Rozdział 10 Całka Darboux 10.1 Dolna i górna suma Darboux

Rozdział 10
Całka Darboux
10.1
Dolna i górna suma Darboux
Definicja podziału. Niech a, b ∈ R, a < b.
Każdy skończony ciąg P postaci
(10.1)
P = (x0 , ..., xn ),
gdzie
n ∈ N,
a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
nazywamy podziałem przedziału [a, b]. Wyrazy xi , i = 0, ..., n, podziału P nazywamy
punktami podziału P.
Dla podziału P postaci (10.1) określamy ciąg ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, ..., n. Liczbę
δ(P) = max{∆xi : i = 1, ..., n}
nazywamy średnicą podziału P.
Definicja dolnej i górnej sumy Darboux. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Niech P będzie podziałem przedziału [a, b] postaci
(10.1). Połóżmy
mi = inf f ([xi−1 , xi ]),
Liczby
n
X
L(P, f ) =
mi ∆xi
Mi = sup f ([xi−1 , xi ]),
oraz
i = 1, ..., n.
n
X
U (P, f ) =
i=1
Mi ∆xi
i=1
nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b]
wyznaczoną przez podział P.
Uwaga 10.1.1. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale
[a, b]. Niech m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b]). Wówczas m, M ∈ R oraz dla każdego
podziału P przedziału [a, b] postaci (10.1) mamy
m 6 mi = inf f ([xi−1 , xi ]) 6 sup f ([xi−1 , xi ]) = Mi 6 M,
Zatem L(P, f ) oraz U (P, f ) są liczbami rzeczywistymi oraz
m(b − a) 6 L(P, f ) 6 U (P, f ) 6 M (b − a).
229
i = 1, ..., n
230
ROZDZIAŁ 10. CAŁKA DARBOUX
Uwaga 10.1.2. Z definicji dolnej i górnej sumy Darboux dostajemy, że jeśli f, g są funkcjami ograniczonymi w przedziale [a, b] takimi, że f (x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b], to dla każdego
podziału P przedziału [a, b] mamy
L(P, f ) 6 L(P, g)
oraz
U (P, f ) 6 U (P, g).
Własność 10.1.3. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale
[a, b]. Wówczas dla każdego podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] mamy
L(P, f ) = inf X,
(10.2)
gdzie X = {
n
P
U (P, f ) = sup X,
f (ti )(xi − xi−1 ) : ti ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n}.
i=1
Dowód. Z definicji dolnej sumy Darboux mamy, że L(P, f ) jest ograniczeniem dolnym
ε
zbioru X. Weźmy dowolne ε > 0 i niech η = b−a
. Z definicji kresu dolnego mamy, że dla
każdego i ∈ {1, ..., n} istnieje ti ∈ [xi−1 , xi ], że f (ti ) < inf f ([xi−1 , xi ]) + η. Oznaczając
c=
n
P
f (ti )(xi − xi−1 ), mamy, że c ∈ X. Ponieważ η
i=1
n
P
(xi − xi−1 ) = η(b − a) = ε, więc
i=1
n
X
c<
(inf f ([xi−1 , xi ]) + η)(xi − xi−1 ) = L(P, f ) + η
i=1
n
X
(xi − xi−1 ) = L(P, f ) + ε.
i=1
Reasumując L(P, f ) = inf X. To daje pierwszą część (10.2). Drugą część (10.2) pokazujemy analogicznie jak pierwszą.
Definicja zagęszczenia podziału. Niech P, P∗ będą podziałami przedziału [a, b]. Mówimy, że podział P∗ jest zagęszczeniem podziału P, gdy każdy punkt podziału P jest
punktem podziału P∗ .
Jeśli podział P∗ jest zagęszczeniem podziałów P1 , ..., Pj przedziału [a, b], to mówimy,
że P∗ jest wspólnym zagęszczeniem podziałów P1 , ..., Pj .
Uwaga 10.1.4. Jeśli P1 , ..., Pj są podziałami przedziału [a, b], to istnieje podział P∗ który
jest wspólnym zagęszczeniem podziałów P1 , ..., Pj . (1 ).
Indukcyjnie, łatwo dowodzimy
Lemat 10.1.5. Jeśli podział P∗ jest zagęszczeniem podziału P przedziału [a, b] oraz
P∗ 6= P, to istnieje skończony ciąg podziałów Pk , k = 0, ..., m, przedziału [a, b], że
(a) P0 = P, Pm = P∗ ,
(b) podział Pk+1 jest zagęszczeniem podziału Pk dla k = 0, ..., m − 1,
(c) podział Pk+1 ma tylko jeden punkt podziału więcej od podziału Pk dla k = 0, ...,
m − 1.
1
Istotnie, indukcyjnie łatwo pokazujemy, że każdy skończony podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest
zbiorem wartości pewnego ciągu rosnącego. Zatem każdy skończony podzbiór X = {x0 , ..., xn } ⊂ [a, b]
taki, że x0 = a, xn = b wyznacza podział przedziału [a, b], którego zbiorem punktów podziału jest zbiór
X. Suma wszystkie punktów podziałów P1 , ..., Pj jest zbiorem skończonym, więc jest to zbiór wartości
pewnego podziału P∗ .
10.1. DOLNA I GÓRNA SUMA DARBOUX
231
Dowód. Dla podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b], oznaczamy P = n + 1.
Zastosujemy indukcję względem m = P∗ − P . Dla m = 1, wystarczy położyć P0 = P
oraz P1 = P∗ .
Załóżmy, że teza zachodzi dla m ∈ N. Niech P∗ będzie zagęszczeniem podziału
P = (a0 , ..., aj ) takim, że P∗ − P = m + 1. Wówczas biorąc dowolny punkt x podziału
P∗ , który nie jest punktem podziału P, istnieje i ∈ {0, ..., j − 1}, że ai < x < ai+1 . Zatem
P0 = (a0 , ..., ai , x, ai+1 , ..., aj ) jest podziałem przedziału [a, b] takim, że P∗ − P0 = m.
Z założenia indukcyjnego, istnieje więc ciąg podziałów P0 , ..., Pm , że P0 = P0 , Pn = P∗
oraz Pk+1 = Pk +1 dla k = 0, ..., m−1. W konsekwencji ciąg P, P0 , ..., Pm jest szukanym
ciągiem podziałów spełniającym (a), (b), (c).
Indukcja kończy dowód.
Własność 10.1.6. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale
[a, b] oraz niech m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b]). Jeśli P, P∗ są podziałami przedziału
[a, b], przy czym P∗ jest zagęszczeniem podziału P, to
(10.3)
m(b − a) 6 L(P, f ) 6 L(P∗ , f ) 6 U (P∗ , f ) 6 U (P, f ) 6 M (b − a).
W szczególności dla dowolnych podziałów P1 , P2 przedziału [a, b] mamy
L(P1 , f ) 6 U (P2 , f ).
Dowód. W myśl uwagi 10.1.1, wystarczy pokazać, że
(10.4)
L(P, f ) 6 L(P∗ , f )
oraz
U (P∗ , f ) 6 U (P, f ).
