docKrzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu
download 
Reklamacja Transkrypt
Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu
Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Marek Skarupski Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Krzywe związane z ruchem okręgu Do tej pory poznaliśmy jedną krzywą stożkową w szczegółach: jest nią okrąg. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Krzywe związane z ruchem okręgu Do tej pory poznaliśmy jedną krzywą stożkową w szczegółach: jest nią okrąg. Podczas tych zajęć przedstawimy krzywe związane z ruchem okręgu. Krzywe takie nazywamy cykloidami. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Cykloida zwykła Cykloida zwykła jest to krzywa zakreślana przez punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po prostej. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Cykloida zwykła O wiele łatwiej można opisać cykloidę w postaci parametrycznej: x = r (t − sin(t)) y = r (1 − cos(t)) gdzie r to promień toczącego się okręgu oraz t ∈ [0, 2π]. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Cykloida zwykła O wiele łatwiej można opisać cykloidę w postaci parametrycznej: x = r (t − sin(t)) y = r (1 − cos(t)) gdzie r to promień toczącego się okręgu oraz t ∈ [0, 2π]. We współrzędnych kartezjańskich na odcinku [0, πr ] można cykloidę opisać jako krzywą o równaniu: x+ p r −y ) y (2r − y ) = r arc cos( r gdzie arc cos to funkcja odwrotna do cos. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Zagadnienie brachistochrony W 1696 roku szwajcarski matematyk Jakob Bernoulli postawił problem: Mamy zadane dwa punkty i interesuje nas, jaką krzywą należy te dwa punkty połączyć, aby koralik rzucony na krzywą i ślizgający się bez tarcia dotarł do punktu położonego niżej w najkrótszym czasie. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Zagadnienie brachistochrony W 1696 roku szwajcarski matematyk Jakob Bernoulli postawił problem: Mamy zadane dwa punkty i interesuje nas, jaką krzywą należy te dwa punkty połączyć, aby koralik rzucony na krzywą i ślizgający się bez tarcia dotarł do punktu położonego niżej w najkrótszym czasie. Sam Bernoulli znał odpowiedź, jednak rzucił wyzwanie innym matematykom i fizykom tego okresu. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Zagadnienie brachistochrony W 1696 roku szwajcarski matematyk Jakob Bernoulli postawił problem: Mamy zadane dwa punkty i interesuje nas, jaką krzywą należy te dwa punkty połączyć, aby koralik rzucony na krzywą i ślizgający się bez tarcia dotarł do punktu położonego niżej w najkrótszym czasie. Sam Bernoulli znał odpowiedź, jednak rzucił wyzwanie innym matematykom i fizykom tego okresu. Zagadnienie zostało rozwiązane równolegle przez Leibniza, Newtona, Johanna Bernoulliego oraz de l’Hospitala. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Brachistochrona Brachistochrona, czyli krzywa najkrótszego spadku jest właśnie odwróconą cykloidą. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Tautochrona Kilka lat przed tym wyzwaniem holenderski matematyk Christiaan Huygens poszukiwał innej krzywej. Poszukiwana linia miała mieć taką własność, że masa punktowa pod wpływem stałej siły ciężkości stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Tautochrona Kilka lat przed tym wyzwaniem holenderski matematyk Christiaan Huygens poszukiwał innej krzywej. Poszukiwana linia miała mieć taką własność, że masa punktowa pod wpływem stałej siły ciężkości stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej. Tą krzywą jest także odwrócona cykloida. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Cykloida wydłużona i skrócona Cylkoida wydłużona (skrócona) jest zakreślana przez punkt materialny leżący na zewnątrz (wewnątrz) toczącego się po prostej bez poślizgu okręgu. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Cykloida wydłużona i skrócona Cylkoida wydłużona (skrócona) jest zakreślana przez punkt materialny leżący na zewnątrz (wewnątrz) toczącego się po prostej bez poślizgu okręgu. Można ją opisać równaniami parametrycznymi: x = r (t − c sin(t)) r c cos(t)) r gdzie c > 0 jest pewnym parametrem, r promieniem toczącego się okręgu. y = r (1 − Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Cykloida wydłużona i skrócona Cylkoida wydłużona (skrócona) jest zakreślana przez punkt materialny leżący na zewnątrz (wewnątrz) toczącego się po prostej bez poślizgu okręgu. Można ją opisać równaniami parametrycznymi: x = r (t − c sin(t)) r c cos(t)) r gdzie c > 0 jest pewnym parametrem, r promieniem toczącego się okręgu. y = r (1 − jeśli c r > 1 to dostajemy cykloidę wydłużoną Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Cykloida wydłużona i skrócona Cylkoida wydłużona (skrócona) jest zakreślana przez punkt materialny leżący na zewnątrz (wewnątrz) toczącego się po prostej bez poślizgu okręgu. Można ją opisać równaniami parametrycznymi: x = r (t − c sin(t)) r c cos(t)) r gdzie c > 0 jest pewnym parametrem, r promieniem toczącego się okręgu. y = r (1 − jeśli jeśli c r c r > 1 to dostajemy cykloidę wydłużoną < 1 to dostajemy cykloidę skróconą. