MonteCarlo1

Symulacja Monte Carlo - przykład 1 (1)
(źródło: Operations Management, J.Heizer, B. Render)
Metoda Monte Carlo polega na przeprowadzaniu eksperymentów w których elementy losowe
(probabilistyczne) ujmuje kategoriami losowo wyznaczonych próbek. Metoda składa się z 5 kroków:
1. Ustalenie rozkładu prawdopodobieństw istotnych zmiennych (na podstawie danych z
przeszłości) np. popytu, czas od złożenia zlecenia do jego otrzymania, czas między
awariami urządzeń, czas między przybyciami klientów do centrum obsługi (przykład
poniżej).
2. Skonstruowanie skumulowanego prawdopodobieństwa każdej zmiennej.
Przykład: zapotrzebowanie na komplety opon pewnego typu w firmie zajmującej się
sprzedażą opon w ostatnich 200 dniach było następujące:
Zapotrzebowanie
Liczba dni
Prawdopodobieństwo
(wyliczone)
Skumulowane
prawdopodobieństwo
0
10
10/200=0,05
0,05
1
20
20/200=0,10
0,15
2
40
40/200=0,20
0,35
3
60
60/200=0,30
0,65
4
40
40/200=0,20
0,85
5
30
30/200=0,15
1,00
Razem
200
200/200=1,00
----------------
3. Ustanowienie przedziału wartości (losowych) każdej wartości zmiennej (kodowanie).
Liczby losowe (czyli zespoły cyfr - np. dwucyfrowe: 01, 02, 03,…, 99,00) są wybierane
w drodze doskonałego procesu losowego (każda liczba losowa ma równe szanse być
wylosowana).
Wracamy do przykładu. Jeśli jest 5% szans, że nie będzie w danym dniu potrzeba ani
jednego kompletu opon, to 5% wylosowanych liczb będzie odpowiadać popytowi
(zapotrzebowaniu) na zero kompletów opon. Jeśli bierzemy pod uwagę liczby
dwucyfrowe to będzie to reprezentować pierwszych 5 liczb losowych: 01, 02, 03, 04, 05.
Jeśli zatem w jakiś sposób wylosujemy w symulacji liczbę spośród zbioru 01,02, 03, 04,
05 to oznacza to symulowany popyt wynoszący zero kompletów opon. Jeśli wylosujemy
którą z liczb ze zbioru 06, 07, … 15 to symulowany popyt wyniesie 1 komplet opon itd..
Zapotrzebowanie
Prawdopodobieństwo
(wyliczone)
Skumulowane
prawdopodobieństwo
Przedział liczb losowych
0
0,05
0,05
01 … 05
1
0,10
0,15
06 … 15
2
0,20
0,35
16 … 35
3
0,30
0,65
36 … 65
4
0,20
0,85
66 … 85
5
0,15
1,00
86 … 99 + 00 (100)
4.Generowanie liczb losowych (komputerowo lub za pomocą tablic liczb losowych – są takie).
5. Właściwe symulowanie czyli tworzenie zestawu serii wyników.
Kolejny symulowany
dzień
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Liczba losowa
52
37
82
69
98
96
33
50
88
90
Razem
Symulowane dzienne
zapotrzebowanie
3
3
4
4
5
5
2
3
5
5
39
Średni dzienny popyt w ciągu tych 10 dni wynosi 39/10 = 3,9 kompletów opon.
Co ciekawe, średnie symulowane dzienne zapotrzebowanie (3,9) w czasie tej 10-dniowej
symulacji różni się od oczekiwanego dziennego zapotrzebowania, które wyliczamy następujący
sposób:
Oczekiwane dzienne zapotrzebowanie
gdzie :
pi – prawdopodobieństwo zapotrzebowania na i kompletów opon,
zi – zapotrzebowanie na i kompletów opon
= 0,05*0 + 0,10*1 + 0,20*2 + 0,30*3 + 0,2*4 + 0,15*5 = 2,95 kompletów opon / dzień
Jednakże gdyby eksperyment obejmował tysiące dni to średnie symulowane dzienne
zapotrzebowanie byłoby bliskie oczekiwanemu dziennemu zapotrzebowaniu.
Symulacja Monte Carlo
Symulacja w problemach kolejkowych
(źródło: Operations Management, J.Heizer, B. Render)
Motywacja: zagadnienie nadaje się tylko do symulacji, gdyż strumieo
przybywających obiektów nie jest poissonowski i czasy obsługi nie są realizacjami
rozkładu wykładniczego ani stałego. Nie da się tego rozwiązad analitycznie.
Przedmiotem badao jest urząd celny w porcie u ujścia rzeki do morza. Co noc
przybywają barki wypełnione towarami do rozładunku i odprawy. Liczba
przybywających barek waha się od 0 do 5. Dzienna zdolnośd rozładunku waha się
między 1 a 5. Regulamin kolejki to FIFO. Problemem do rozwiązania jest
obserwowany fakt, że niektóre barki muszą czekad na rozładunek i odprawę do
następnego dnia. Protestują wobec tego właściciele barek a naczelnik urzędu
celnego nie może tego lekceważyd. Zanim rozpocznie starania o znalezienie nowych
pracowników u naczelnika portu, powinien zbadad procesy przybywania,
rozładunku i opóźnienia. W tym celu wykonana zostanie piętnastodniowa symulacja
(ideałem byłoby wykonanie symulacji 100 dni). Na podstawie wyników symulacji
można zanalizowad koszty opóźnieo, koszt bezczynności pracowników i koszt
zatrudnienia nowych. Do tego niezbędne są jednak kolejne wielokrotne symulacje z
uwzględnieniem zmodyfikowanych współczynników zdolności rozładunku.
Tabela 1. Częstośd przybywania barek i przedziały liczb losowych.
Liczba przybywających barek
0
1
2
3
4
5
Prawdopodobieństwo
0,13
0,17
0,15
0,25
0,20
0,10
Skumulowane
prawdopodobieństwo
0,13
0,3
0,45
0,70
0,90
1,00
Przedział liczb losowych
dwucyfrowych
01..13
14..30
31..45
46..70
71..90
91..00(100)
Tabela 2. Częstości liczby dziennie obsłużonych barek.
Liczba obsłużonych barek
1
2
3
4
5
Prawdopodobieństwo
0,05
0,15
0,50
0,20
0,10
Skumulowane
prawdopodobieństwo
0,05
0,20
0,70
0,90
1,00
Przedział liczb losowych
dwucyfrowych
01..05
06..20
21..70
71..90
91..00(100)
Dzień
Liczba losowa nr 1
(symulowanie
liczby przybyd)
1
0 (stan początkowy)
52
37
2
06
63
3
50
28
4
88
02
5
53
74
6
30
35
7
10
24
8
47
03
9
99
29
10
37
60
11
66
74
12
91
85
13
35
90
14
32
73
15
00 (100)
59
Razem
Liczba przybyd
w danym dniu
(Tabela 1)
Razem
Liczba barek
do
rozładunku
Liczba losowa nr 2
(symulowanie
zdolności
rozładunkowych)
Liczba barek
pozostających od
poprzedniego dnia
Zdolności
rozładunkowe
(Tabela 2)
Podstawowe statystyki:
Średnia dzienna liczba czekających barek :
Średnia dzienna liczba przybyd :
Średnia dzienna liczba barek odprawionych :
Liczba barek
faktycznie
odprawionych
Razem