Seminarium
Transkrypt
Seminarium
POLITECHNIKA ×ÓDZKA Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej Kierunek: Specjalność: Matematyka Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa Grupa 5: Jacek Janiak SEMINARIUM cześć ¾ 1i2 Praca zaliczeniowa napisana w Instytucie Matematyki pod kierunkiem profesora Jana Kubarskiego ×ódź luty 2009 1 1 Odwzorowania wieloliniowe Twierdzenie 1 Niech E, F , G bed ¾ a¾ przestrzeniami liniowymi oraz E1 i G1 bed ¾ a¾ podprzestrzeniami odpowiednio przestrzeni E i G. Niech ' : E F ! G bedzie ¾ odwzorowaniem dwuliniowym takim, ·ze ' (x1 ,y) 2 G1 dla dowolnych x1 2 E1 , y 2 F . Rozwa·zmy rzuty kanoniczne : E ! E=E1 oraz : G ! G=G1 . Wówczas istnieje odwzorowanie dwuliniowe ' e : E=E1 F ! G=G1 dane wzorem dla dowolnych x 2 E, y 2 F . ' e ( x; y) = ' (x; y) (1) Dowód. Pokaz·emy, z·e odwzorowanie (1) jest poprawnie zde…niowane to jest nie zalez·y od wyboru reprezentanta. Niech x0 2 x. Stad ¾ mamy, z·e x0 x 2 E1 . Dalej ' (x0 x; y) 2 G1 poniewaz· x0 x 2 E1 , y 2 F . Stad ¾ wynika, z·e ' (x; y) = ' (x0 x; y) + G1 . Mamy: (' (x0 ; y) ' (x; y)) = 0 (' (x0 ; y)) (' (x; y)) = 0 (' (x0 ; y)) = (' (x; y)) , czyli: ' e ( x; y) = ' e ( x0 ; y) . Pozostaje pokazać, z·e (1) jest odwzorowaniem dwuliniowym. Niech x 2 E, y 2 F . Mamy: ' e( x; y) Niech x1 , x2 2 E oraz y 2 F ' e ( x1 + x2 ; y) = ' e ( x; y) = (' ( x; y)) = ( ' (x; y)) = (' (x; y)) = ' e ( x; y) : = ' e ( (x1 + x2 ) ; y) = (' (x1 + x2 ; y)) = (' (x1 ; y) + ' (x2 ; y)) = (' (x1 ; y)) + (' (x2 ; y)) = ' e ( x1 ; y) + ' e ( x2 ; y) : ×atwo sprawdzamy liniowość ze wzgledu ¾ na druga¾ wspó÷rzedn ¾ a. ¾ 2 2 oraz Uwaga 2 Je´sli dla pewnej podprzestrzeni F1 przestrzeni F zachodzi ' (x,y1 ) 2 G1 dla dowolnych x 2 E, y1 2 F1 to ' e ( x,y1 ) = 0. Istotnie dla x 2 E, y1 2 F1 mamy ' e ( x; y1 ) = (' (x; y1 )) = 0 + G1 = 0. Rozwa·zmy ponadto rzut kanoniczny : E=E1 ' e ( x; y) = F=F1 ! G=G1 dany wzorem (' (x; y)) dla ka·zdego x 2 E, y 2 F . Poprawno´s´c de…nicji dwuliniowo´sci odwzorowania ' sprawdzamy analogicznie jak w poprzednim przypadku. 2 Iloczyn Tensorowy Twierdzenie 3 [WHG, Strona 7] Ka·zdy niezerowy wektor z z iloczynu tensorowego E F mo·zna przedstawi´c w postaci z= r X xi yi i=1 dla pewnego r i pewnych wektorów xi i yi liniowo niezale·znych. Dowód. Z uwagi na 2 dowolny wektor z jest suma¾ tensorów prostych z= r X xi yi i=1 dla pewnego r i pewnych wektór xi i yi . Niech r bedzie ¾ najmniejsza¾ z moz·liwych liczb naturalnych, dla której istnieje powyz·sze przedstawienie. Rozwaz·my przypadek, gdy r = 1. Otrzymujemy z = x1 y1 . Oczywiście, z·e x1 6= 0 oraz y1 6= 0. Zatem fx1 g i fy1 g sa¾ zbiorami liniowo niezalez·nymi. Teraz niech r 2. Przypuśćmy niewprost, z·e wektory xi sa¾ liniowo zalez·ne wiec ¾ istnieje pewien wektor, który moz·na zapisać w postaci kombinacji pozosta÷ ych wektorów. Bez zmniejszenia ogólności za÷ óz·my, z·e ostatni wektor przedstawimy jako kombinacje¾ wszystkich poprzednich. Mamy: xr = r 1 X i xi . i=1 Rozwaz·my z = r X xi i=1 = r 1 X i=1 yi + r 1 X xi yr = i=1 xi yi + i r 1 X xi i=1 yr = r 1 X xi yi + r 1 X xi i yr i=1 yi . i=1 To przeczy minimalności r. Analogicznie pokaz·emy liniowa¾ niezalez·ność wektorów yi dla i 2 f1; :::; rg. 3 Literatura [WHG] W.H.Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag New York Inc.1967 4