Prawo Kirchoffa

ĆWICZENIE NR 2
POMIARY W OBWODACH RLC PRĄDU PRZEMIENNEGO
Cel ćwiczenia: doświadczalne sprawdzenie prawa Ohma, praw Kirchhoffa i zależności
fazowych między sinusoidalnie zmiennymi przebiegami prądów
i napięć w obwodach zawierających elementy R, L, C, oraz wykresów
wskazowych badanych obwodów.
2.1. Podstawy teoretyczne ćwiczenia
2.1.1. Elementy obwodów RLC
Rezystor
W obwodzie prądu harmonicznego zawierającego idealny rezystor wartości chwilowe
napięcia uR oraz prądu i spełniają prawo Ohma
u R = Ri
(2.1)
Zakładając, że przebieg prądu ma postać
i (t ) = I m sin (ω t +Ψ i )
(2.2)
wówczas płynąc przez rezystor o rezystancji R, na jego zaciskach spowoduje powstanie
napięcia
u(t ) = R i(t ) = R I m sin(ω t +Ψi ) = U m sin(ω t +Ψu ) ,
(2.3)
przy czym amplituda przebiegu napięcia
oraz
U m = R Im
(2.4a)
Um =
(2.4b)
2U ,
natomiast faza początkowa
Ψ u =Ψ i .
(2.5)
Przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero (rys.3.1):
ϕ =Ψ u −Ψi = 0
(2.6)
Rys.2.1. Przebieg napięcia i prądu dla idealnego rezystora
Przedstawiając związki między prądem i napięciem w postaci symbolicznej otrzymamy:
symboliczną wartość chwilową prądu
i(t ) = I m e jωt
I m = I m e jΨ i ,
(2.7)
u (t ) = R i(t ) = R I m e jωt = U m e jωt .
(2.8)
gdzie
oraz symboliczną wartość chwilową napięcia
Zatem amplituda symboliczna napięcia wynosi
Um = RIm
(2.9)
co oznacza, że przy uwzględnieniu zależności: U m = 2U oraz I m = 2 I
U = RI
oraz
I = GU
.
(2.10)
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy
U = U e j Ψ u = R I e jΨ i ;
(2.11)
a co za tym idzie
Ψu =Ψi .
Wobec tego wskaz napięcia U
= R I znajduje się na tej samej prostej co wskaz I (rys.3.2)
U
I
Ψu=Ψi
Rys.2.2. Wykres wskazowy napięcia i prądu dla rezystora
(2.12)
Cewka indukcyjna
Prąd sinusoidalnie zmienny w idealnej cewce o indukcyjności L indukuje napięcie na jej
zaciskach wyrażone zależnością
u (t ) = L
d i (t )
dt
(2.13)
Przyjmując, że w cewce płynie prąd harmoniczny
i(t ) = I m sin (ω t +Ψi ) ,
(2.14)
π⎞
⎛
u (t ) = ω L I m sin⎜ ω t +Ψi + ⎟ = U m sin(ω t +Ψu ) .
2⎠
⎝
(2.15)
napięcie na cewce wynosi
Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia przyjmuje postać
Um = ω L Im = X L Im
(2.16)
natomiast faza początkowa wynosi
Ψ u =Ψ i +
π
(2.17)
2
Oznacza to, że przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) cewki indukcyjnej
wynosi (rys.3.3):
ϕ =Ψ u −Ψ i =
π
(2.18)
2
u(t), i(t)
Ψu
Ψi
0
ωt
π/2
Rys.3.3 . Przebieg napięcia i prądu dla idealnej cewki
Dla cewki indukcyjnej - symboliczną wartość chwilową prądu jest wyrażona przez zależność:
i (t ) = I m e jωt
gdzie
I m = I m e jΨi ,
(2.19)
natomiast symboliczna wartość chwilowa napięcia
u (t ) = L
d i(t )
= j ω L I m e jω t = U m e j ω t
dt
(2.20)
Zatem skuteczna zespolona wartość napięcia jest określona zależnością
U L = jω L I = jX L I ,
(2.22)
co oznacza, że
U L = xL Ie
j
π
2
.
