PRZYKŠAD 1 CAŠKOWANIE+SPRZ†›ENIE ZWROTNE (1) nienia k i

1
PRZYKŠAD 1
CAŠKOWANIE+SPRZ†›ENIE
ZWROTNE (1)
• Obiekt dynamiczny caªkuj¡cy
kp
Gp(s) =
s
obj¦to p¦tl¡ proporcjonalnego ujemnego
sprz¦»enia zwrotnego poprzez kanaª o statycznym wzmocnieniu kf (rys. 1).
Rysunek 1: Schemat strukturalny ukªadu dynamicznego.
• Wyznacz operatorow¡ transmitancj¦ otrzymanego ukªadu zamkni¦tego, wyra»aj¡c j¡ za pomoc¡ statycznego wzmocnienia k i staªej czasowej T .
2
• Zakªadaj¡c, »e do wej±cia rozpatrywanego ukªadu przyªo»ono sygnaªy jednostkowego:
(I) skoku poªo»eniowego
(II) skoku pr¦dko±ciowego
podaj przebieg odpowiedzi na ka»de z
tych pobudze«.
• Deniuj¡c uchyb e(t) jako ró»nic¦ po-
mi¦dzy wej±ciem i wyj±ciem rozwa»anego ukªadu
e(t) = r(t) − c(t)
znajd¹ warto±¢ ustalon¡ tego uchybu w
funkcji parametrów k i T .
• Operatorowa transmitancja tego ukªadu
kp/s
kp
G(s) =
=
.
1 + kpkf /s s + kpkf
3
Zapiszmy j¡ w postaci
G(s) =
k
1 + Ts
gdzie:
k=
1
kf
T =
1
kp kf
statyczne wzmocnienie
staªa czasowa
ukªadu zamkni¦tego.
(I) Dla wej±ciowego sygnaªu r(t) w po-
staci jednostkowego skoku odpowied¹
opisana jest wzorem
c(t) = L−1 [G(s)R(s)]
¸
·
k
−1
= L
s(1 + T s)
= k(1 − e−t/T ) · 1(t).
Wzmocnienie obiektu kp nie wpªywa
na ko«cow¡ warto±¢ tej odpowiedzi.
4
(II) Dla sygnaªu wej±ciowego w postaci
jednostkowego skoku pr¦dko±ciowego
c(t) = L−1 ·
[G(s)R(s)] ¸
k
= L−1 2
h s (1 + T s) i
= k (t − T ) + T e−t/T · 1(t).
Wyznaczmy teraz ko«cow¡ warto±¢ uchybu w ka»dym z przypadków.
(I) Dla wej±cia w postaci jednostkowego
skoku poªo»eniowego - nalna warto±¢
uchybu jest warto±ci¡ sko«czon¡ . Zachodzi
1
k
1 − k + sT
E(s) = −
=
.
s s(1 + T s)
s(1 + T s)
Otrzymujemy zatem
e(∞) = lim sE(s) = 1 − k.
s→0
Rozpatrywany ukªad nie wprowadza
uchybu ko«cowego tylko wtedy, gdy
k = 1.
5
(II) Dla wej±ciowego sygnaªu w postaci
jednostkowego skoku pr¦dko±ciowego
h
i
e(t) = (1 − k)t + kT − kT e−t/T ·1(t).
Jak wida¢, je»eli k 6= 1, uchyb e(t)
narasta nieograniczenie w miar¦ upªywu czasu.
Natomiast, w przypadku, w którym
k = 1, warto±¢ ko«cowa e(∞) uchybu
e(t) istnieje.
Korzystaj¡c z twierdzenia o warto±ci
ko«cowej oryginaªu, obliczamy najpierw
1
1/T
E(s) = 2 − 2
s
s (s + 1/T )
1
=
s (s + 1/T )
a nast¦pnie
e(∞) = lim sE(s) = T.
s→0
6
PRZYKŠAD 2
CAŠKOWANIE+SPRZ†›ENIE
ZWROTNE (2)
• Obiekt dynamiczny caªkuj¡cy o operatorowej transmitancji
Gp(s) =
kp
s
obj¦to p¦tl¡ proporcjonalnego ujemnego
sprz¦»enia zwrotnego poprzez kanaª o statycznym wzmocnieniu kf (rys. 1 z poprzedniego przykªadu).
Wyznacz widmow¡ transmitancj¦ G(jω)
ukªadu zamkni¦tego.
Zbadaj zale»no±¢ trzydecybelowego pasma przenoszenia tego ukªadu ω3dB od
wzmocnienia kf .
7
• Niech
ω3dB = 10 rad · s−1
za± dla ω = 0.1ω3dB zachodzi
|G(jω)|dB ≈ 20 dB.
Oszacuj na tej podstawie warto±ci parametrów kp oraz kf .
• Operatorowa transmitancja rozwa»anego ukªadu zamkni¦tego dana jest wzorem
G(s) =
k
1 + Ts
gdzie:
k=
1
kf
oraz T =
1
.
kpkf
8
• A zatem widmowa transmitancja tego
ukªadu ma posta¢
G(jω) = G(s)|s=jω
k
=
1 + jωT
k
= √
e−j arctan(ωT ).
1 + ω 2T 2
• Z wyra»enia opisuj¡cego moduª tej transmitancji wynika, »e
pasmo przenoszenia równa si¦
ω3dB = 1/T
a zatem
ω3dB = kpkf .
Co oznacza, i» pasmo tego ukªadu jest
wielko±ci¡ proporcjonaln¡ do wzmocnienia kanaªu sprz¦»enia zwrotnego.
9
• Jak ªatwo zauwa»y¢, dla ω = 0.1ω3dB
mo»na przyj¡¢, »e
|G(jω)| ≈ k.
Dla zaªo»onych danych liczbowych otrzymujemy zatem
kf = 1/k ≈ 0.1
a nast¦pnie
kp = ω3dB/kf ≈ 100.
10
PRZYKŠAD 3
CZŠON INERCYJNY
• Obiekt, b¦d¡cy czªonem inercyjnym
pierwszego rz¦du, sterowany jest za
pomoc¡ regulatora proporcjonalnego.
Rysunek 2: Strukturalny schemat ukªadu sterowania.
• Zakªadaj¡c, i» ∀t
r(t) = 0
oraz przyjmuj¡c, »e do sygnaªu steruj¡cego obiektem dodaje si¦ zakªócenie
d(t) = δ(t)
zbadaj wpªyw tego zakªócenia na wielko±¢
sterowan¡ c(t).
11
• Transmitancja zakªóceniowa
C(s)
1
=
.
D(s) (1 + k) + s
• Dla zakªócenia D(s) = L [δ(t)] = 1 wy-
znaczamy transformat¦ wielko±ci ste-
rowanej
C(s) =
1
.
(1 + k) + s
St¡d otrzymujemy
c(t) = e−(1+k)t · 1(t).
• Widzimy zatem, i»
powi¦kszaj¡c wzmocnienie k
regulatora
powodujemy
zwi¦kszenie szybko±ci zaniku
zakªóceniowej odpowiedzi impulsowej
(wykonaj odpowiedni rysunek! ).
piotrJsuchomski