STATYSTYKA

STATYSTYKA
Rafał Kucharski
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16
ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
Analiza dynamiki
I
Szereg czasowy:
y1 , y2 , . . . , yn−1 , yn .
I
yt – poziom (wartość) badanego zjawiska w okresie lub chwili t.
I
Szeregi czasowe momentów dotyczą zasobów.
I
Szeregi czasowe okresów dotyczą strumieni.
I
Strumienie możemy agregować: na przykład dane miesięczne do
kwartalnych lub rocznych.
I
Zasobów nie możemy agregować w ten sposób.
I
Szereg czasowy powinien zawierać wielkości jednorodne i
porównywalne.
Składniki szeregu czasowego
Dekompozycja – wyodrębnianie składowych szeregu czasowego:
I
tendencja rozwojowa (trend) T ,
I
wahania okresowe (sezonowe, koniunkturalne) S,
I
wahania przypadkowe P.
Składowe mogą się łączyć poprzez:
I
dodawanie – szereg addytywny:
Y = T + S + P,
I
mnożenie – szereg multiplikatywny,
Y = T · S · P.
Średnia ruchoma arytmetyczna (SMA)
I
krocząca, o długości 2q + 1:
q
ȳt =
I
X
1
yt+r ,
2q + 1 r =−q
t = q + 1, q + 2, . . . , n − q,
scentrowana (chronologiczna), o długości 2q:

ȳt =
q−1
X

1 1
1
yt−q +
yt+r + yt+q  , t = q + 1, q + 2, . . . , n − q,
2q 2
2
r =−q+1
Prognozy naiwne
Jeżeli:
I
nie występują zmiany w mechanizmie kształtowania zjawiska,
I
występują niewielkie wahania przypadkowe,
I
prognoza jest krótkookresowa,
I
dysponujemy krótkim szeregiem danych historycznych
możemy stosować metody „naiwne” sporządzania prognoz:
I
∗
yn+1
= yn ,
I
∗
yn+1
= yn + (yn − yn−1 ),
yn
∗
,
yn+1
= yn ·
yn−1
yn − y1
1 Pn
∗
yn+1
= yn +
(yt+1 − yt ) = yn +
,
n − 1 t=1
n−1
∗
yn+1
= yn+1−d – dla wahań sezonowych o okresie d wokół stałego
poziomu,
I
I
I
Średnia ruchoma wykładnicza (EMA)
I
α ∈ (0, 1) – parametr wygładzania; zwykle α ∈ [0.1, 0.3],
I
S1 = y1 ,
I
St = αyt + (1 − α)St−1 dla t = 2, . . . , n,
St =
t−2
X
j=0
α(1 − α)j yt−j + (1 − α)t−1 y1 .
Rekurencyjne modele prognoz oparte o wyrównanie
wykładnicze
I
model Browna:
∗
yt+1
= yt + (1 − α)(yt∗ − yt ) =
= αyt + (1 − α)yt∗ =
= αyt + α(1 − α)yt−1 + α(1 − α)yt−2 + . . . ,
y1∗
I
= y1 ,
model Holta:
F1 = y1 ,
S1 = 0,