Jeśli P = P∗ , to (10.4) jest oczywiste. Załóżmy, że P 6= P∗ . Niech, wobec lematu 10.1.5,
P0 , ..., Pj , j ∈ N, będzie ciągiem podziałów przedziału [a, b] spełniającym warunki (a),
(b), (c) w lemacie 10.1.5. Wobec warunku (a), wystarczy pokazać, że
(10.5)
L(Pk , f ) 6 L(Pk+1 , f ) oraz U (Pk+1 , f ) 6 U (Pk , f ) dla k = 0, ..., j − 1.
Weźmy dowolne k ∈ {0, ..., j − 1} i niech Pk+1 = (x0 , ..., xn ). Oznaczmy
mi = inf f ([xi−1 , xi ]),
Mi = sup f ([xi−1 , xi ]),
i = 1, ..., n.
Z warunku (c), istnieje i0 ∈ {1, ..., n − 1}, że Pk = (x0 , ..., xi0 −1 , xi0 +1 , ..., xn ). Oznaczając
m̃i0 +1 = inf f ([xi0 −1 , xi0 +1 ]),
M̃i0 +1 = sup f ([xi0 −1 , xi0 +1 ]),
mamy m̃i0 +1 6 mi0 , m̃i0 +1 6 mi0 +1 oraz M̃i0 +1 > Mi0 , M̃i0 +1 > Mi0 +1 , więc
(10.6)
m̃i0 +1 (xi0 +1 − xi0 −1 ) 6 mi0 (xi0 − xi0 −1 ) + mi0 +1 (xi0 +1 − xi0 )
oraz
(10.7)
M̃i0 +1 (xi0 +1 − xi0 −1 ) > Mi0 (xi0 − xi0 −1 ) + Mi0 +1 (xi0 +1 − xi0 )
Z (10.6) i (10.7), redukując odpowiednie wyrazy w sumach Darboux funkcji f wyznaczonych przez przedziały Pk i Pk+1 , dostajemy
L(Pk , f ) − L(Pk+1 , f ) = m̃i0 +1 (xi0 +1 − xi0 −1 ) − mi0 (xi0 − xi0 −1 ) − mi0 +1 (xi0 +1 − xi0 ) 6 0,
U (Pk , f ) − U (Pk+1 , f ) = M̃i0 +1 (xi0 +1 − xi0 −1 ) − Mi0 (xi0 − xi0 −1 ) − Mi0 +1 (xi0 +1 − xi0 ) > 0.
To daje (10.5). Biorąc wspólne zagęszczenie P∗ podziałów P1 , P2 , z (10.5) dostajemy
L(P1 , f ) 6 U (P2 , f ). To kończy dowód.
232
10.2
ROZDZIAŁ 10. CAŁKA DARBOUX
Dolna i górna całka Darboux
Definicja dolnej i górnej całki Darboux. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Oznaczmy przez U (f ) zbiór wszystkich górnych sum
Darboux U (P, f ) oraz przez L(f ) zbiór wszystkich dolnych sum Darboux L(P, f ), gdzie
P przebiega wszystkie podziały przedziału [a, b].
Liczbę sup L(f ) nazywamy dolną całką Darboux funkcji f w przedziale [a, b].
Liczbę inf U (f ) nazywamy górną całką Darboux funkcji f w przedziale [a, b].
Dolną i górną całkę Darboux funkcji f w przedziale [a, b] oznaczamy odpowiednio
Z
b
f (x)dx,
a
—
Z
b
f (x)dx
Z
lub
a
b
f dx,
a
—
Z
b
f dx.
a
Własność 10.2.1. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale
[a, b]. Wówczas istnieją dolna i górna całka Darboux funkcji f w przedziale [a, b]. Jeśli
ponadto m, M ∈ R są takie, że m 6 f (x) 6 M dla x ∈ [a, b], to
Z
m(b − a) 6
(10.8)
b
Z
f (x)dx 6
a
b
a
—
f (x)dx 6 M (b − a).
Dowód. Wobec własności 10.1.6 mamy, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]
mamy m(b − a) 6 L(P, f ) 6 U (P, f ) 6 M (b − a). Stąd wynika, że m(b − a) i M (b − a)
są odpowiednio ograniczeniami dolnymi i górnymi zbioru L(f ) wszystkich dolnych sum
Darboux oraz zbioru U (f ) wszystkich górnych sum Darboux funkcji f w przedziale [a, b].
Ponieważ L(f ) i U (f ) są niepuste, więc ich kresy dolny i górny są liczbami rzeczywistymi.
To daje pierwszą część tezy. Ponadto mamy
(10.9)
Rb
m(b − a) 6 sup L(f ) = ab f (x)dx,
—
R
a
f (x)dx = inf U (f ) 6 M (b − a).
Udowodnimy, że
(10.10)
Rb
a
—
Rb
f (x)dx 6
a
f (x)dx.
Istotnie, z własności 10.1.6 dla dowolnych podziałów P1 , P podziału [a, b] mamy
L(P1 , f ) 6 U (P, f ).
Zatem U (P, f ) jest ograniczeniem górnym zbioru L(f ), więc sup L(f ) 6 U (P, f ). Z dowolności podziału P przedziału [a, b] mamy, że sup L(f ) jest ograniczeniem dolnym zbioru
U (f ), więc sup L(f ) 6 inf U (f ). To daje (10.10). Z (10.10) i (10.9) dostajemy (10.8), co
kończy dowód.
10.2. DOLNA I GÓRNA CAŁKA DARBOUX
233
Uwaga 10.2.2. Wprost z definicji oraz własności 10.2.1 dostajemy, że dla każdej funkcji
stałej w przedziale [a, b], dolna i górna całka Darboux w tym przedziale są równe. Ponadto,
jeśli c ∈ R oraz f (x) = c dla x ∈ [a, b], to c 6 f (x) 6 c dla x ∈ [a, b], więc z (10.8)
dostajemy
Rb
Rb
a f (x)dx = a f (x)dx = c(b − a).
—
Uwaga 10.2.3. Istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, których dolna i
górna całka Darboux są różne. Istotnie, rozważmy funkcję Dirichleta f : R → R określoną
wzorami f (x) = 0 dla x ∈ Q oraz f (x) = 1 dla x ∈ R \ Q. Jest to funkcja ograniczona,
jednak dla dowolnego przedziału [a, b] i jego podziału P mamy L(P, f ) = 0 oraz U (P, f ) =
b − a. Zatem
Rb
Rb
a f (x)dx = 0 < (b − a) = a f (x)dx.
—
Podamy warunki równoważne na to aby dana liczba była dolną (odpowiednio górną)
całką Darboux funkcji na przedziale domkniętym. Zacznijmy od dwóch lematów.
Lemat 10.2.4. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale
[a, b] oraz niech M > 0 będzie liczbą taką, że |f (x)| < M dla x ∈ [a, b]. Jeśli P∗ jest
zagęszczeniem podziału P przedziału [a, b] takim, że P∗ ma o k punktów podziału więcej
od P, to
(10.11)
L(P, f ) > L(P∗ , f ) − 3kM δ(P)
oraz
U (P, f ) 6 U (P∗ , f ) + 3kM δ(P).