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Cykloida wydłużona i skrócona Linia niebieska przedstawia cykloidę zwykłą, linia czerwona cykloidę wydłużoną (dla cr = 1.5), zaś linia zielona cykloidę skróconą (dla c r = 0.5). Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Epicykloidy Wyobraźmy sobie, że mamy do dyspozycji dwa okręgi: nieruchomy o promieniu R oraz ruchomy o promieniu r . Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Epicykloidy Wyobraźmy sobie, że mamy do dyspozycji dwa okręgi: nieruchomy o promieniu R oraz ruchomy o promieniu r . Stawiamy jeden okrąg na drugi i wprawiamy w ruch bez poślizgu. Jaką krzywą zatacza punkt materialny na okręgu? Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Epicykloidy Takie krzywe nazywamy epicykloidami. Najłatwiej je opisać równaniami parametrycznymi: R +r t x = (R + r ) cos(t) − r cos r R +r t y = (R + r ) sin(t) − r sin r Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Epicykloidy Takie krzywe nazywamy epicykloidami. Najłatwiej je opisać równaniami parametrycznymi: R +r t x = (R + r ) cos(t) − r cos r R +r t y = (R + r ) sin(t) − r sin r Kluczowym jest tutaj stosunek dwóch promieni do siebie: Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu R r . Epicykloidy Takie krzywe nazywamy epicykloidami. Najłatwiej je opisać równaniami parametrycznymi: R +r t x = (R + r ) cos(t) − r cos r R +r t y = (R + r ) sin(t) − r sin r Kluczowym jest tutaj stosunek dwóch promieni do siebie: R r . jeśli Rr jest liczbą całkowitą to jest to krzywa zamknięta, o skończonej liczbie łuków nieprzecinających się. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Epicykloidy Takie krzywe nazywamy epicykloidami. Najłatwiej je opisać równaniami parametrycznymi: R +r t x = (R + r ) cos(t) − r cos r R +r t y = (R + r ) sin(t) − r sin r Kluczowym jest tutaj stosunek dwóch promieni do siebie: R r . jeśli Rr jest liczbą całkowitą to jest to krzywa zamknięta, o skończonej liczbie łuków nieprzecinających się. jeśli Rr jest ułamkiem to jest to krzywa zamknięta, o skończonej liczbie łuków przecinających się. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Epicykloidy Takie krzywe nazywamy epicykloidami. Najłatwiej je opisać równaniami parametrycznymi: R +r t x = (R + r ) cos(t) − r cos r R +r t y = (R + r ) sin(t) − r sin r Kluczowym jest tutaj stosunek dwóch promieni do siebie: R r . jeśli Rr jest liczbą całkowitą to jest to krzywa zamknięta, o skończonej liczbie łuków nieprzecinających się. jeśli Rr jest ułamkiem to jest to krzywa zamknięta, o skończonej liczbie łuków przecinających się. jeśli Rr jest liczbą niewymierną, to łuków jest nieskończenie wiele i jest to krzywa otwarta. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Kardioida W szczególności jeśli lub kardioidą. R r = 1 to taką krzywą nazywamy krzywą sercową Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Nefroida W szczególności jeśli R r = 2 to taką krzywą nazywamy nefroidą. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Hipocykloida Wyobraźmy sobie, że mamy do dyspozycji dwa okręgi: nieruchomy o promieniu R oraz ruchomy o promieniu r . Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Hipocykloida Wyobraźmy sobie, że mamy do dyspozycji dwa okręgi: nieruchomy o promieniu R oraz ruchomy o promieniu r . Stawiamy jeden okrąg w drugi i wprawiamy w ruch bez poślizgu. Jaką krzywą zatacza punkt materialny na okręgu? Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Hipocykloidy Takie krzywe nazywamy hipocykloidami. Najłatwiej je opisać równaniami parametrycznymi: R −r t x = (R − r ) cos(t) + r cos r R −r y = (R − r ) sin(t) − r sin t r Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Hipocykloidy Takie krzywe nazywamy hipocykloidami. Najłatwiej je opisać równaniami parametrycznymi: R −r t x = (R − r ) cos(t) + r cos r R −r y = (R − r ) sin(t) − r sin t r Kluczowym jest tutaj stosunek dwóch promieni do siebie: Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu R r . Deltoida Jeśli R r = 3 to otrzymujemy krzywą zamkniętą nazywaną deltoidą. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Asteroida Jeśli R r = 4 to otrzymujemy krzywą zamkniętą nazywaną asteroidą. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Średnica Jeśli Rr = 2 to krzywa redukuje się do średnicy dużego okręgu. Fakt ten jest wykorzystywany w technice do zamiany ruchu obrotowego na ruch posuwisto-zwrotny. Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu Podziękowania Dziękuję za uwagę Marek Skarupski Krzywe stożkowe Lekcja IV: Krzywe związane z ruchem okręgu
