Funkcje wielu zmiennych

dr Krzysztof ›yjewski
MiBM, I rok, I 0 in».
22 marca 2015
Funkcje wielu zmiennych
Informacje pomocnicze
Denicja 1.
Niech funkcja
f (x, y)
b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
chodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej
okre±lamy wzorem:
x
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) := lim
.
h→0
∂x
h
Pochodn¡ cz¡stkow¡ pierwszego rz¦du funkcji dwóch zmiennych wzgl¦dem zmiennej
(x0 , y0 )
(x0 , y0 ). Po(x0 , y0 )
w punkcie
y
w punkcie
okre±lamy wzorem:
∂f
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) := lim
.
h→0
∂x
h
Je»eli funkcja f (x, y) posiada pochodne cz¡stkowe w ka»dym punkcie zbioru otwartego D to funkcje
∂f
(x, y), ∂f
(x, y) nazywamy pochodnymi cz¡stkowymi pierwszego rz¦du funkcji f w zbiorze D.
∂x
∂y
Uwaga 2.
∂f
Pochodna cz¡stkowa ∂x (x, y) jest pochodn¡ funkcji f (x, y), gdzie zmienna
∂f
jest jako staªa. Analogicznie mo»na interpretowa¢ pochodn¡ cz¡stkow¡ ∂x (x, y) :
∂f
(x, y) =
∂x
∂f
(x, y) =
∂y
y
traktowana
d
[f (x, y)|y=const. )];
dx
d
[f (x, y)|x=const. )].
dy
Zatem obliczanie pochodnych cz¡stkowych mo»na wykonywa¢ z wykorzystaniem znanych reguª ró»∂f
niczkowania. Pami¦taj¡c, »e przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem x (symbol ∂x (x, y) lub
(x, y)
fx (x, y)) nale»y uwa»a¢ y za staªa, a przy obliczaniu pochodnej cz¡stkowej wzgl¦dem y (symbol ∂f
∂y
lub
fy (x, y))
nale»y uwa»a¢
Denicja 3.
x
za staªa.
(ró»niczkowalno±¢ funkcji w punkcie)
∂f
∂f
Niech istniej¡ pochodne cz¡stkowe ∂x (x0 , y0 ), ∂y (x0 , y0 ). Wówczas mówimy, »e funkcja
ró»niczkowalna w punkcie (x0 , y0 ), gdy:
f (x, y) − f (x0 , y0 ) − ∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) −
p ∂x
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
(x − x0 )2 + (y − y0 )2
Denicja 4.
f ma pochodne cz¡stkowe pierwszego
(x0 , y0 , z0 ) nazywamy wyra»enie:
def
df (x0 , y0 , z0 ) =
Fakt 5.
− y0 )
jest
= 0.
(ró»niczka funkcji trzech zmiennych)
Niech funkcja
w punkcie
∂f
(x0 , y0 )(y
∂y
f (x, y)
rz¦du w punkcie
(x0 , y0 , z0 ).
Ró»niczk¡ funkcji
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) +
(x0 , y0 , z0 )(z − z0 ).
∂x
∂y
∂z
(zastosowanie ró»niczki do oblicze« przybli»onych) Niech funkcja
cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie
(x0 , y0 , z0 ).
Wówczas
∆f ≈ df
f (x, y, z) ≈ f (x0 , y0 , z0 ) + df (x0 , y0 , z0 ).
1
f
f
(1)
ma ci¡gªe pochodne
co oznacza :
(2)
dr Krzysztof ›yjewski
Fakt 6.
MiBM, I rok, I 0 in».
22 marca 2015
(zastosowanie ró»niczki do szacowania bª¦dów pomiarów)
Niech funkcja
z = f (x, y, w) opisuje zale»no±¢ pomi¦dzy wielko±ciami x, y, w, z , pochodne cz¡stkowe
f s¡ ci¡gªe. Ponadto warto±¢ |x − x0 | jest bezwzgl¦dnym bª¦dem pomiaru
warto±ci x (odpowiednio |y −y0 |, |w −w0 | to bª¦dy bezwzgl¦dne warto±ci y i w ). Wówczas maksymalny
pierwszego rz¦du funkcji
bª¡d bezwzgl¦dny szacujemy nast¦puj¡co:
∂f ∂f ∂f ∆z ≤ · |x − x0 | + · |y − y0 | + · |w − w0 |.