Dowód. Jeśli k = 0, to teza jest oczywista. Rozważmy przypadek k = 1. Niech
P∗ = (x0 , ..., xn ). Z założenia, że k = 1 wynika, że istnieje i0 ∈ {1, ..., n − 1} takie, że
P = (x0 , ..., xi0 −1 , xi0 +1 , ..., xn ). Wówczas, z wyboru liczby M , mamy
L(P∗ , f ) − L(P, f ) = (xi0 − xi0 −1 ) inf f ([xi0 −1 , xi0 ] + (xi0 +1 − xi0 ) inf f ([xi0 , xi0 +1 ]
−(xi0 +1 − xi0 −1 ) inf f ([xi0 −1 , xi0 +1 ] 6 3M δ(P).
To daje pierwszą część (10.11) dla k = 1. Drugą cząść dowodzimy analogicznie. Stosując
teraz lemat 10.1.5, łatwo indukcyjnie dostajemy tezę.
Lemat 10.2.5. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale
[a, b]. Wówczas
(a) Dla każdego ε > 0 istnieje K > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]
zachodzi
(10.12)
−ε − Kδ(P)+
Z
b
a
—
b
Z
f (x)dx 6 L(P, f ) 6
f (x)dx.
a
—
(b) Dla każdego ε > 0 istnieje K > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b]
zachodzi
(10.13)
Z
b
a
f (x)dx 6 U (P, f ) 6 ε + Kδ(P)+
Z
b
a
f (x)dx.
234
ROZDZIAŁ 10. CAŁKA DARBOUX
Dowód. Udowodnimy (a). Niech B = ab f (x)dx. Nierówność L(P, f ) 6 B wynika z
—
definicji dolnej całki Darboux funkcji f w przedziale [a, b]. Pokażemy pierwszą nierówność
w (10.12). Ponieważ f jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], więc istnieje M > 0, że
R
|f (x)| < M
(10.14)
dla każdego x ∈ [a, b].
Weźmy dowolne ε > 0. Z (a) i określenia dolnej całki Darboux wynika, że istnieje podział
P1 = (x0 , ..., xk ) przedziału [a, b] taki, że
B − ε < L(P1 , f ).
(10.15)
Weźmy dowolny podział P przedziału [a, b]. Niech P∗ będzie wspólnym zagęszczeniem
podziałów P i P1 , którego zbiorem punktów podziału jest suma zbiorów punktów podziału
P i P1 . Wtedy z (10.15) i własności 10.1.6 i mamy
B − ε < L(P∗ , f ).
(10.16)
Ponieważ podział P∗ ma co najwyżej k punktów podziału więcej od podziału P, więc z
(10.14) i lematu 10.2.4 dostajemy
L(P, f ) > L(P∗ , f ) − 3kM δ(P).
(10.17)
Biorąc K = 3kM , z (10.16) i (10.17) wynika pierwszą nierówność w (10.12). To daje (a).
Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a).
Twierdzenie 10.2.6. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]R oraz niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:
b
(a)
a f (x)dx = A.
—
lim δ(Pn ) = 0,
(b) Dla każdego ciągu (Pn )∞
n=1 podziałów przedziału [a, b] takiego, że n→∞
zachodzi lim L(Pn , f ) = A.
n→∞
(c) Istnieje ciąg (Pn )∞
lim δ(Pn ) = 0 oraz
n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że n→∞
lim L(Pn , f ) = A.
n→∞
Dowód. Udowodnimy implikację (a)⇒(b). Weźmy dowolny ciąg (Pn )∞
n=1 podziałów
przedziału [a, b] taki, że n→∞
lim δ(Pn ) = 0. Weźmy dowolne ε > 0. Z (a) i z lematu 10.2.5(a)
wynika, że istnieje stała K ∈ R, że
A−
(10.18)
ε
− Kδ(Pn ) 6 L(Pn , f ) 6 A
2
dla n ∈ N.
Ponieważ lim δ(Pn ) = 0, więc istnieje N ∈ N, że dla n > N mamy Kδ(Pn ) < 2ε . Stąd i
n→∞
z (10.18) wynika, że
A − ε < L(Pn , f ) 6 A
dla n > N.
To, wobec dowolności ε > 0 daje, że n→∞
lim L(Pn , f ) = A, czyli mamy (b).
Implikacja (b)⇒(c) wynika z faktu, że istnieją ciągi podziałów (Pn )∞
n=1 przedziału
[a, b] takie, że lim δ(Pn ) = 0.
n→∞
10.2. DOLNA I GÓRNA CAŁKA DARBOUX
235
Udowodnimy implikację (c)⇒(a). Niech (Pn )∞
przedziału
n=1 będzie ciągiem podziałów
Rb
[a, b] takim, że n→∞
lim δ(Pn ) = 0 oraz n→∞
lim L(Pn , f ) = A. Niech B = a f (x)dx. Weźmy
—
dowolne ε > 0. Z lematu 10.2.5(a) wynika, że istnieje stała K ∈ R, że
B−
(10.19)
ε
− Kδ(Pn ) 6 L(Pn , f ) 6 B
2
dla n ∈ N.
Ponieważ n→∞
lim δ(Pn ) = 0, więc istnieje N ∈ N, że dla n > N mamy Kδ(Pn ) < 2ε . Stąd i z
(10.19) wynika, że B − ε < L(Pn , f ) 6 B
dla n > N. Przechodząc teraz do granicy
przy n → ∞ dostajemy B − ε 6 A 6 B. To, wobec dowolności ε > 0 daje, że B = A,
czyli mamy (a).
Analogicznie jak twierdzenie 10.2.6 dowodzimy
Twierdzenie 10.2.7. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] oraz niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:
b
(a)
a f (x)dx = A.
(b) Dla każdego ciągu (Pn )∞
lim δ(Pn ) = 0,
n=1 podziałów przedziału [a, b] takiego, że n→∞
zachodzi lim U (Pn , f ) = A.
n→∞
(c) Istnieje ciąg (Pn )∞
lim δ(Pn ) = 0 oraz
n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że n→∞
lim U (Pn , f ) = A.
R
n→∞
Z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 wynika
Twierdzenie 10.2.8. Niech f , g będą ograniczonymi funkcjami rzeczywistymi określonymi na przedziale [a, b] oraz c ∈ R, c 6= 0. Wówczas
(a) Jeśli f (x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b], to
(b)
(c)
(d)
Rb
a
—
Rb
a
—
Rb
a
—
f dx+
Rb
Rb
f dx 6 ab gdx oraz
—
—
gdx 6 ab (f + g)dx 6
—
—
Rb
R
a
cf dx = c
cf dx = c
Rb
a
—
Rb
a
R
Rb
a
a
f dx
oraz
Rb
f dx
oraz
Rb
a
a
Rb
(f + g)dx 6
cf dx = c
Rb
cf dx = c
Rb
a
a
—
a
f dx+
Rb
a
f dx 6
Rb
gdx.
a
a
f dx,
gdy c > 0
f dx,
gdy c < 0.
gdx.
