koło Mohra - Nauka - BudownictwoPolskie.pl

GŁÓWNE
ŚRODKOWE
MOMENTY
BEZWŁADNOŚCI
(KOŁO MOHRA)
PRZYKŁAD
Dla figury płaskiej jak na rys.1 wyznaczyć położenie głównych środkowych osi bezwładności
oraz wartości momentów bezwładności względem tych osi, przyjmując: b1 = 6cm , b2 = 1cm ,
h1 = 5cm , h2 = 3cm , a = 1cm . Zadanie rozwiązać analitycznie i graficznie.
Rys.1 Figura płaska złożona z trójkąta i prostokąta
W celu obliczenia współrzędnych środka ciężkości przyjmujemy położenie układu
współrzędnych (rys.2).
Rys.2 Podział na figury proste
Daną figurę możemy podzielić na dwie prostsze, pierwszą z nich będzie trójkąt, drugą
prostokąt (rys.2).
A1 =
b1h1
= 15cm 2
2
A2 = b2 h2 = 3cm 2
Pole powierzchni całkowitej wynosi zatem:
A = A1 − A2 = 15 − 3 = 12cm 2
Współrzędne położenia środka ciężkości dla trójkąta i prostokąta zgodnie z przyjętym
układem współrzędnych wynoszą odpowiednio:
h
b
y c1 = 1 = 2cm , z c1 = 1 = 1,67cm ,
3
3
yc 2 = a +
b2
1
= 1 + = 1,5cm ,
2
2
zc2 =
h2
= 1,5cm
2
Momenty statyczne względem osi y i z obliczymy jako różnicę momentu statycznego figury
pierwszej i drugiej:
S y = S y1 − S y 2 = A1 z c1 − A2 z c 2 = 15 ⋅ 1,67 − 3 ⋅ 1,5 = 20,5cm 3
S z = S z1 − S z 2 = A1 y c1 − A2 y c 2 = 15 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1,5 = 25,5cm 3
Położenie środka ciężkości dla całej figury wyznaczają następujące współrzędne:
yc =
S z 25,5
=
= 2,13cm ,
A
12
zc =
Sy
A
=
20,5
= 1,71cm
12
Obliczone wartości współrzędnych środka ciężkości nanosimy na schemat i wprowadzamy
centralny układ współrzędnych y o , zo (rys.3).
Rys.3 Położenie środka ciężkości oraz centralnego układu współrzędnych
Momenty bezwładności oraz moment dewiacji względem osi y i z wynoszą:
b1h1
bh
6 ⋅ 5 3 1 ⋅ 33
− 2 2 =
−
= 53,5cm 4
12
3
12
3
3
Jy =
3
3
3
h1b1  h2 b2
5 ⋅ 6 3 3 ⋅13
2
2


Jz =
−
+ A2 ⋅ y c 2  =
−
− 3 ⋅ (1,5) = 83cm 4
12  12
12
 12
b h
6 2 ⋅ 52
= 1 1 − A2 ⋅ y c 2 ⋅ z c 2 =
− 3 ⋅ 1,5 ⋅ 1,5 = 30,75cm 4
24
24
2
J yz
2
Korzystając z twierdzenia Steinera wyznaczamy momenty bezwładności względem osi
środkowych:
J yo = J y − A ⋅ z c = 53,5 − 12 ⋅ 1,712 = 18,48cm 4
2
J zo = J z − A ⋅ yc = 83 − 12 ⋅ 2,132 = 28,81cm 4
2
J yo zo = J yz − A ⋅ yc ⋅ z c = 30,75 − 12 ⋅ 2,13 ⋅ 1,71 = −12,81cm 4
Położenie głównych środkowych osi bezwładności wyznaczymy z zależności:
tg 2ϕ o =
− 2 J yo zo
J y o − J zo
=
2ϕ o = −68 o 2 ′ ,
− 2 ⋅ (− 12,81)
= −2,48
18,48 − 28,81
⇒
ϕ o = −34 o1′
Momenty bezwładności względem osi głównych środkowych wynoszą:
J1, J 2 =
J y o + J zo
2
 J y − J zo
±  o
2

2

 + J yo zo 2 =

18,48 + 28,81
 18,48 − 28,81 
2
=
± 
 + (− 12,81) =
2
2


= 23,65 ± 13,81
2
J 1 = 23,65 + 13,81 = 37,46cm 4 = J max
J 2 = 23,65 − 13,81 = 9,84cm 4 = J min
Rys.4 Położenie osi głównych środkowych
yog , zog
Aby wyznaczyć graficznie położenie osi głównych środkowych oraz momentów
bezwładności J 1 , J 2 względem tych osi, należy na osi poziomej (osi momentów
bezwładności na rys.5) odłożyć odcinki J y = OC i J z = OD oraz prostopadłe do nich
o
o
odcinki J yo zo = CE = DF (patrz rys.5). Łączymy punkty E i F średnicą EF , przecinającą
oś poziomą w punkcie S i zataczamy okrąg o promieniu ES = SF , który w miejscu
przecięcia z osią poziomą wyznacza punkty A i B . Z konstrukcji koła ostatecznie
otrzymujemy:
J 1 = J max = OB ,
J 2 = J min = OA
oraz kąt 2ϕ o jaki tworzy prosta EF z osią poziomą, który jest podwojonym kątem
nachylenia osi głównych środkowych względem osi y o , zo .
Zgodnie z rys.5 mamy:
J 1 , J 2 = OS ± AS
gdzie:
OS =
J 1 + J 2 J y o + J zo
=
2
2
2
AS = ES = SF = SB = SD + DF
natomiast:
2
SD =
J yo − J zo
2
DF = J yo zo
,
Wykorzystując powyższe zależności otrzymujemy:
J 1 , J 2 = OS ± AS =
J yo + J zo
2
 J y − J zo
±  o
2

2

 + J yo zo 2 =

18,48 + 28,81
 18,48 − 28,81 
2
=
± 
 + (− 12,81) =
2
2


= 23,65 ± 13,81
2
J 1 = 23,65 + 13,81 = 37,46cm 4 = J max
J 2 = 23,65 − 13,81 = 9,84cm 4 = J min
Rys.5 Rozwiązanie graficzne (koło Mohra)