Zadanie 1 Dla jakich liczb całkowitych x i y spełnione jest równanie

Zadanie 1
Dla jakich liczb całkowitych x i y spełnione jest równanie x 3 − ( y + 4 )x + 2 y + 6 = 0 ?
Zadanie 2
Liczby a , b i c są długościami boków trójkąta. Udowodnij, że
abc ≥ (a + b − c )(b + c − a )(a + c − b ) .
Zadanie 3
Rozwiąż równanie x 4 − 10 x 3 + 26 x 2 − 10 x + 1 = 0 .
Zadanie 4
Ciąg {a n } nazywamy ciągiem harmonicznym, jeśli każdy wyraz tego ciągu jest różny od zera
1
i ciąg   jest ciągiem arytmetycznym. Wykaż, że dla każdego n ≥ 3 istnieje n -wyrazowy
 an 
ciąg harmoniczny składający się z różnych liczb naturalnych. Czy istnieje nieskończony ciąg
o tej własności?
Zadanie 5
Ciąg {a n } dany jest rekurencyjnie: a1 = 1 , a 2 = 1 i a n + 2 = a n + a n +1 dla każdego n
naturalnego dodatniego. Wykaż, że dla każdego n naturalnego dodatniego zachodzi równość:
2
2
a 2 n + 2 = (a n + 2 ) − (a n ) .
Zadanie 6
Rozwiąż układ równań:
log x 10 + log y 10 = 5

5

 log10 x + log10 y = 4
Zadanie 7
Wykaż, że dla każdej dodatniej naturalnej liczby n zachodzi równość:
π
1
cos n +1 =
.
2 2 + 2 + ...+ 2
2
n - pierwiastków
Zadanie 8
Narysuj wykres funkcji y =
x 2 − 6x + 8 .
Zadanie 9
Znajdź zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których stosunek odległości od punktu
1
P = (3 , 3) i od prostej x + y = 0 jest wielkością stałą, równą .
2