Dowód. Część (a) wynika natychmiast z definicji dolnej i górnej całki Darboux, bowiem z założenia, że f (x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b], dostajemy że dla każdego podziału P
przedziału [a, b] zachodzi L(P, f ) 6 L(P, g) oraz U (P, f ) 6 U (P, g).
Niech P = (x0 , ..., xk ) będzie podziałem przedziału [a, b]. Zanim przejdziemy do dowodów dalszych części twierdzenia, udowodnimy trzy pomocnicze własności:
(i)
L(P, f ) + L(P, g) 6 L(P, f + g) 6 U (P, f + g) 6 U (P, f ) + U (P, g).
(ii)
L(P, cf ) = cL(P, f )
oraz
U (P, cf ) = cU (P, f ),
gdy c > 0.
(iii)
L(P, cf ) = cU (P, f )
oraz
U (P, cf ) = cL(P, f ),
gdy c < 0.
236
ROZDZIAŁ 10. CAŁKA DARBOUX
Istotnie, liczba inf f ([xi−1 , xi ]) + inf g([xi−1 , xi ]) jest ograniczeniem dolnym zbioru
(f + g)([xi−1 , xi ]), więc
inf f ([xi−1 , xi ]) + inf g([xi−1 , xi ]) 6 inf(f + g)([xi−1 , xi ])
dla i = 1, ..., k.
Stąd i z definicji dolnej sumy Darboux wynika pierwsza nierówność w (i). Druga nierówność wynika z własności 10.1.6. Trzecią nierówność w (i) dowodzimy analogicznie jak
pierwszą.
Z własności kresów dolnego i górnego zbioru mamy
inf cf ([xi−1 , xi ]) = c inf f ([xi−1 , xi ]),
sup cf ([xi−1 , xi ]) = c sup f ([xi−1 , xi ]),
gdy c > 0.
Stąd dostajemy (ii). Ponadto
inf cf ([xi−1 , xi ]) = c sup f ([xi−1 , xi ]),
c < 0.
gdy
Stąd wynika (iii).
lim δ(Pn ) = 0.
Weźmy dowolny ciąg (Pn )∞
n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że n→∞
Z własności (i) dla każdego n ∈ N mamy
L(Pn , f ) + L(Pn , g) 6 L(Pn , f + g) 6 U (Pn , f + g) 6 U (Pn , f ) + U (Pn , g).
Przechodząc więc do granicy przy n → ∞, w myśl twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy (b).
Niech c > 0. Z własności (ii) dla każdego n ∈ N mamy
L(Pn , cf ) = cL(Pn , f )
oraz
U (Pn , cf ) = cU (Pn , f ),
więc przechodząc do granicy przy n → ∞ dostajemy (c). Analogicznie, opierając się na
własności (iii), dowodzimy część (d).
Twierdzenie 10.2.9. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] oraz niech c ∈ R, a < c < b. Wówczas
Z
b
a
—
Z
c
f dx =
a
—
f dx+
Z
b
f dx
c
—
oraz
Z
b
a
Z
c
f dx =
a
f dx+
Z
b
f dx.
c
b ∞
Dowód. Niech (Pan )∞
n=1 oraz (Pn )n=1 będą ciągami podziałów odpowiednio przedziałów [a, c] oraz [c, b] takimi, że n→∞
lim δ(Pan ) = 0 oraz n→∞
lim δ(Pbn ) = 0. Niech Pn będzie
podziałem przedziału [a, b] utworzonym przez sumę zbiorów punktów podziału Pan oraz
Pbn dla n ∈ N. Wtedy lim δ(Pn ) = 0 oraz z definicji dolnej i górnej sumy Darboux
n→∞
dostajemy
L(Pn , f ) = L(Pan , f ) + L(Pbn , f ),
U (Pn , f ) = U (Pan , f ) + U (Pbn , f ).
Stąd, przechodząc do granicy przy n → ∞, z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy tezę. Rozdział 11
Całka Riemanna
11.1
Całka Riemanna
Definicja całki Riemanna. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną
na przedziale [a, b].
Mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [a, b] lub, że
jest całkowalna w przedziale [a, b], gdy dolna i górna całka Darboux funkcji f w przedziale
Rb
Rb
a f (x)dx.
—
Zbiór wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Riemanna w przedziale [a, b] oznaczamy R([a, b]).
Jeśli f ∈ R([a, b]), to wspólną wartość dolnej i górnej całki Darboux oznaczamy
[a, b] są równe, to znaczy
a
Z
f (x)dx =
b
f dx
lub
a
Z
b
f (x)dx
a
i nazywamy całką Riemanna funkcji f w przedziale [a, b] lub całką oznaczoną Riemanna
funkcji f w przedziale [a, b].
Dla uproszczenia zapisu przyjmuje się następujące oznaczenia
Ra
Definicja . Jeśli funkcja f jest określona w punkcie a, to przyjmujemy a f dx = 0.
Ra
Rb
Jeśli f ∈ R([a, b]), to przyjmujemy b f dx = − a f dx.
Uwaga 11.1.1. Wprost z definicji oraz uwagi 10.2.2 dostajemy, że każda funkcja stała w
przedziale [a, b] jest całkowalna Rw sensie Riemanna w tym przedziale. Ponadto, jeśli c ∈ R
oraz f (x) = c dla x ∈ [a, b], to ab f dx = c(b − a).
Istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, które nie są całkowalne w sensie
Riemanna. Przykładem takiej funkcji jest funkcja Dirichleta (patrz uwaga 10.2.3).
Z własności 10.1.6 dostajemy natychmiast
Własność 11.1.2. Niech f ∈ R([a, b]) oraz niech m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b]).
Wówczas
(11.1)
m(b − a) 6
Z
b
a
f dx 6 M (b − a).
237
238
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Z własności dolnej i górnej całki Darboux (twierdzenia 10.2.8, 10.2.9) dostajemy
Twierdzenie 11.1.3. Niech f, f1 , f2 ∈ R([a, b]), niech g : [a, b] → R oraz niech c ∈ R.
Wówczas
(a) f1 + f2 ∈ R([a, b]) oraz cf ∈ R([a, b]) i
Z
b
(f1 + f2 )dx =
a
Z
b
a
f1 dx +
Z
b
a
f2 dx
b
Z
oraz
Z
cf dx = c
a
b
f dx.
a
(b) Jeśli f1 (x) 6 f2 (x) dla x ∈ [a, b], to
Z
b
a
f1 dx 6
Z
b
a
f2 dx.
(c) Jeśli M ∈ R jest takie, że |f (x)| 6 M dla x ∈ [a, b], to
Z
b
f
dx
6 M (b − a).
a
(d) Jeśli a < c < b, to f ∈ R([a, c]) i f ∈ R([c, b]) oraz
b
Z
f dx =
Z
c
f dx +
f dx.
c
a
a
b
Z
(e) Jeśli a < c < b i g ∈ R([a, c]) oraz g ∈ R([c, b]), to g ∈ R([a, b]).
