Przykład 1. Wyznaczyć siły i naprężenia w wahaczach EI=∞, EA

Przykład 1. Wyznaczyć siły i naprężenia w wahaczach
P
F
3F
2c
EI=∞, EA=∞
2F
2c
c
Rys.1
c
Zadany
układ
jest
układem
jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalnym – potrzeba jednego dodatkowego równania
opisującego przemieszczenia.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
P
EI=∞, EA=∞
A
F
3F
E
2
C
D
2c
1
3
B
2F
G
2c
c
c
Rys.2
Na początek należy wyciąć część, która jest sztywną tarczą, a
następnie uzupełnić siły działające w przeciętych prętach, oraz
reakcje podpór.
P
EI=∞,
EA=∞
A
C
Rys.3
N3x
B
D
N3
N1
N2
VC
N3y
Korzystając z warunku zerowania sił na kierunku poziomym
wyznaczamy wartość siły N3
ΣP x =−N 3x =0
→
N 3 =0
(1)
Dla wyznaczenia relacji pomiędzy siłą F2 i F1 skorzystamy z
warunku zerowania się momentu zginającego w dowolnym
punkcie układu. Punktem tym będzie punkt C, ponieważ wtedy do
równania nie wejdzie nieznana reakcja podpory Vc.
ΣM C =N 1⋅3c +N 2⋅c +N 3y⋅c−P⋅c=N 1⋅3c +N 2⋅c−P⋅c=0
(2)
N 1⋅3c +N 2⋅c=P⋅c
(3)
→
3N 1 +N 2 =P
Dysponujemy teraz jednym równaniem opisującym relację
pomiędzy nieznanymi siłami w pręcie 1 i 2. Dla obliczenia tych sił
potrzebujemy jeszcze jednego równania – będzie to wspomniane
równanie opisujące przemieszczenia prętów. W tym celu
narysujemy plan przemieszczeń. Zaczniemy od tego, że skoro
N3=0 to pręt 3 nie uległ wydłużeniu, ani skróceniu. Jego końca
będziemy szukali na prostej prostopadłej do osi pręta i
przechodzącej przez punkt B.
P
A
B
3F
E
2
2c
F
D
Rys.4
3
1
C
2F
G
2c
c
c
Następnie przyjmijmy, że na skutek działania obciążenia P pręt 2
uległ wydłużeniu – w pręcie 2 występuje siła rozciągająca –
zgodnie z tym, co przyjęliśmy na rys.3. To wydłużenie oznaczymy
przez Δ2 i obliczymy ze wzoru:
N 2⋅2c
E⋅2F
(4)
P
Δ2
Δ 2=
3F
2
C
D
2c
B
3
A
Nanieśmy
wydłużenie
na
schemat.
1
Końca pręta F
2-go
będziemy
szukać na
prostej
prostopadłej E
do
wydłużoneg
o odcinka
GB+Δ2
2F
G
2c
c
c
Rys.5
B'
Δ2
P
A
F
3F
2
E
C
D
2c
1
3
B
2F
G
Rys.6
2c
c
c
Punkt przecięcia obu prostych wyznaczy nowe położenie punktu
B – oznaczmy ten punkt B'. Skoro punkt B do nowego położenia
przesunął się poziomu w lewo, to wszystkie pozostałe punkty
leżące na odcinku AD również muszą przesunąć się w lewo o
taka samą odległość, gdyż pręt AD jest prętem nierozciągliwym.
Mnożna więc określić nowe położenie punktu C – oznaczmy C' –
podpora w punkcie C uniemożliwia przemieszczenie tego punktu
Δ*
w pionie.
B'
Δ2
P
A
B C' C
F
Δ*
3F
E
2
Δ*
2c
1
3
Δ*
D
2F
G
2c
Rys.7
c
c
Znając położenie punktów B' i C' możemy jednoznacznie określić
położenie odcinka A'D', pamiętając że jest to sztywna tarcza, a jej
rzut na pierwotny kierunek pręta nie może zmienić długości.
A'
Δ*
B'
Δ2
P
A
B C' C
D
D'
F
Δ*
3F
E
2
Δ*
2c
1
3
Δ*
2F
G
2c
c
c
Rys.8
Teraz można narysować wszystkie elementu układu po
odkształceniu. Wydłużenie odcinka AE zaznaczymy na prostej
prostopadłej do
A'
Δ1
Δ*
B'
Δ2
P
C'
A
B
C
D
D'
F
Δ*
3F
E
2
Δ*
2c
1
3
Δ*
2F
G
2c
c
c
Rys.9
Korzystając ze sporządzonego rysunku możemy zapisać
następującą proporcję:
Δ1 Δ 2
=
→
Δ1⋅c=Δ2⋅3c
3c c
Przy czym wiemy, że wydłużenie pręta 1 możemy zapisać
wzorem:
Δ 1=
N 1⋅2c
E⋅F
(5)
(6)
Podstawiając (4) i (6) do (5) otrzymujemy brakujące równanie
N 1⋅2c
N 2⋅2c
⋅c=
⋅3c
E⋅F
E⋅2F
2⋅N 1 =3⋅N 2
(7)
3
N 1= ⋅N 2
2
→
(8)
{
3
N 1 = ⋅N 2
2
3⋅N 1 +N 2 =P
(9)
{
3
N 1 = ⋅N 2
2
3
3⋅ ⋅N 2 +N 2 =P
2
(10)
{
3
N 1= ⋅N 2
2
11
⋅N =P
2 2
(11)
{
6
P
22
2
N2= P
11
N 3 =0
N 1=
(12)
W prętach 1, 2 i 3 występuje osiowe rozciąganie, w związku z tym
naprężenia można wyznaczyć ze wzoru:
N
σ=
A
Czyli:
σ 1=
N 1 6⋅P
=
A1 22⋅F
σ 2=
N2
2⋅P
=
A2 11⋅2F
σ 3=
N3
=0
A3