Ft = αyt + (1 − α)(Ft−1 + St−1 ),
St = β(Ft − Ft−1 ) + (1 − β)St−1 ,
yt∗ = Ft−1 + St−1 ,
Prognoza:
yT∗
= Fn + (T − n)Sn ,
dla t ¬ n.
dla T > n.
Wskaźniki wahań okresowych
(i)
I
yt , t = 1, . . . , n, i = 1, . . . , d,
I
t – bieżący numer obserwacji, i – numer podokresu cyklu,
I
Ni = {t : t ∈ {1, . . . , n}, t = i + kd, k = 0, 1, . . . }, ni = #Ni ,
Dla szeregu bez trendu:
1 P
(i)
I ȳ (i) =
y – średnia w i-tym podokresie,
ni t∈Ni t
ȳ (i)
I Oi =
, i = 1, . . . , d – wskaźniki wahań okresowych,
ȳ
Pd
I zachodzi warunek:
i=1 Oi = d,
Wskaźniki wahań okresowych
Dla wahań addytywnych:
I
ȳt – wartości trendu (wyznaczonego dowolną metodą),
I
yt − ȳt – indywidualne odchylenia,
1 P
(yt − ȳt ), i = 1, . . . , d – wskaźniki wahań
Oi =
ni t∈Ni
okresowych,
I
I
eliminujemy wahania okresowe odejmując od obserwacji yt
odpowiednie wskaźniki wahań okresowych.
Dla wahań multiplikatywnych:
I
I
I
I
yt /ȳt – indywidualne wskaźniki sezonowości,
1 P
yt
Oi0 =
, i = 1, . . . , d – wskaźniki surowe,
t∈Ni
ni
ȳt
d · Oi0
Oi = P
0 – (oczyszczone) wskaźniki wahań okresowych,
i=1 Oi
eliminujemy wahania okresowe dzieląc obserwacje yt przez
odpowiednie wskaźniki wahań okresowych.
Addytywny model tendencji rozwojowej
I
Jeśli zjawisko Yt zmienia się liniowo w czasie, oraz brak jest wahań
okresowych, to model ma postać
Yt = at + b + εt ,
t = 1, . . . , n.
I
składniki losowe spełniają te same założenia co w modelu
Gaussa-Markowa,
I
jest to klasyczny model regresji, parametry modelu szacujemy
KMNK,
Model dla wahań kwartalnych
Yt = at + b + c1 Xt1 + c2 Xt2 + c3 Xt3 + εt ,
t = 1, . . . , n.
gdzie Xti , i = 1, 2, 3, reprezentują podokresy cyklu
(
Xti =
1
0
dla obserwacji dotyczacych i-tego kwartału,
dla obserwacji dotyczacych pozostałych kwartałów.
I
kwartał 4 będzie dla nas kwartałem „bazowym”,
I
parametry ci , i = 1, 2, 3, charakteryzują odchylenia występujące w
kolejnych kwartałach, względem kwartału 4,
I
składniki losowe spełniają te same założenia co w modelu
Gaussa-Markowa,
Model dla wahań kwartalnych c.d.
Zapisujemy model w postaci macierzowej:
y = Xa + ε,
gdzie (X = (t, 1, Xt1 , Xt2 , Xt3 )):