Dowód. Ad. (a) Z twierdzenia 10.2.8(b) dostajemy
(11.2)
Rb
a
—
Rb
f2 dx 6 ab (f1 + f2 )dx 6
—
—
f1 dx+
Rb
R
a
a
Rb
(f1 + f2 )dx 6
a
f1 dx+
Rb
a
f2 dx.
Z założenia f1 , f2 ∈ R([a, b]), mamy
Z
b
a
Z
f1 dx =
b
a
Z
f1 dx =
b
a
—
f1 dx oraz
Z
b
a
Z
f2 dx =
b
a
Z
f2 dx =
—
b
a
f2 dx.
Zatem (11.2) jest ciągiem równości. To daje pierwszą część (a). Druga część (a) wynika
natychmiast z twierdzenia 10.2.8(c)(d). Istotnie dla c = 0 teza jest oczywista. Dla c > 0
mamy
Z
b
cf dx = c
a
Z
b
f dx = c
a
—
Z
b
f dx = c
a
—
Z
b
Z
b
f dx =
a
cf dx.
a
Dla c < 0 zaś
Z
b
a
—
cf dx = c
Z
b
a
f dx = c
Z
b
a
f dx = c
Z
b
a
—
Z
b
f dx =
a
Ad. (b) Część (b) wynika natychmiast z twierdzenia 10.2.8(a).
cf dx.
11.1. CAŁKA RIEMANNA
239
Ad. (c) Ponieważ −M 6 f (x) 6 M dla x ∈ [a, b], więc −M 6 inf f ([a, b]) oraz
sup f ([a, b]) 6 M . Zatem z własności 11.1.2 dostajemy
−M (b − a) 6
Z
b
a
f dx 6 M (b − a),
co daje (c).
Ad. (d) Z twierdzenia 10.2.9, mamy
b
Z
c
Z
f (x)dx =
a
f (x)dx+
a
—
b
Z
f (x)dx 6
c
—
c
Z
f (x)dx+
a
—
b
Z
b
Z
f (x)dx =
c
f (x)dx.
a
Rb
Rb
a f (x)dx, więc powyżej zachodzi ciąg równości. Z własności
—
R
R
R
R
10.2.1 mamy ac f (x)dx 6 ac f (x)dx oraz cb f (x)dx 6 cb f (x)dx. W konsekwencji,
—
—
Z założenia
f (x)dx =
a
Z
c
Z
c
f (x)dx =
a
Z
f (x)dx oraz
a
—
b
Z
b
f (x)dx =
c
f (x)dx.
c
—
To daje, że f ∈ R([a, c]), f ∈ R([c, b]) i zachodzi (d).
Ad. (e) Ponieważ g ∈ R([a, c]) oraz g ∈ R([c, b]), więc z twierdzenia 10.2.9 dostajemy
Z
b
Z
c
g(x)dx =
a
g(x)dx+
a
—
Z
b
Z
g(x)dx =
c
—
c
a
—
g(x)dx+
Z
b
Z
b
g(x)dx =
c
g(x)dx,
a
więc g ∈ R([a, b]).
Uwaga 11.1.4. W analizie rozważa się również tak zwaną całkę Riemanna-Strieltjesa lub
krótko całkę Stieltjesa. Jest to uogólnienie całki Riemanna. Całkę Stieltjesa definiujemy
następująco:
Definicja całki Stieltjesa. Niech α będzie funkcją rosnącą określoną na przedziale [a, b].
Dla każdego podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] określamy ∆αi = α(xi ) − α(xi−1 ).
Dla dowolnej funkcji rzeczywistej f ograniczonej na przedziale [a, b], kładziemy kolejno
mi = inf f ([xi−1 , xi ]),
n
X
L(P, f, α) =
i=1
mi ∆αi
Mi = sup f ([xi−1 , xi ]),
oraz
i = 1, ..., n.
n
X
U (P, f, α) =
Mi ∆αi
i=1
b
Z
f dα = inf{U (P, f, α) : P jest podziałem przedziału [a, b]}.
a
Z
b
f dα = sup{L(P, f, α) : P jest podziałem przedziału [a, b]}.
a
—
f dα = ab f dα, to tę wspólną wartość nazywamy całką Riemanna-Strieltjesa lub
—
R
krótko całką Stieltjesa funkcji f względem funkcji α na przedziale [a, b] i oznaczamy ab f dα.
Jeśli
Rb
a
R
240
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Można pokazać, że całka Stieltjesa ma analogiczne własności do twierdzenia 11.1.3
oraz do twierdzeń z następnych punktów: 11.2.1, 11.2.2, 11.3.1, 11.4.2. Przy dodatkowych
założeniach o funkcji α zachodzą również analogiczne własności do pozostałych twierdzeń
w następnych punktach.
11.2
Warunki istnienia całki Riemanna
Podamy teraz równoważne warunki całkowalności funkcji w sensie Riemanna.
Z definicji całki Riemanna i z twierdzeń 10.2.6 oraz 10.2.7 mamy
Twierdzenie 11.2.1. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] oraz niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) f ∈ R([a, b]) oraz
Z
(11.3)
b
f (x)dx = A.
a
(b) Dla każdego ciągu (Pn )∞
lim δ(Pn ) = 0,
n=1 podziałów przedziału [a, b] takiego, że n→∞
zachodzi
lim L(Pn , f ) = A
(11.4)
n→∞
oraz
lim U (Pn , f ) = A.
n→∞
(c) Istnieje ciąg (Pn )∞
n=1 podziałów przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.4).
Dowód. Wobec definicji całki Riemanna, (11.3) jest równoważne temu, że
Z
b
f (x)dx = A
a
oraz
Z
b
f (x)dx = A.
a
—
Zatem z twierdzeń 10.2.6, 10.2.7 dostajemy implikacje (a)⇒(b)⇒(c). Z (c) mamy
A 6 ab f dx i
—
R
Rb
a
f dx 6 A, zatem
Rb
a
f dx = A. To daje implikację (c)⇒(a).
Twierdzenie 11.2.2. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) f ∈ R([a, b]).
(b) dla każdego ε > 0 istnieje η > 0, że dla każdego podziału P przedziału [a, b] takiego,
że δ(P) < η zachodzi
(11.5)
U (P, f ) − L(P, f ) < ε.
(c) dla każdego ε > 0 istnieje podział P przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.5).
Dowód. Udowodnimy implikację (a)⇒(b). Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje ε0 > 0
takie, że dla każdego η > 0 istnieje podział P przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η,
11.2. WARUNKI ISTNIENIA CAŁKI RIEMANNA
241
że zachodzi U (P, f ) − L(P, f ) > ε0 . W szczególności dla każdego n ∈ N istnieje podział
Pn przedziału [a, b] taki, że δ(Pn ) < n1 oraz
U (Pn , f ) − L(Pn , f ) > ε0 .
(11.6)
Niech A =
Rb
a
f dx. Ponieważ n→∞
lim δ(Pn ) = 0, więc twierdzenia 11.2.1 wynika, że
lim L(Pn , f ) = A = lim U (Pn , f ).
n→∞
n→∞
To przeczy (11.6). Otrzymana sprzeczność daje, że przypuszczenie było fałszywe.
Implikacja (b)⇒(c) jest oczywista.
