Kolokwium nr 1 z Matematyki Dyskretnej

Kolokwium nr 1 z Matematyki Dyskretnej
Informatyka, studia dzienne licencjackie
I
1. Wyznaczy¢ funkcj¦ tworz¡c¡ ci¡gu an = n(n + 1)
2. Niech F0 = 0, F1 = 1 i dla n > 2 niech Fn = Fn−1 + Fn−2 . Znajd¹ N W D(F12 , F18 ) i wyznacz takie
caªkowite liczby x, y , »e xF12 + yF18 = N W D(F12 , F18 ).
3. Niech n b¦dzie ustalon¡ liczb¡ naturaln¡. Ile jest wszystkich rozwi¡za« w liczbach caªkowitych równania
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = n je±li xi > 2 dla i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
4. Niech an b¦dzie ci¡giem zadanym wzorem: a0 = −2, a1 = 1 i an = 3an−1 − 2an−2 dla n > 2. Wyznacz
6 pierwszych wyrazów tego ci¡gu. Stosuj¡c technik¦ funkcji tworz¡cych znajd¹ wzór jawny na n-ty wyraz
ci¡gu.
5. Udowodni¢, »e w zbiorze n + 1 liczb caªkowitych istniej¡ dwie, których ró»nica jest podzielna przez n.
Rozwi¡zanie
Istnieje dokªadnie n ró»nych reszt z dzielenia przez n. S¡ to liczby 0, 1, 2, . . . , n − 1. Je»eli zatem dany
jest zbiór n + 1 liczb, to przynajmniej dwie z nich podzielone przez n maj¡ takie same reszty. Niech np.
b¦d¡ to liczby a i b, przy czym mo»emy zaªo»y¢, »e a > b. Mamy wi¦c, a = c · n + r, b = d · n + r dla
odpowiednich liczb caªkowitych c i d oraz r ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Zatem a − b = (c · n + r) − (d · n + r) =
(c − d) · n, tzn. n jest dzielnikiem liczby a − b.
6. Niech X = {1, 2, 3, . . . , n}. Dla dowolnego podzbioru A P
zbioru X przez m(A) oznaczymy ±redni¡ arytmetyczn¡ liczb nale»¡cych do A. Wyprowad¹ wzór na
n = 6.
|A|=3,A⊂X,
m(A). Rozwa» przynajmniej przypadek
Rozwi¡zanie
Rozwa»my na pocz¡tek przypadek n = 4. Mamy wówczas X = {1, 2, 3, 4}. Trzyelementowymi podzbiorami zbioru X s¡ A1 = {1, 2, 3}, A2 = {1, 2, 4}, A3 = {1, 3, 4} i A4 = {2, 3, 4} i dla nich mamy
m(A1 )
m(A2 )
m(A3 )
m(A4 )
i wobec tego
X
=
=
=
=
1
3 (1
1
3 (1
1
3 (1
1
3 (2
+ 2 + 3)
+ 2 + 4)
+ 3 + 4)
+ 3 + 4)
m(A) = m(A1 ) + m(A2 ) + m(A3 ) + m(A4 ) =
|A|=3,A⊂X,
1
1
= [(1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 4) + (1 + 3 + 4) + (2 + 3 + 4)] = · 3 · (1 + 2 + 3 + 4) = 10.
3
3
Rozwa»my jeszcze przypadek n = 5, tzn. przypadek X = {1, 2, 3, 4, 5}. Trzyelementowymi podzbiorami
zbioru X s¡ A1 = {1, 2, 3}, A2 = {1, 2, 4}, A3 = {1, 3, 4}, A4 = {2, 3, 4}, A5 = {1, 2, 5}, A6 = {1, 3, 5},
A7 = {1, 4, 5}, A8 = {2, 3, 5}, A9 = {2, 4, 5}, A10 = {3, 4, 5}. Nietrudno zauwa»y¢, »e ka»dy element
zbioru X wyst¦puje w sze±ciu 3-elementowych podzbiorach zbioru X . Zatem
X
1
m(A) = · 6 · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 30.
3
|A|=3,A⊂X,
Jak wida¢ z powy»szych przykªadów, dla znalezienia rozwi¡zania przypadku ogólnego trzeba wiedzie¢
w ilu podzbiorach 3-elementowych wyst¦puje ka»dy element zbioru X . Ale to jest w miar¦ jasne je±li
x jest ustalonym elementem zbioru X , to dla utworzenia zbioru trzyelementowego zawieraj¡cego x ze
zbioru X − {x} wystarczy wybra¢ podzbiór 2-elementowy i doª¡czy¢ do« x. Zatem liczba 3-elementowych
zbioru X zawieraj¡cych x jest równa liczbie 2-elementowych podzbiorów zbioru X − {x}, tzn.
¡podzbiorów
¢
n−1
2 . Ostatecznie wi¦c,
X
m(A) =
|A|=3,A⊂X,
=
1 ¡n−1¢
1 ¡ ¢ ¡n+1¢
· 2 · (1 + 2 + 3 + · · · + n) = · n−1
· 2 =
2
3
3
¡ ¢
(n + 1) · n · (n − 1) · (n − 2)
(n + 1) · n · (n − 1) · (n − 2)
=2·
= 2 · n+1
4 .