(2.22)
Pomnożenie wskazu I przez jωL powoduje, że wskaz U wyprzedza o 90o
wskaz prądu (rys.3.4) zgodnie z zależnością (3.18)
U
ϕ=π/2
I
Ψu
Ψi
Rys.2.4. Wykres wskazowy dla cewki
Kondensator
Dla napięcia u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o pojemności C, prąd płynący przez
niego opisuje zależność (3.26)
i (t ) = C
d u (t )
dt
(2.26)
Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie
u (t ) = U m sin (ω t +Ψ u ) ,
wówczas prąd płynący przez kondensator wynosi
(2.27)
π⎞
⎛
i(t ) = ω C U m sin⎜ ω t +Ψu + ⎟ = I m sin (ω t +Ψi ).
2⎠
⎝
(2.28)
Zatem przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) na kondensatorze wynosi
(rys.3.5):
ϕ =Ψu −Ψi = −
π
(2.30)
2
u(t), i(t)
Ψi
Ψu
0
ωt
π/2
Rys. 2.5. Przebieg napięcia i prądu dla idealnego kondensatora
Wartość symboliczna chwilowa napięcia na kondensatorze wynosi
u (t ) = U m e jωt
gdzie
U m = U m e jΨi ,
(2.31)
natomiast prądu
i (t ) = C
d u (t )
= j ω C U m e jω t = I m e jω t .
dt
(2.32)
Zatem symboliczna wartość skuteczna prądu jest wyrażona następująco
I = jω C U
oraz
UC =
1
jω C
I = − jX C I
(2.34)
Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy
π
π
−j
−j
1
UC =
I e 2 = XCI e 2 ,
ωC
(2.35)
I
ϕ=-π/2
U
Ψi
Ψu
Rys.2.6. Wykres wskazowy dla kondensatora
Pomnożenie wskazu I przez 1/jωC powoduje, że wskaz U jest opóźniony o 90o względem
prądu I (rys.3.6) zgodnie z zależnością (3.30)
3.1.2. Podstawowe prawa w obwodach elektrycznych w postaci zespolonej
Prawo Ohma: symboliczna wartość skuteczna napięcia U na dwójniku
równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości skutecznej prądu I w
nim występującego:
U =ZI
(2.38)
Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elektryczne dwójnika
dla prądu sinusoidalnego. Podstawiając w (3.38) symboliczne wartości skuteczne w postaci
wykładniczej, otrzymujemy:
U U e jΨ u U j (Ψ u −Ψ i )
Z= =
= e
I
I
I e jΨ i
,
(2.39)
Impedancję Z można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej
(rys.3.7) za pomocą trójkąta impedancji w którym
Z=
Zatem
Z =Ze
jϕ
U
I ,
Z = R +X e
2
2
arg Z = (Ψu − Ψi ) = ϕ .
jarctg
X
R
(2.40)
Z = R + j( X L − X C )
rezystancja
reaktancja
(2.41)
Im
Im
R
Z
ϕ>0
Re
ϕ<0
X=XL-XC>0
X=XL-XC<0
Z
Re
R
Rys.2.7. Trójkąt impedancji
Prawo Ohma można także przedstawić następująco:
Symboliczna wartość skuteczna prądu I w dwójniku równa się iloczynowi
admitancji dwójnika Y i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach
I =YU
(2.42)
Admitancja (przewodność zespolona dwójnika – której jednostką jest simens S)
dwójnika równa się odwrotności jego impedancji
Y=
1
.
Z
(2.43)
I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych prądów in(t) we
wszystkich gałęziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu
jest w każdej chwili czasu równa zeru
Λ∑ λ i
n
t
gdzie:
k =1
k
k
(t ) = 0
,
(2.47)
λk = ±1 („+” jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; „-” jeśli zwrot jest
przeciwny, od węzła)
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (3.47a) oraz symbolicznych wartości
skutecznych (3.47b) odpowiednich prądów:
n
∑ λk I m k = 0 ,
k =1
(2.47a)
n
∑ λk I k = 0 .
(2.47b)
k =1
II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa
Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych napięć un(t) na wszystkich
elementach, tworzących dowolnie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili
czasu równa zeru
Λ∑ ν
n
t
k =1
k
u k (t ) = 0
.
(2.48)
gdzie: νk = ±1 („+” jeśli zwrot napięcia jest zgodny z przyjętym za dodatni kierunkiem
obiegu oczka; „-” jeśli jest przeciwny)
Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (3.48a) oraz symbolicznych wartości
skutecznych (3.48b) odpowiednich napięć
n
∑ν
k =1
n
∑ν
k =1
=0,
(2.48a)
U k =0.
(2.48b)
kU m k
k
3.1.3. Połączenia elementów R, L, C
Obwód szeregowy RLC
Obwód RLC w postaci szeregowego połączenia idealnego rezystora R, idealnej cewki
indukcyjnej L i idealnego kondensatora C przedstawiono na Rys.3.8.