Udowodnimy implikację (c)⇒(a). Weźmy dowolne ε > 0. Z (c) mamy, że istnieje
podział P przedziału [a, b] taki, że zachodzi (11.5). Zatem z definicji dolnej i górnej całki
Darboux mamy
06
Z
b
f (x)dx−
a
Z
b
a
f (x)dx 6 U (P, f ) − L(P, f ) < ε.
—
Stąd i z dowolności ε > 0 mamy
Rb
a
f (x)dx = ab f (x)dx, więc f ∈ R([a, b]). To daje (a).
—
R
Twierdzenie 11.2.3. Niech f ∈ R([a, b]) oraz m, M ∈ R będą takie, że
m 6 f (x) 6 M
dla
x ∈ [a, b],
przy czym niech m < M . Niech ϕ będzie funkcją ciągłą w przedziale [m, M ] oraz niech
h(x) = ϕ(f (x)),
x ∈ [a, b].
Wówczas h ∈ R([a, b]).
Dowód. Niech K ∈ R będzie takie, że |ϕ(t)| < K dla t ∈ [m, M ]. Weźmy dowolne
ε > 0 i niech
ε
ε0 =
.
b − a + 2K
Ponieważ ϕ jest funkcją jednostajnie ciągłą, więc istnieje δ > 0 taka, że δ < ε0 oraz dla
każdych t0 , t00 ∈ [m, M ] zachodzi
(11.7)
|t0 − t00 | < δ ⇒ |ϕ(t0 ) − ϕ(t00 )| < ε0 .
Ponieważ f ∈ R([a, b]), więc istnieje podział P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] taki, że
(11.8)
U (P, f ) − L(P, f ) < δ 2 .
Niech
mi = inf f ([xi−1 , xi ]),
Mi = sup f ([xi−1 , xi ])
m∗i = inf h([xi−1 , xi ]),
Mi∗ = sup h([xi−1 , xi ])
oraz niech
242
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
dla i = 1, ..., n. Niech A będzie zbiorem tych i ∈ {1, ..., n} dla których Mi − mi < δ oraz
niech B – zbiorem tych i ∈ {1, ..., n}, że Mi − mi > δ.
Zauważmy, że dla i ∈ A mamy
X
(11.9)
(Mi∗ − m∗i )(xi − xi−1 ) 6 ε0 (b − a).
i∈A
Istotnie, z definicji Mi∗ i m∗i dostajemy, że dla każdego η > 0 istnieją x0 , x00 ∈ [xi−1 , xi ]
takie, że h(x0 ) > Mi∗ − η2 oraz h(x00 ) 6 m∗i + η2 . Zatem
Mi∗ − m∗i − η 6 h(x0 ) − h(x00 ).
Ponieważ i ∈ A, więc
|f (x0 ) − f (x00 )| < δ
i wobec (11.7),
|h(x0 ) − h(x00 )| 6 ε0 .
Stąd dostajemy, że Mi∗ − m∗i − η 6 ε0 i wobec dowolności η > 0, że Mi∗ − m∗i 6 ε0 . To daje
(11.9).
Z (11.8) i określenia zbioru B mamy
δ
X
(xi − xi−1 ) 6
i∈B
więc
więc
P
i∈B
X
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) 6 U (P, f ) − L(P, f ) < δ 2 ,
i∈B
(xi − xi−1 ) < δ. Z wyboru liczby K mamy Mi∗ − m∗i 6 2K dla i ∈ {1, ..., n},
X
(Mi∗ − m∗i )(xi − xi−1 ) 6 2K
X
(xi − xi−1 ) < 2Kδ < 2Kε0 .
i∈B
i∈B
Stąd i z (11.9) mamy
U (P, h)−L(P, h) =
X
(Mi∗ −m∗i )(xi −xi−1 )+
X
(Mi∗ −m∗i )(xi −xi−1 ) < ε0 (b−a+2K) = ε.
i∈B
i∈A
To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje, że h ∈ R([a, b]) i kończy dowód.
Twierdzenie 11.2.4. Jeśli f, g ∈ R([a, b]), to
(a)
f g ∈ R([a, b]),
(b)
|f | ∈ R([a, b]) oraz
Z
Z b
b
f dx 6
|f |dx.
a
a
Dowód. Ad. (a) Wobec twierdzenia 11.1.3 mamy f + g, f − g ∈ R([a, b]). Zatem
biorąc funkcję ϕ(t) = t2 , t ∈ R, w myśl twierdzenia 11.2.3 mamy, że
(f + g)2 = ϕ(f + g) ∈ R([a, b])
oraz
(f − g)2 = ϕ(f − g) ∈ R([a, b]).
W konsekwencji
1
f g = [(f + g)2 − (f − g)2 ] ∈ R([a, b]).
4
11.3. CIĄGŁOŚĆ A CAŁKOWALNOŚĆ
243
Ad. (b) Przyjmując ϕ(t) = |t|, t R∈ R, z twierdzenia 11.2.3 dostajemy, że |f | ∈ R([a, b]).
Niech c ∈ {−1, 1} będzie takie, że c ab f dx > 0. Wtedy, cf (x) 6 |f (x)| dla x ∈ [a, b], zatem
z twierdzenia 11.1.3(a)(b) mamy
Z
Z b
Z b
Z b
b
f dx = c
f dx =
cf dx 6
|f |dx.
a
a
a
a
To kończy dowód.
Twierdzenie 11.2.5. Niech f ∈ R([a, b]). Jeśli f (x) > 0 dla x ∈ [a, b], to
Rb
a
f (x)dx > 0.
Dowód. Ponieważ f (x) > 0 dla x ∈ [a, b], toR z twierdzenia 11.1.3(b) dla dowolnych
c, dR ∈ R takich, że a 6 c R< d 6 b dostajemy, że cd f (x)dx > 0. Przypuśćmy przeciwnie,
że ab f (x)dx 6 0. Wtedy ab f (x)dx = 0. Zauważmy, że
Z
(11.10)
c
d
f (x)dx = 0 dla dowolnych c, d ∈ R takich, że a 6 c < d 6 b.
Istotnie, w przeciwnym razie dla pewnych a 6 c < d 6 b zachodzi
Z
b
f (x)dx =
Z
c
f (x)dx +
d
f (x)dx +
Z
c
f (x)dx > 0, a więc
b
f (x)dx > 0,
d
c
a
a
Z
Rd
co przeczy przypuszczeniu.
Zauważmy, że istnieje ciąg przedziałów domkniętych (Pn )∞
n=1 taki, że
[a, b] ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ . . .
(11.11)
oraz dla każdego n ∈ N,
f (x) 6
(11.12)
1
n
dla
x ∈ Pn .
Istotnie, ab f (x)dx = 0, więc z twierdzenia 11.2.1 istnieje podział P1 = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] taki, że U (P1 , f ) R< b − a, a więc istnieje i, że dla P1 = [xi−1 , xi ] zachodzi
i
(11.12). Wobec (11.10) mamy xxi−1
f (x)dx = 0, więc podobnie jak wyżej istnieje podział
P2 = (y0 , ..., ym ) przedziału P1 taki, że U (P2 , f ) < 12 (xi − xi−1 ), a więc istnieje przedział
P2 ⊂ P1 dla którego zachodzi (11.12). Postępując dalej indukcyjnie dostajemy, że istnieje
zapowiedziany ciąg przedziałów (Pn ).
