praca domowa 4

Matematyka w ubezpieczeniach
III rok matematyki finansowej
praca domowa nr.4
18 maja 2016
1. Rozważmy dwa rodzaje polis:
- polisa I, wystawiona na 40-latka, jest 15-letnim ubezpieczeniem terminowym na życie ze
świadczeniem rosnącym z roku na rok o 1000 zł, począwszy od sumy ubezpieczenia 1000 w
pierwszym roku; świadczenia są wypłacane na koniec roku śmierci;
- polisa II ma te same parametry, z tym, że świadczenie maleje co roku o 1000, począwszy
od kwoty wyjściowej 15 000 zł.
Wiadomo, że
1
= 0, 075.
A40:15
Niech S oznacza obecną wartość wszystkich wypłat z portfela 100 niezależnych polis, w których
występuje po 50 polis obu typów. Obliczyć E(S).
2. Wyznaczyć Cov(δāT , v T )
3. Pokazać, że V ar(āT ) wynosi
2
(āx − 2 āx ) − (āx )2 .
δ
4. Udowodnić, że 2 Ax = 1 − (2d − d2 )2 äx .
5. Używając nierówności Jensena pokazać, że dla δ > 0 zachodzi nierówność āx < āe̊x .
6. Osoba w wieku 65 lat ma do wyboru dwie, aktuarialnie równoważne, renty dożywotnie. Obydwie
renty wypłacają raz w roku świadczenie w każdą rocznicę polisy, od zaraz do końca życia. W
rencie R1 płatności są dokonywane nie krócej niż 5 lat. W rencie R2 gwarantowany okres świadczeń wynosi 10 lat. Oblicz (podaj najbliższą wartość) o ile procent wysokość świadczenia z renty
R1 jest większa od wysokości świadczenia z renty R2. Dane są
i = 5%
D65 = 320 000
N65 = 3 350 000
N70 = 1 970 000
N75 = 1 050 000
Uwaga!
Za każdy zadanie można otrzymać 1 punkt przeliczeniowy. Pracę wykonać należy w zespołach
dwuosobowych i oddać w terminie do 6.06.2016.