∂x
∂y
∂z
Fakt 7.
(3)
(równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji)
Niech funkcja
z = f (x, y)
ma ci¡gle pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w punkcie
czas dowolny
wektor normalny
h
i pªaszczyzny stycznej do funkcji
~n = ∂f
(x0 , y0 ), ∂f
(x0 , y0 ), −1
∂x
∂y
(x0 , y0 ) wyra»a si¦ wzorem:
f
w punkcie
, a równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu
(x0 , y0 ). Wów(x0 , y0 ) jest postaci
funkcji f w punkcie
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ) = 0.
− z − z0 +
∂x
∂y
Denicja 8.
Pochodnymi cz¡stkowymi rz¦du drugiego funkcji dwóch zmiennych
(4)
f (x, y)
oznaczamy
∂2f ∂2f
∂2f ∂2f
∂f ∂f
symbolami ∂x2 , ∂x∂y , ∂y∂x , ∂y2 nazywamy pochodne cz¡stkowe jej pochodnych cz¡stkowych ∂x , ∂y tzn.
∂ ∂f
∂ 2f
=
,
∂x∂y
∂x ∂y
∂ ∂f
∂ 2f
=
.
∂y 2
∂y ∂y
∂ ∂f
∂ 2f
=
,
∂x2
∂x ∂x
∂ 2f
∂ ∂f
=
,
∂y∂x
∂y ∂x
∂2f
U»ywamy nast¦puj¡cych oznacze«: ∂x2
Denicja 9.
= fxx ,
∂2f
∂x∂y
= fxy ,
∂2f
∂y∂x
= fyx ,
∂2f
∂y 2
= fyy .
(pochodna kierunkowa)
Niech funkcja
b¦dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
kierunkow¡
w kierunku wektora
f (x, y)
funkcji f
(x0 , y0 ). Wówczas pochodn¡
~
jednostkowego(wersora) [v] = [v1 , v2 ] okre±lamy wzorem:
∂f
f (x0 + tv1 , y0 + tv2 ) − f (x0 , y0 )
def
(x0 , y0 ) = lim+
.
t→0
∂~v
t
Denicja 10.
Gradientem funkcji
f (x, y)
w punkcie
gradf (x0 , y0 ) =
def
Twierdzenie 11.
rz¦du, to:
Je»eli funkcja
f (x, y)
(x0 , y0 )
nazywamy wektor:
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 ) .
∂x
∂y
ma w punkcie
(x0 , y0 )
ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego
∂f
∂f
∂f
(x0 , y0 ) = gradf (x0 , y0 ) ◦ ~v =
(x0 , y0 )v1 +
(x0 , y0 )v2 .
∂~v
∂x
∂y
2
dr Krzysztof ›yjewski
MiBM, I rok, I 0 in».
22 marca 2015
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Denicja 12.
Mówimy, »e funkcja z=f(x,y) posiada w punkcie
kalne, je»eli istnieje otoczenie
O
(x0 , y0 )
maksimum (minimum) lo-
punktu (x0 , y0 ) takie, »e dla ka»dego punktu
jest nierówno±¢ :
f (x, y) ≤ f (x0 , y0 )
(x, y) ∈ O
speªniona
f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ) .
(5)
Tak jak w rachunku funkcji jednej zmiennej minima i maksima lokalne funkcji dwóch zmiennych
nazywamy ekstremami lokalnymi.
Twierdzenie 13.