3·4
1·2·3·4
***
J
1. Wyznaczy¢ funkcj¦ tworz¡c¡ ci¡gu an = n2 + 1.
2. Niech F0 = 0, F1 = 1 i dla n > 2 niech Fn = Fn−1 + Fn−2 . Znajd¹ N W D(F14 , F16 ) i wyznacz takie
caªkowite liczby x, y , »e xF14 + yF16 = N W D(F14 , F16 ).
3. Ile liczb naturalnych nie przekraczaj¡cych 10 000 dzieli si¦ przynajmniej przez jedn¡ z liczb 3, 7, 11, 13.
4. Niech an b¦dzie ci¡giem zadanym wzorem: a0 = −1, a1 = −1 i an = −2an−1 − an−2 dla n > 2.
Wyznacz 6 pierwszych wyrazów tego ci¡gu. Stosuj¡c technik¦ funkcji tworz¡cych znajd¹ wzór jawny na
n-ty wyraz ci¡gu.
5. Spo±ród liczb 1, 2, . . . , 2n wybrano n + 1 liczb. Udowodni¢, »e w±ród wybranych liczb istniej¡ dwie,
które s¡ wzgl¦dnie pierwsze.
Rozwi¡zanie. Zbiór {1, 2, . . . , 2n} podzielmy na n dwuelementowych podzbiorów:
{1, 2}, {3, 4}, . . . , {2n − 1, 2n}.
Je»eli zatem wybierzemy n + 1 liczb, to wszystkie wybrane liczby nie mog¡ nale»e¢ do ró»nych dwuelementowych podzbiorów, bo jest ich za maªo. Wobec tego pewne dwie z wybranych liczb nale»¡ do tego
samego podzbioru postaci {2k − 1, 2k}. Nietrudno zauwa»y¢, »e liczby te s¡ wzgl¦dnie pierwsze.
6. Niech X = {1, 2, 3, . . . , n}. Dla dowolnego podzbioru A P
zbioru X przez m(A) oznaczymy ±redni¡ arytmetyczn¡ liczb nale»¡cych do A. Wyprowad¹ wzór na
n = 6.
|A|=3,A⊂X,
m(A). Rozwa» przynajmniej przypadek
***
K
1. Wyznaczy¢ funkcj¦ tworz¡c¡ ci¡gu an = n(n + 1).
2. Niech F0 = 0, F1 = 1 i dla n > 2 niech Fn = Fn−1 + Fn−2 . Znajd¹ N W D(F15 , F18 ) i wyznacz takie
caªkowite liczby x, y , »e xF15 + yF18 = N W D(F15 , F18 ).
3. Danych jest 7 ponumerowanych przedmiotów. Ile jest ró»nych rozmieszcze« tych przedmiotów do
trzech rozró»nialnych szuad, tak aby »adna szuada nie byªa pusta.
4. Niech an b¦dzie ci¡giem zadanym wzorem: a0 = 1, a1 = 1 i an = 2an−1 − an−2 + 1 dla n > 2. Wyznacz
6 pierwszych wyrazów tego ci¡gu. Stosuj¡c technik¦ funkcji tworz¡cych znajd¹ wzór jawny na n-ty wyraz
ci¡gu.
5. Niech P1 , P2 , . . . , P9 b¦d¡ punktami o wspóªrz¦dnych caªkowitych przestrzeni 3 wymiarowej, przy czym
»adne trzy nie s¡ wspóªliniowe. Udowodni¢, »e istnieje punkt o wspóªrz¦dnych caªkowitych, który nale»y
do wn¦trza pewnego odcinka Pi Pj .
6. Niech P (n, k) oznacza liczb¦ przedstawie« liczby n w postaci n = b1 + b2 + · · · + bk , gdzie bi (i =
1, 2, . . . , k ) s¡ caªkowite i b1 > b2 > . . . > bk > 1. Wyprowad¹ wzór na P (n, n − 4). Rozwa» przynajmniej
przypadek n = 10.
***
L
1. Wyznaczy¢ funkcj¦ tworz¡c¡ ci¡gu an = n2 + 1
2. Niech F0 = 0, F1 = 1 i dla n > 2 niech Fn = Fn−1 + Fn−2 . Znajd¹ N W D(F13 , F16 ) i wyznacz takie
caªkowite liczby x, y , »e xF13 + yF16 = N W D(F13 , F16 ).
3. Ile jest wszystkich permutacji zbioru X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} nie maj¡cych punktów staªych
4. Niech an b¦dzie ci¡giem zadanym wzorem: a0 = 1, a1 = 2 i an = an−1 − an−2 + 1 dla n > 2. Wyznacz
6 pierwszych wyrazów tego ci¡gu. Stosuj¡c technik¦ funkcji tworz¡cych znajd¹ wzór jawny na n-ty wyraz
ci¡gu.
5. Niech a, b, c, d b¦d¡ liczbami caªkowitymi. Udowodni¢, »e iloczyn ró»nic (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b −
d)(c − d) dzieli sie przez 12.
6. Niech P (n, k) oznacza liczb¦ przedstawie« liczby n w postaci n = b1 + b2 + · · · + bk , gdzie bi (i =
1, 2, . . . , k ) s¡ caªkowite i b1 > b2 > . . . > bk > 1. Wyprowad¹ wzór na P (n, n − 4). Rozwa» przynajmniej
przypadek n = 10.