R
L
C
Rys. 2.8. Szeregowy obwód RLC
W tabeli poniżej dokonano zestawienia zależności opisujących elementy szeregowego
obwodu RLC:
Zależności na:
impedancję elementu
napięcia na elemencie obwodu
obwodu
R UR = RI
ZR = R
L U L = jω L I = jX L I
Z L = jω L = j X L
C UC =
1
I =−j
jω C
1
1
I = − jX C I Z C = − j
= − j XC
ωC
ωC
Dla tak skonfigurowanego układu napięcie symboliczne wynosi:
⎡
U = Z I = ⎢R +
⎣
natomiast
⎛
1 ⎞⎤
⎟⎟⎥ I = [R + j ( X L − X C )] I = (R + jX )I ,
j ⎜⎜ ω L −
ω C ⎠⎦
⎝
2
⎛
1 ⎞
,
⎟⎟ = R 2 + ( X L − X C )2 = R 2 + X 2
Z = R + ⎜⎜ ω L −
ωC ⎠
⎝
2
(2.49)
(2.50)
przy czym
⎛ X − XC ⎞
⎛X⎞
arg Z = ϕ = arctg ⎜ L
⎟ = arctg ⎜ ⎟ .
R
⎝R⎠
⎝
⎠
(2.51)
Obwód równoległy RLC
Połączenie równoległe elementów RLC przedstawia Rys. 3.9.
R
L
C
Rys. 2.9. Równoległy obwód RLC i równoważny dwójnik admitancyjny
Podobnie jak dla obwodu szeregowego RLC w tabeli poniżej dokonano zestawienia
zależności opisujących elementy równoległego obwodu RLC:
Zależności na:
prąd w elemencie obwodu
R
I R = GU
L
IL =
C
I C = jω C U = j BC U
1
jω L
admitancję elementu obwodu
YR =G
U =−j
1
1
1
= − j BL = − j
U = − j BL U Y L = − j
ωL
XL
ωL
Y C = jω C = j BC = j
1
XC
Ponieważ
⎡
I = Y U = ⎢G +
⎣
⎛
1 ⎞⎤
⎟⎟⎥ U = [G + j (BC − B L )] U = (G + jB )U ,
j ⎜⎜ ω C −
L
ω
⎝
⎠⎦
(2.51)
2
zatem admitancja
⎛
1 ⎞
⎟⎟ = G 2 + (BC − B L ) 2 = G 2 + B 2 ,
Y = G + ⎜⎜ω C −
ωL⎠
⎝
(2.52)
wówczas
⎛ B − BL ⎞
⎛B⎞
arg Y = arctg ⎜ C
⎟ = arctg ⎜ ⎟
G
⎝G⎠
⎝
⎠
(2.53)
2
.
Warunek równoważności szeregowego i równoległego obwodu RLC
Ogólny warunek równoważności obwodów; szeregowego rys. 3.8. i równoległego rys. 3.9.
wyraża się równością ich odpowiednich impedancji (lub admitancji) symbolicznych. Przyjmując dla oznaczenia elementów obwodu szeregowego indeks "s", a równoległego indeks
"r", można powyższy warunek zapisać w postaci.
ZS = Zr
przy uwzględnieniu, że
(2.54)
(
Z S = R + j X LS − X CS
Zr =
)
1
Gr + j BCr − BLr
(
)
,
(2.55)
.
(2.54)
Stąd po podstawieniu wzorów (3.55) i (3.56) do równania (3.54) i przekształceniach
otrzymuje się zależności:
GR =
Rs
,
R + X S2
2
S
BCr − BLr =
− Xs
,
RS2 + X S2
X S = X LS − X CS ,
(2.55)
(2.56)
(2.57)
pozwalające ustalić wartości parametrów obwodów równoważnych. Jeżeli w rozważanych
obwodach pominiemy indukcyjność L, to odpowiednie zależności uproszczą się do
następujących postaci:
Rr =
Z S2
RS
⎛C
C r = C S ⎜⎜ S
⎝ ZS
(2.58)
⎞
⎟⎟
⎠
2
(2.59)
Z rozważań tych wynika, że obliczone wartości parametrów obwodów równoważnych
zależą od częstotliwości. Oznacza to, że obwody szeregowy i równoległy są sobie
równoważne tylko dla jednej częstotliwości, dla której obliczono parametry równoważne.