Ponieważ (Pn ) jest ciągiem przedziałów domkniętych spełniającym (11.11), więc istT
nieje punkt z ∈ ∞
n=1 Pn . Wtedy z ∈ [a, b] i wobec (11.12), f (z) 6 0. To przeczy założeniu.
R
11.3
Ciągłość a całkowalność
Z twierdzenia 11.2.2 dostajemy
244
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Twierdzenie 11.3.1. Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w
sensie Riemanna w tym przedziale.
Dowód. Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b]. Wówczas funkcja f jest
jednostajnie ciągła w [a, b]. Weźmy dowolne ε > 0 i niech η > 0 będzie takie, że dla
każdych x0 , x00 ∈ [a, b] zachodzi
|x0 − x00 | < η ⇒ |f (x0 ) − f (x00 )| <
(11.13)
ε
.
2(b − a)
Niech P = (x0 , ..., xn ) będzie podziałem przedziału [a, b] takim, że δ(P) < η. Oznaczając
Mi = sup f ([xi−1 , xi ]),
mi = inf f ([xi−1 , xi ])
dla
i = 1, ..., n,
z (11.13) dostajemy
Mi − m i 6
ε
2(b − a)
dla i = 1, ..., n.
Zatem
n
X
U (P, f ) − L(P, f ) =
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) <
i=1
n
ε X
ε
(xi − xi−1 ) =
(b − a) = ε.
b − a i=1
b−a
To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje tezę.
Uwaga 11.3.2. Funkcja f (x) = x, x ∈ [a, b] jest całkowalna w sensie Riemanna. Istotnie,
niech Pn = (x0 , ..., xn ) będzie podziałem przedziału [a, b], postaci xi = a + ni (b − a),
ε
. Dla n > 1δ , podział Pn ma
i = 0, . . . , n, n ∈ N. Weźmy dowolne ε > 0 i niech δ = 2(b−a)
średnicę n1 (b − a) mniejszą od δ. Ponadto,
n
X
U (Pn , f ) − L(Pn , f ) =
(xi − xi−1 )2 < δ
i=1
n
X
(xi − xi−1 ) = δ(b − a) =
i=1
ε
< ε.
2
Zatem z twierdzenia 11.2.2 dostajemy, że f ∈ R([a, b]). Wobec tego twierdzenie 11.3.1
wynika natychmiast z twierdzenia 11.2.3.
R
2
2
Stosując twierdzenie 11.2.1 (c)⇒(a) łatwo obliczamy, że ab xdx = b −a
. Istotnie,
2
n
X
U (Pn , f ) =
xi (xi − xi−1 ) = (b − a)
i=1
(n + 1)b + (1 − n)a
b 2 − a2
−→
.
n→∞
2n
2
Twierdzenie 11.3.3. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale [a, b], z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów, to f jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale.
Dowód. Niech Z ⊂ [a, b] będzie zbiorem wszystkich punktów nieciągłości funkcji f w
przedziale [a, b]. Niech Z ∪ {a, b} = {ξ0 , ..., ξk }, gdzie a = ξ0 < . . . < ξk = b.
Ponieważ f jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], więc istnieje stała M > 0, że
(11.14)
−M 6 f (x) 6 M
dla x ∈ [a, b].
11.3. CIĄGŁOŚĆ A CAŁKOWALNOŚĆ
245
Weźmy dowolne ε > 0. Niech δ > 0 będzie na tyle małe, że 4M (k + 1)δ < ε oraz
ξ0 < ξ0 + δ < ξ1 − δ < ξ1 + δ < . . . < ξk−1 + δ < ξk − δ < ξk .
Oznaczmy
x0 = ξ0 , x1 = ξ1 − δ, ..., xk = ξk − δ
oraz y0 = ξ0 + δ, y1 = ξ1 + δ, ..., yk = ξk .
Ponieważ funkcja f jest ciągła w każdym przedziale [yi−1 , xi ], więc z twierdzenia 11.3.1,
xi
Z
xi
Z
f (x)dx
f (x)dx =
yi−1
dla
i = 1, ..., k.
yi−1
—
Zatem z twierdzenia 10.2.9 mamy
(11.15)
b
Z
f (x)dx−
a
Z
b
a

Z
k
X

f (x)dx = 
i=0
—

yi
f (x)dx−
yi
Z
xi
f (x)dx .

xi
—
Z (11.14) i własności 10.2.1 mamy
Z
−M (yi − xi ) 6
yi
Z
f (x)dx 6
xi
—
yi
f (x)dx 6 M (yi − xi )
xi
dla
i = 0, ..., k,
więc
Z
06
yi
f (x)dx−
Z
xi
yi
f (x)dx 6 2M (yi − xi ) < 4M δ.
xi
—
Stąd i z (11.15) dostajemy
b
Z
06
f (x)dx−
a
Z
b
a
To, wobec dowolności ε daje
Rb
a
f (x)dx 6 4(k + 1)M δ < ε.
— R
f (x)dx = ab f (x)dx, czyli, że f ∈ R([a, b]).
—
Wniosek 11.3.4. Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] taką,
że f (x) = 0 dla wszystkich xR ∈ [a, b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów.
Wówczas f ∈ R([a, b]) oraz ab f (x)dx = 0.
Dowód. Z założenia mamy, że f jest funkcją ciągłą w [a, b] z wyjątkiem skończonej
ilości punktów. Zatem z twierdzenia 11.3.3 mamy, że f ∈ R([a, b]).
Niech
f1 (x) = max{0, f (x)}
oraz
f2 (x) = min{0, f (x)}
dla
x ∈ [a, b].
Wówczas z powyższego mamy, że f1 , f2 ∈ R([a, b]). Ponadto łatwo sprawdzamy, że dla
każdego podziału P przedziału [a, b] mamy L(P, f1 ) = 0 oraz U (P, f2 ) = 0. Zatem
Z
b
a
Z
f1 dx =
b
a
—
f1 dx = 0
oraz
Z
b
a
Z
f2 dx =
b
a
f2 dx = 0.
246
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Ponieważ f = f1 + f2 , więc z twierdzenia 11.1.3(a) dostajemy
Z
b
a
f dx =
Z
b
a
f1 dx +
Z
b
a
f2 dx = 0.
To daje tezę.
Wniosek 11.3.5. Niech f ∈ R([a, b]). Jeśli g : [a, b] → R jest funkcją taką, że
f (x) = g(x) dla wszystkich
x ∈ [a,
b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punkR
R
tów, to g ∈ R([a, b]) oraz ab gdx = ab f dx.
Dowód. Niech
h(x) = g(x) − f (x),
x ∈ [a, b].
