51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania

Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 51
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń
do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
I.
Przypomnij sobie:
1. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy
prawdopodobieństwo zdarzenia?
Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego
zdarzenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są
wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom - prawdopodobieństwa
uzyskania tych wyników. Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych
krawędziom wychodzącym z tego samego wierzchołka jest równa 1.
Najprostszy przykład grafu dwuetapowego doświadczenia:
B, B'- dwa możliwe wyniki w pierwszym etapie
mam doświadczenia,
A, A'- dwa możliwe wyniki w drugim etapie
mam doświadczenia,
p1 – prawdopodobieństwo otrzymania wyniku B
mam w pierwszym etapie,
p2 – prawdopodobieństwo otrzymania wyniku B’
mam w pierwszym etapie,
q1, q3 - prawdopodobieństwo warunkowe
mam otrzymania wyniku A w drugim etapie,
q2, q4 - prawdopodobieństwo warunkowe mam
mam otrzymania wyniku A’ w drugim etapie,
p1  p2  1
q1  q3  1
q2  q4  1
Gałąź drzewa stochastycznego - ciąg krawędzi prowadzących od początku drzewa do
jednego z ostatnich jego wierzchołków.
Reguła iloczynów — Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez jedną
gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych
krawędziom, z których składa się rozważana gałąź. Reguła wynika ze wzoru na
prawdopodobieństwo iloczynu.
Reguła sum — Prawdopodobieństwo danego zdarzenia opisanego przez kilka gałęzi
jest równe sumie prawdopodobieństw otrzymanych regułą iloczynów dla tych gałęzi.
Reguła wynika z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
II.
Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z
uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i
otwartych).
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 51
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
Przykład
Na rysunku przedstawiono plan sieci dróg. Rowerzysta z miejsca A do
miejsca B dojedzie, gdy na każdym rozwidleniu dróg wybierze jedną z nich z
tym samym prawdopodobieństwem. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia,
że do miejsca B dojedzie nie błądząc, jest równe:
A.
1
,
2
B.
1
,
4
1
C. ,
5
D.
1
.
6
Rozwiązanie:
Narysowany plan dróg łatwo przekształcić na drzewo
stochastyczne z wierzchołkiem A, gdzie nieoznaczone
dotychczas punkty oznaczymy przez X lub Y. Na pierwszym
rozwidleniu są dwie drogi, więc prawdopodobieństwa ich
1
wyboru wynoszą po . Na drugim rozwidleniu są trzy drogi,
2
1
więc prawdopodobieństwa ich wyboru wynoszą po .
3
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że rowerzysta do miejsca B
1 1 1
dojedzie nie błądząc wynosi PB     .
2 3 6
Czyli prawidłowa odpowiedź to D.
Przykład
Rozwiązanie:
Przy dwukrotnym rzucie czterościenną kostką do gry można otrzymać 4  4  16 różnych
wyników (par cyfr , w których pierwsza cyfra jest liczbą wyrzuconych oczek na pierwszej
kostce, a druga – na drugiej). Jest tylko jedna para liczb: 4,4 , która spełnia warunek „liczba
8 jest sumą oczek na obu kostkach”. Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia A wynosi
1
(zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa) P A  . Natomiast prawdopodo16
bieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia, że liczba 8 jest sumą oczek na obu kostkach to
1 15
P A'  1  P A  1  
16 16
Czyli prawidłowa odpowiedź to D.
 
Kurs e-learningowy
Matematyka – lekcja 51
Opracowanie:
Piotr Kaźmierczyk
ZADANIA DO ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. (1 pkt)
Prawdopodobieństwo, że w trzykrotnym rzucie symetryczną monetą otrzymamy dwie reszki
i jednego orła, jest równe:
A.1,
B. 0,75,
C. 0,375,
D.
2
.
3
Zadanie 2. (1 pkt)
Rzucamy dwa razy czterościenną kostką do gry, która ma na każdej ściance cyfrę
odpowiednio 1, 2, 3, 4. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia, że liczba 8
jest sumą oczek na obu kostkach, jest równe:
A.
1
,
16
1
B. ,
8
C.
1
,
2
D.
15
.
16
Zadanie 3. (3 pkt)
Spośród jedenastu kobiet i dziewięciu mężczyzn losowo wybrano trzyosobową delegację.
Sporządź drzewo tego doświadczenia losowego i oblicz prawdopodobieństwo:
a. zdarzenia A, że w skład delegacji wejdzie co najmniej jeden mężczyzna,
b. zdarzenia B, że w skład delegacji wejdzie co najmniej dwóch mężczyzn.