y1
y2
y3
y4
y5
y6
·





















y=







yn−3 


y

 n−2 


yn−1 
yn

1

 2

 3

 4

 5


X= 6

 ·

n − 3

n − 2


n − 1
n
1
1
1
1
1
1
·
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
·
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
·
0
1
0
0


0
0


1

0

0


0

·

0

0


1
0
 
a
b
 
 
a = c1 
 
c2 
c3
ε1
ε2
ε3
ε4
ε5
ε6
·





















ε=







εn−3 


ε

 n−2 


εn−1 
εn
Model dla wahań kwartalnych c.d.
I
Oszacowania parametrów wyznaczamy z wzoru:
â = (XT X)−1 XT y.
I
Wartości teoretyczne możemy również obliczyć za pomocą macierzy:
ŷ = Xâ.
I
Wektor reszt: e = y − ŷ,
I
Wariancja resztowa (5 parametrów):
Se2 =
I
eT e
n−5
Wariancje oszacowań parametrów odczytujemy z przekątnej
macierzy:
Se2 (XT X)−1 .
Przyrosty względne i absolutne
I
przyrosty absolutne (bezwzględne) o podstawie stałej:
y1 − yt0 , y2 − yt0 , y3 − yt0 , . . . , yn−1 − yt0 , yn − yt0 ,
I
gdzie podstawą jest okres t0 ,
przyrosty absolutne (bezwzględne) łańcuchowe:
y2 − y1 , y3 − y2 , y4 − y3 , . . . , yn−1 − yn−2 , yn − yn−1 ,
I
przyrosty względne o podstawie stałej w okresie t0 :
y1 − yt0 y2 − yt0 y3 − yt0
yn−1 − yt0 yn − yt0
,
,
, ...,
,
,
yt0
yt0
yt0
yt0
yt0
I
przyrosty względne łańcuchowe:
y2 − y1 y3 − y2 y4 − y3
yn−1 − yn−2 yn − yn−1
,
,
, ...,
,
,
y1
y2
y3
yn−2
yn−1
Wskaźniki dynamiki (indeksy)
I
stosunek wielkości badanego zjawiska w danym okresie (momencie)
– badanym, sprawozdawczym – do wielkości tego samego zjawiska
w innym okresie (momencie) – bazowym, podstawowym –
przyjętym za podstawę porównań,
I
indeksy jednopodstawowe o podstawie stałej w okresie t0 :
y1 y2
yn−1 yn
,
, ...,
,
,
yt0 yt0
yt0 yt0
I
indeksy łańcuchowe:
y2 y3
yn−1
yn
,
, ...,
,
,
y1 y2
yn−2 yn−1
I
na indeksach wygodniej wykonuje się operacje algebraiczne,
Zamiany indeksów
I
przyrosty względne na indeksy:
łańcuchowe:
jednopodstawowe:
I
yi − yi−1
yi
=
+ 1,
yi−1
yi−1
yi
yi − yt0
=
+ 1,
yt0
yt0
indeksy na przyrosty względne:
łańcuchowe:
jednopodstawowe:
yi − yi−1
yi
=
− 1,
yi−1
yi−1
yi − yt0
yi
=
− 1,
yt0
yt0
Zamiana podstawy indeksu jednopodstawowego
I
należy wszystkie indeksy podzielić przez wskaźnik wyrażający
zmianę zjawiska między okresem starej (s) a nowej podstawy (n):
yi
yi ys
yi yn
=
·
=
: .
yn
ys yn
ys ys
I
zmiana indeksu jednopodstawowego na łańcuchowy:
yi yi−1
yi
,
:
=
yt0 yt0
yi−1
Zamiana indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe
I
I
I
I
yt0
= 1,
yt0
w okresie następującym bezpośrednio po okresie bazowym indeks
yt +1
jednopodstawowy jest równy łańcuchowemu: 0 ,
yt0
kolejne indeksy po okresie bazowym otrzymujemy mnożąc poprzedni
indeks jednopodstawowy przez bieżący indeks łańcuchowy:
yi−1 yi
yi
=
·
,
yt0
yt0 yi−1
w okresie bazowym indeks jednopodstawowy wynosi:
indeksy przed okresem bazowym obliczamy dzieląc poprzedni
indeks jednopodstawowy przez bieżący indeks łańcuchowy:
yt0 yt0 −2
yt −1 yt −1
yi
yi+1 yi+1
yt0 −1
=1:
,
= 0 : 0 ,...,
=
:
,
yt0
yt0 −1 yt0
yt0
yt0 −2
yt0
yt0
yi
inaczej, jest to odwrotność iloczynu indeksów między okresem
bazowym a badanym:
yi
yt −1 yt0
yi+1 yi+2
.
= 1/
·