Je»eli funkcja
(warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych)
f (x, y)
ma w punkcie
(x0 , y0 )
∂f
∂f
ekstremum lokalne oraz w punkcie tym istniej¡ pochodne
cz¡stkowe pierwszego rz¦du ∂x (x0 , y0 ), ∂y (x0 , y0 ) to obie w tym punkcie s¡ równe zeru, tzn. zachodzi:
∂f
(x0 , y0 ) = 0,
∂x
Twierdzenie 14.
(x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = 0.
∂y
Niech wyznacznik pochodnych cz¡stkowych drugiego rz¦du funkcji
tzw. wyznacznik Hessa (hesjan), oznaczymy przez
∆2 = Je»eli funkcja
(6)
∂2f
(x0 , y0 )
∂x2
2
∂ f
(x0 , y0 )
∂y∂x
f,
w punkcie
= ∆2 :
∂2f
(x0 , y0 )
∂x∂y
2
∂ f
(x0 , y0 )
∂y 2
.
f (x, y) posiada pochodne cz¡stkowe rz¦du drugiego na otoczeniu punktu (x0 , y0 ) oraz
obie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du w tym punkcie s¡ równe zeru
∂f
(x0 , y0 ) = 0.
∂y
∂f
(x0 , y0 ) = 0,
∂x
Wówczas:
a) je±li
∆2 > 0 oraz ∆1 =
b) je±li
∆2 > 0
lokalne;
oraz
∂2f
(x0 , y0 )
∂x2
∆1 < 0,
> 0, to w punkcie (x0 , y0 ) funkcja f
to w punkcie
(x0 , y0 )
funkcja
f
c) je»eli
∆2 < 0,
to w punkcie(x0 , y0 ) funkcja
d) je»eli
∆2 = 0
to badanie istnienia ekstremum w punkcie
f
ma
ma
wªa±ciwe minimum
wªa±ciwe maksimum lokalne;
nie ma ekstremum lokalnego.
(x0 , y0 )
przeprowadzamy innymi me-
todami.
Algorytm wyznaczania ekstremów funkcji dwóch zmiennych:
1. wyznaczamy dziedzin¦ funkcji f ;
2. obliczamy pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du;
(
3. wyznaczamy punkty krytyczne funkcji f, tzn. rozwi¡zujemy ukªad równa«
∂f
(x0 , y0 )
∂x
∂f
(x0 , y0 )
∂y
oznaczmy je przez (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) -wybieramy tylko te które nale»¡ do dziedziny;
3
= 0,
= 0,
dr Krzysztof ›yjewski
MiBM, I rok, I 0 in».
22 marca 2015
4. w ka»dym z punktów krytycznych obliczamy Hesjan ∆2 oraz warto±¢ ∆1 ;
5. sprawdzamy, który z punktów a) − d) Twierdzenia 14 zachodzi.
Algorytm wyznaczania ekstremów globalnych funkcji dwóch zmiennych w obszarze domkni¦tym:
1. Wyznaczamy punkty krytyczne na istnienie ekstremów lokalnych wewn¡trz obszaru otwartego;
2. Wyznaczamy szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie¢ ekstrema warunkowe. W tym
celu skªadamy funkcj¦ dwóch zmiennych z funkcj¡ okre±laj¡c¡ brzeg obszaru (brzeg nale»y
podzieli¢ na sum¦ cz¦±ci, które mo»na opisa¢ równaniami y = ϕ(x) lub x = ψ(y)).
3. Porównujemy warto±ci funkcji w powy»szych punktach i ustalamy warto±¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ w tym obszarze domkni¦tym.
4
dr Krzysztof ›yjewski
MiBM, I rok, I 0 in».
22 marca 2015
Zadania na ¢wiczenia
1. Wyznacz dziedziny naturalne funkcji:
(a) f (x, y) = x2 y 3 − x sin y;
2
3
(c) f (x, y) = x√sin2x+y2 −1 ;
(e) f (x, y) =
(b) f (x, y, z) = x5 y 10 − x3 ln z + y 2 ex ;
(d) f (x, y) = ln(4x + yx);
p
(f ) f (x, y) = 2x2 − y 2 .
x +y −9
arcsin xy ;
2. Na podstawie denicji oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji w punkcie
(0, 0) :
(
x2 + y 2
(a) f (x, y) =
0
dla xy = 0
;
dla xy =
6 0;
(b) f (x, y) =
p
3
x3 − y 3 .
3. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji (z wykorzystaniem reguª ró»niczkowania):
(a) f (x, y) = x2 y 3 − x sin y;
(c) f (x, y) = xy ;
(e) f (x, y, z) = (2x + 3z)yz ;
(g) f (x, y) = ln sin(x − 2y);
(i) f (x, y) = yex+xy ;
(k) f (x, y) = (x + y) ln2 (1 − x − y);
(b) f (x, y, z) = x5 y 10 − x3 sin z + y 2 ez ;
(d) f (x, y) = (ln x)sin y ;
(f ) f (x, y, z) = xy z ;
y
(h) f (x, y) = (1 + xy)
p;
(j) f (x, y) = ln(x + x2 + y 2 );
x ln y
(l) f (x, y) = 5+2xy
;
ln q
x
2
2
(n) f (x, y) = arcsin xx2 −y
;
+y 2
√
√
(p) f (x, y, z) = xy(4x + 3z) yz ;
(m) f (x, y) = e3x arctg(xy);
√
(o) f (x, y) = (xy 2 + 1) arctg2 (y x);
4. Oblicz pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du podanych funkcji:
x+y
(b) f (x, y) = arctg 1−xy
;
(d) f (x, y) = x sin(x
p + y) + y cos(x + y);
(f ) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
(a) f (x, y) = 12 ln(x2 + y 2 );
(c) f (x, y) = sin xy;
(e) f (x, y, z) = exyz ;
5. Wyka», »e:
√
∂z
∂z
+ y ∂y
= z2 ;
(a) funkcja z(x, y) = x ln xy speªnia równanie x ∂x
+ ln1x ∂u
= 2u;
(b) funkcja u(x, y) = xy speªnia równanie xy ∂u
∂x
∂y
3
3
3
(c) funkcja w(x, y, z) = ln(x + y + z − 3xyz) speªnia równanie
∂w
∂x
+
∂w
∂y
+
∂w
∂z
=
3
.
x+y+z
6. Zbadaj ró»niczkowalno±¢
funkcji f (x, y) w punkcie (0, 0) :
( 3 3
y −x
dla (x, y) 6= (0, 0)
√
2
2
;
(b) f (x, y) = 3 xy.
(a) f (x, y) = x +2y
0
dla (x, y) = (0, 0);
7. Napisz ró»niczk¦ zupeªn¡ podanych funkcji:
(a) f (x, y) = √ x2 2 ;
x +y
p
(c) f (x, y) = ln x2 + y 2 ; w (x0 , y0 ) = (−4, 3)
(e) f (x, y, z) = (xy)z ;
(b) f (x, y) = ln tg(x + y);
(d) f (x, y) = x sin(x + z) + z cos(x + y);
2 +y 2
(f ) f (x, y) = cos xx3 +y
3.
8. Napisz równanie pªaszczyzny stycznej do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:
(b) f (x, y) = sin x + cos(x + y), P0 = ( π6 , π6 , z0 );
(d) f (x, y) = y ln(2 + x2 y − y 2 ), P0 = (2, 1, z0 ).
(a) f (x, y) = x2 + xy + y 2 , P0 = (0, 1, z0 );
2
(c) f (x, y) = x2 − y 2 , P0 = (2, −1, z0 );
5
dr Krzysztof ›yjewski
MiBM, I rok, I 0 in».
22 marca 2015
9. Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji oblicz przybli»one warto±ci
p podanych wyra»e«:
(a) 1, 073,97 ;
1,02
;
(c) arctg 0,95
o
(e) sin 29 · sin 46o , zakªadaj¡c, »e π = 3.142;
(g) cos 2, 36 · arctan 0, 97 · 32,05 ;
(b) 1, 042 + 3, 012 ;
(d) ln(0, 093 + 0, 993 );
p
(f ) (sin2 1, 55 + 8e0,015 )5 ;
1,032
(h) q
.
