A thermodynamical approach to the travelling salesman problem: an efficient
simulation algorithm. “Journal of Optimization Theory and Applications” 1985, 45, p. 4151.
9. Wen, Y.,K. : Method for random vibration of hysteretic systems. “Journal of Engineering
Mechanics”, Division, ASCE102, EM2, 1976, p. 193-199.
MODEL ANALYSIS OF THE MR DAMPER PROTOTYPE
Summary. The experimental results of the magnetorheological damper
prototype, designed for controlled damping of mechanical vibrations are presented
in this work. Main attention is devoted to the description of the considered
construction and to the investigation of the damper’s response to kinematical
excitation applied experimentally. The acquired data was the initial point for the
choice of a suitable rheological model for the device under consideration. The
Bouc-Wen model has been selected for numerical analysis. The estimation of
model parameters was made using the simulated annealing algorithm. At the final
part of the paper the exactitude of the numerical model has been verified by
comparing it with experimental results.