··· 0 ·
yt0
yi
yi+1
yt0 −2 yt0 −1
Średnie tempo zmian
I
I
I
interesuje nas średnie tempo zmian zjawiska w okresie od chwili 1
do chwili n (za n − 1 okresów),
jest to tempo r̄ , które będąc stałe w całym rozważanym okresie,
przyniosłoby taką samą zmianę całkowitą,
odpowiada mu taki średni indeks ḡ = 1 + r̄ , że
yn = (ḡ )n−1 y1 = (1 + r̄ )n−1 y1 .
I
zatem średni indeks możemy obliczamy jako:
I
pierwiastek (n − 1)-tego stopnia z ilorazu badanej wielkości na
końcu i początku badanego okresu:
r
yn
n−1
ḡ =
.
y1
I
pierwiastek (n − 1)-tego stopnia z ilorazu ostatniego i pierwszego
indeksu jednopodstawowego:
r
yn y1
ḡ = n−1
:
.
yt0 yt0
Średnie tempo zmian c.d.
I
najczęściej średni indeks obliczamy jako średnią geometryczną
indeksów łańcuchowych, które są indeksami ilustrującymi dynamikę
zmian w kolejnych okresach
s
ḡ =
I
I
n−1
y2 y3
yn−1 yn
·
···
·
y1 y2
yn−2 yn−1
v
u n
u Y yi
n−1
= t
.
i=2
yi−1
średnie tempo zmian obliczamy wówczas jako r̄ = ḡ − 1,
średnie tempo zmian możemy wykorzystać do sporządzania
prognozy (naiwnej):
∗
yn+1
= yn · (1 + r̄ ).
I
Uwaga: porównaj z wzorem na oprocentowanie przeciętne przy
kapitalizacji złożonej:
r̄ =
q
n
(1 + r1 )(1 + r2 ) · · · (1 + rn ) − 1.
Indeksy indywidualne i agregatowe
I
I
I
I
p – cena, q – ilość, w = p · q – wartość,
0 – okres bazowy, 1 – okres badany,
indywidualny indeks cen
p1
ip =
p0
indywidualny indeks ilości
iq =
I
indywidualny indeks wartości
iw =
I
q1
q0
w1
p1 · q1
=
= ip · iq
w0
p0 · q0
agregatowy indeks wartości:
P
P
w1
p1 q1
Iw = P
=P
w0
p0 q0
Indeksy agregatowe
I
agregatowy indeks ilości Laspeyresa:
IqL
I
P
q1 p1
=P
q0 p1
agregatowy indeks cen Laspeyresa:
IpL
I
q0 p0
agregatowy indeks ilości Paaschego:
IqP
I
P
q1 p0
=P
P
p1 q0
=P
p0 q0
agregatowy indeks cen Paaschego:
P
IpP = P
p1 q1
p0 q1
Indeksy agregatowe, c.d.
Laspeyresa
I
ilości
IqP
cen
P
p1 q0
L
Ip = P
P
p1 q1
P
Ip = P
0 0
p0 q0
q0 p1
p0 q1
q
IqL · IqP
q
IpL · IpP
agregatowy indeks cen Fishera:
IpF =
I
P
q1 p1
=P
agregatowy indeks ilości Fishera:
IqF =
I
Paaschego
P
q1 p0
L
Iq = P
q p
zachodzą związki:
Iw = IpL · IqP = IpP · IqL = IpF · IqF
Indeksy agregatowe, c.d.
Gdy nie dysponujemy szczegółowymi danymi, możemy zauważyć, że:
Iw =
P
P
w0 · iw
w1
P
= P w1
w
0
iw
IqL
P
w0 · iq
= P
IqP
IpL
P
w0 · ip
= P
IpP
w0
w0
P
w1
= P w1
iq
P
w1
= P w1
ip
Indeksy dla wielkości stosunkowych
I
indywidualnie:
x=
I
a
b
⇐⇒
zespołowo:
a = bx
P
⇐⇒
P
b=
a
x
P
A
a
xb
a
=P = P =Pa
B
b
b
x
indeksy agregatowy wszechstronny (o zmiennej strukturze):
X =
I
P
P
P
P
P
P
a0
x1 b1
x0 b0
a1
X1
a1
a0
:P
= P
: P
= P a1 : P a0
IX =
=P
b1
b0
b1
b0
X0
x1
x0
Indeksy dla wielkości stosunkowych c.d.
I
indeksy o stałej strukturze:
P
P
Ix/a0
Ix/a1
I
P
P
x1 b0
x0 b0
Ix/b0 = P
: P
a0
a0
= P a0 : P a0
x
x
P 1 P 0
a1
a1
= P a1 : P a1
x1
x0
b0
b0
P
P
x0 b1
x1 b1
: P
Ix/b1 = P
b1
b1
indeksy zmian strukturalnych:
P
P
x0 b1
x0 b0
: P
b Ix/x0 = P
b1
b0
P
P
x1 b1
x1 b0
: P
b Ix/x1 = P
b1
b0
P
P
a1
a0
a Ix/x0 = P a1 : P a0
x
x
P 0 P 0
a1
a0
a Ix/x1 = P a1 : P a0
x1
x1
Ix = Ix/a1 · a Ix/x0 = Ix/a0 · a Ix/x1 = Ix/b1 · b Ix/x0 = Ix/b0 · b Ix/x1