ZADANIE 1. Do gry potrzebna jest tasma podzielona na 2n

Gry
ZADANIE 1. Do gry potrzebna jest tasma podzielona na 2n jednakowych kwadratow, n ≥ 2, oraz kostki domina, z ktorych kazda przykrywa dokladnie dwa pola tasmy.
1
2
...
n
n+1
...
2n
Gracze klada kostki domina naprzemiennie na tasmie. Przegrywa ten, ktory nie moze juz dolozyc nastepnej kostki. Czy ktorys z graczy (rozpoczynajacy, konczacy) ma strategie wygrywajaca? Rozwazmy przypadek, kiedy zaczynajacy zawodnik nie wybierze pierwszego pola strategii wygrywajacej – czy drugi zawodnik jest w stanie tak poprowadzic rozgrywke, aby wygrac?
ZADANIE 2. Adam i Bolek graja w gre, polegajaca na tym, ze najpierw Adam kladzie na prostokatnym stole monete, pozniej drugi kladzie na prostokatnym stole monete, pozniej znowu pierwszy itd. Monety nie moga wystawac poza krawedz stolu i zadna nie moze lezec na drugiej. Przegrywa ten, ktory nie moze juz umiescic kolejnej monety na stole. Ktory z chlopcow wygra? Jaka jest strategia wygrywajaca?
ZADANIE 3. Bolek i Lolek graja w gre, w ktorej nalezy do danej liczby naturalnej dodawac inna. Poczatkowa liczba jest rowna 2. Dodawac mozna liczbe naturalna dodatnia, nie przekraczajaca liczby uzyskanej w poprzednim kroku. Rozpoczal Bolek i otrzymal liczbe x1. Nastepnie Lolek dodal liczbe nie przekraczajaca x1 do liczby x1 i otrzymal x2. Chlopcy beda kontynuowac zabawe na przemian tak dlugo, az jeden z nich (wygrywajacy) otrzyma wynik 1987. Ktory z chlopcow wygra?
ZADANIE 4. Kamil i Michal graja w gre, do ktorej potrzebna jest tabliczka czekolady z zaznaczonymi kostkami. Czekolade mozna lamac na kawalki, ale tylko wzdluz podzialu na kostki. Najpierw Kamil rozlamal tabliczke na dwa kawalki, pozniej Michal rozlamal jeden z dwoch powstalych kawalkow itd. Wygrywa ten, ktory pierwszy odlamie od kawalka czekolady pojedyncza kostke. Kto wygra, jesli czekolada skladala sie z osmiu rzedow i 15 kostek w kazdym?
ZADANIE 5. Michal i Magda na przemian wykreslaja po jednej liczbie z ciagu 1, 2, 3, ..., 27 tak dlugo, az pozostana tylko dwie liczby. Jesli ich suma dzieli sie przez 5, to wygrywa Michal, jesli nie dzieli sie przez 5, to wygrywa Magda. Ktore z dzieci wygra jesli Michal rozpoczal zabawe?
ZADANIE 6. Helenka i Wojtek wymyslili gre, do ktorej potrzebny jest papierek z wypisanymi wszystkimi liczbami calkowitymi od 0 do 1024. Helenka wykresla 512 wybranych liczb, nastepnie Wojtek wykresla 256 wybranych liczb, nastepnie znowu Helenka wykresla 128 liczb, itd. W dziesiatym kroku Wojtek wykresla jedna liczbe i pozostaja dwie liczby niewykreslone. Teraz Wojtek wyplaca Helence tyle zlotowek, ile wynosi roznica tych dwoch liczb. Jakie powinny byc strategie Helenki i Wojtka w tej grze? Ile Wojtek wyplaci Helence jesli oboje wybiora najlepsze strategie?
ZADANIE 7. Dwaj chlopcy, Konrad i Daniel, bawia sie kolejka elektryczna. Maja oni n budynkow stacyjnych i nieograniczona liczbe odcinkow toru. Buduja na przemian polaczenie bezposrednie miedzy dwiema dowolnie wybranymi stacjami. Wygrywa ten, ktory pierwszy uzyska mozliwosc wyslania kolejki elektrycznej z dowolnej stacji do dowolnej innej – byc moze okrezna droga przez inne stacje. Gre rozpoczal Konrad. Kto wygra, jesli a) n = 4, 5, 6, 7, 8; b) n jest dowolna liczba naturalna?
ZADANIE 8. Na szczyt gory prowadzi 1001 stopni. Na kazdym z pieciuset najnizszych stopni lezy kamien. Zadaniem Syzyfa jest polozenie kamienia na najwyzszym stopniu, a moze on jedynie przenosci dowolnie wybrany kamien na pierwszy wolny stopien powyzej stopnia, na ktorym ten kamien lezal. Zadaniem Hadesa jest przeszkodzenie Syzyfowi w wykonaniu zadania. Za kazdym razem, gdy Syzyf wniesie jeden kamien wyzej, Hades zrzuca jeden z kamieni o stopien nizej, o ile ten stopien jest wolny . Czy Syzyf osiagnie cel?
ZADANIE 9. Plan miasta jest nieskonczona kartka papieru: kreski oznaczaja ulice, kratki oznaczaja budynki. Wzdluz glownej ulicy na co setnym skrzyzowaniu stoi policjant, a gdzies w miescie po ulicach wedruje grozny bandyta. Policjanci powinni najpierw zobaczyc bandyte (zlapia go pozniej). W jaki sposob powinni postepowac by osiagnac swoj cel?
ZADANIE 10. Gra polega na wpisywaniu wspolczynnikow do schematu wielomianu:
x10 + x9 + x8 + ... + x + 1.
Rozpoczela Zosia, wpisuja do jednego kwadracika pewna liczbe rzeczywista, pozniej Adam wpisal do innego kwadracika liczbe rzeczywista, i tak dalej na przemian, az wszystkie kwadraciki zostaly wypelnione. Jesli otrzymany wielomian nie ma pierwiastkowo rzeczywistych, to wygrywa Zosia, w przeciwnym wypadku Adam. Kto wygral jesli oboje wybrali najlepsze strategie? Jaka bylaby odpowiedz gdyby gre rozpoczal Adam?
ZADANIE 11. Gra w zgadywanie ma bardzo proste zasady: jeden z zawodnikow wybiera sobie liczbe x  {1, 2, ..., n}. Drugi gracz stara sie znalezc x przy uzyciu jak najmniejszej liczby pytan postaci „czy x < a?” Aby jednak odrobine urozmaicic rozgrywke, jego przeciwnik moze co najwyzej raz sklamac. Jaka strategie powinien przyjac odgadujacy zawodnik, aby zadac jak najmniejsza liczbe pytan?