√
3
4
098·
1,053
10. Dany jest sto»ek o wysoko±ci h = 10 cm oraz promieniu podstawy R = 5cm. Jak zmieni si¦
obj¦to±¢ sto»ka, gdy wysoko±¢ wzro±nie o 2 mm a promie« zmaleje o 2 mm?
11. Promie« podstawy sto»ka wynosi R = 10, 2 ± 0, 2cm, a tworz¡ca l = 44, 6 ± 0, 1 cm. Znajd¹
obj¦to±¢ sto»ka, oraz okre±l jaki popeªniamy maksymalny bª¡d bezwzgl¦dny oraz wzgl¦dny przy
obliczaniu tej obj¦to±ci.
12. Okre±l maksymalny bª¡d wzgl¦dny jaki po popeªnimy obliczaj¡c opór przewodnika ze wzoru
R = EI , gdzie napi¦cie na ko«cach przewodnika wynosi E = 100±2V, a nat¦»enie I = 10±0, 1A.
13. Oblicz gradient podanej funkcji w podanym punkcie:
(a) f (x, y) = 5x2y − 3xy 3 + y4 , (x0 , y0 ) = (1, 2);
p
(b) f (x, y) = sin π x2 + y 2 (x0 , y0 ) = (3, 4);
(c) f (x, y, z) =
xy 3
z2
(x0 , y0 , z0 ) = (−2, 1, 3).
14. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x0 , y0 ) i okre±lonym kierunku (gdzie
α to k¡t jaki tworzy wektor ~v z osi¡ Ox):
(a) f (x, y) = y 2 + ln(xy), (x0 , y0 ) = (2, 1), ~v = [1, 1]
(b) f (x, y) = x2 y, (x0 , y0 ) = (5, 1), w kierunku punktu (x1 , y1 ) = (−1, −2);
(c) f (x, y) = ln(ex + ey ), (x0 , y0 ) = (1, 1), α = 45o ;
(d) f (x, y) = 3x4 + xy + y 3 , (x0 , y0 ) = (1, 2), α = 135o ;
(e) f (x, y) = xy, (x0 , y0 ) = (1, 1), w kierunku wektora najszybszego wzrostu.
15. Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:
(a) f (x, y) = (x − 2)2 + 2y 2 ;
(c) f (x, y) = 4x2 y + 24xy + y 2 + 32y − 6;
√
(e) f (x, y) = x2 + y 2 − 2x − 4 xy − 2y + 8;
(g) f (x, y) = xy + 50
+ 20
, x, y > 0;
x
y
(i) f (x, y) = 2|x − 1| + 3|y + 5|;
(k) f (x, y) = x2 + y 2 − 2 ln x − 18 ln y, x, y > 0;
(b) f (x, y) = x4 + 4xy − 2y 2 ;
(d) f (x, y) = x4 + y 4 − 2x2 + 4xy − 2y 2 ;
x
(f ) f (x, y) = e 2 (x + y 2 );
(h) f (x, y) = ln(y + 2x) − 3x − 2y 3 ;
2
2
(j) f (x, y) = e−(x +y +2x) ;
16. Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f (x, y) = x2 + y 2 − 24 ln(x + y) w trójk¡cie domkni¦tym
ograniczonym prostymi x = 0, y = 2, x + y = 8.
17. Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f (x, y) = x2 y w obszarze domkni¦tym ograniczonym krzywymi y = e2x , y = e−x , y = ex−2 .
18. Z dªugiego prostok¡tnego pªata blachy o szeroko±ci 42cm nale»y skonstruowa¢ otwart¡ od góry
rynn¦ o przekroju trapezu równoramiennego. Jak¡ szeroko±¢ powinno mie¢ dno rynny oraz pod
jakim k¡tem b¦d¡ wygi¦te ramiona przekroju, aby rynna mogªa pomie±ci¢ jak najwi¦ksza ilo±¢
wody?
6