W myśl założenia mamy, że h(x) = 0 dla wszystkich x ∈ [a, b] z wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości punktów. Zatem z wniosku 11.3.4 dostajemy, że h ∈ R([a, b]) oraz
Rb
a hdx = 0. Stąd i z twierdzenia 11.1.3(a) mamy
g = h + f ∈ R([a, b])
oraz
Z
b
gdx =
a
Z
b
f dx.
a
W świetle wniosku 11.3.5 możemy rozszerzyć pojęcie funkcji całkowalnej w sensie Riemanna w przedziale [a, b] na przypadek funkcji określonej w przedziale [a, b] z wyjątkiem
skończonej ilości punktów.
Uogólnienie definicji całki Riemanna. Niech Z będzie podzbiorem skończonym przedziału [a, b] oraz f – funkcją określoną na zbiorze [a, b] \ Z. Mówimy, że funkcja f jest
całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b], gdy istnieje funkcja g ∈ R([a, b]) taka,
że f |[a,b]\Z = g|[a,b]\Z . Wtedy całką Riemanna funkcji f w przedziale [a, b] nazywamy liczbę
Rb
Rb
a gdx i oznaczamy a f dx.
11.4
Funkcje o wahaniu skończonym
Definicja funkcji o wahaniu skończonym. Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b]. Element V (f, a, b) ∈ R ∪ {+∞} określony wzorem
V (f, a, b) = sup
( n
X
)
|f (xi ) − f (xi−1 )| :
(x0 , ..., xn ) jest podziałem przedziału [a, b]
i=1
nazywamy wahaniem funkcji f na przedziale [a, b]. Jeśli V (f, a, b) < +∞, to mówimy, że
funkcja f ma w przedziale [a, b] wahanie skończone.
Twierdzenie 11.4.1. (Jordana). Jeśli funkcja f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b]
wahanie skończone, to istnieją funkcje rosnące g, h : [a, b] → R takie, że f = g − h.
11.4. FUNKCJE O WAHANIU SKOŃCZONYM
247
Dowód. Niech v : [a, b] → R będzie funkcją określoną wzorami v(0) = 0 oraz v(x) =
V (f, a, x) dla x ∈ (a, b]. Z założenia, że V (f, a, b) < +∞ i z określenia v dostajemy łatwo,
że
0 6 v(x) 6 V (f, a, b)
dla
x ∈ [a, b].
Zauważmy, że
(11.16)
|f (y) − f (x)| 6 v(y) − v(x) dla każdych x, y ∈ [a, b] takich, że x < y.
Istotnie, weźmy dowolne x, y ∈ [a, b] takie, że x < y. Jeśli x = a, to (11.16) wynika z
definicji v(y). Jeśli x > a, to dla każdego podziału (x0 , ..., xn ) przedziału [a, x] mamy
n
X
|f (xi ) − f (xi−1 )| + |f (y) − f (x)| 6 v(y),
i=1
więc z definicji wahania funkcji, dostajemy v(x) + |f (y) − f (x)| 6 v(y). To daje (11.16).
Połóżmy
1
1
g(x) = [v(x) + f (x)]
oraz
h(x) = [v(x) − f (x)]
dla
x ∈ [a, b].
2
2
Wówczas dla każdych x, y ∈ [a, b] takich, że x < y, z (11.16) dostajemy
g(y) − g(x) =
1
[v(y)
2
− v(x) + f (x) − f (y)] > 12 [v(y) − v(x) − |f (y) − f (x)|] > 0,
h(y) − h(x) =
1
[v(y)
2
− v(x) − f (x) + f (y)] > 12 [v(y) − v(x) − |f (y) − f (x)|] > 0.
To daje, że funkcje g i h są rosnące. Ponadto f = g − h, co kończy dowód.
Monotoniczność funkcji pociąga jej całkowalność, o czym świadczy
Twierdzenie 11.4.2. Każda funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym jest całkowalna w sensie Riemanna w tym przedziale.
Dowód. Niech f będzie funkcją rosnącą w przedziale [a, b]. Weźmy dowolne ε > 0 i
niech n ∈ N będzie takie, że
(b − a)(f (b) − f (a))
(11.17)
< ε.
n
Weźmy podział P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] taki, że
b−a
xi = a + i
,
i = 0, ..., n.
n
Ponieważ f jest funkcją rosnącą, więc
f (xi ) = sup f ([xi−1 , xi ])
oraz
f (xi−1 ) = inf f ([xi−1 , xi ])
dla i = 1, ..., n.
Stąd i z (11.17) mamy
n
X
U (P, f ) − L(P, f ) =
i=1
(f (xi ) − f (xi−1 ))
b−a
b−a
=
(f (b) − f (a)) < ε.
n
n
To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje tezę w przypadku, gdy f jest funkcją rosnącą.
W przypadku, gdy funkcja f jest malejąca, rozumujemy analogicznie.
Z twierdzeń 11.4.1 i 11.4.2 dostajemy natychmiast
Wniosek 11.4.3. Jeśli funkcja f : [a, b] → R ma w przedziale [a, b] wahanie skończone,
to f ∈ R([a, b]).
248
11.5
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Całka jako granica sum przybliżonych
Udowodnimy tutaj, że całkę Riemanna można określić jako granicę sum przybliżonych.
Zacznijmy od lematu potrzebnego również w dalszym ciągu wykładu.
Lemat 11.5.1. Jeśli f, g ∈ R([a, b]), to dla każdego ε > 0 istnieje η > 0 taka, że dla
każdego podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η oraz każdego
ciągu ti ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n mamy
Z
Z xi
n
b
X
f gdx−
f (ti )
gdx < ε
a
xi−1
(11.18)
i=1
Dowód. Niech M ∈ R, M > 0, będzie takie, że |g(x)| 6 M dla x ∈ [a, b]. Weźmy
dowolne ε > 0. Z twierdzenia 11.2.2 istnieje η > 0, że dla każdego podziału P przedziału
[a, b] takiego, że δ(P) < η zachodzi
ε
.
M
U (P, f ) − L(P, f ) <
(11.19)
Weźmy dowolny podział P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] taki, że δ(P) < η i niech
ti ∈ [xi−1 , xi ] dla i = 1, ..., n. Wówczas
Z
n Z
X
b
f gdx =
a
i=1
n
X
xi
f gdx =
xi−1
f (ti )
i=1
Z
xi
gdx+
xi−1
n Z
X
i=1
xi
xi−1
[f − f (ti )]gdx,
więc
Z
(11.20)
b
f gdx−
a
n
X
f (ti )
i=1
Z
xi
n Z
X
xi
gdx =
xi−1
i=1
xi−1
[f − f (ti )]gdx.
Oznaczając
mi = inf f ([xi−1 , xi ]),
Mi = sup f ([xi−1 , xi ])
dla
i = 1, ..., n,
mamy
|f (x) − f (ti )| 6 Mi − mi
dla każdego x ∈ [xi−1 , xi ],
i = 1, ..., n.
Zatem z twierdzeń 11.1.3, 11.2.4 i wzoru (11.19), dostajemy
n
n R
P R xi
6 M P xi |f − f (ti )|dx
[f
−
f
(t
)]gdx
i
xi−1
xi−1
i=1
i=1
n
P
6M
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) = M [U (P, f ) − L(P, f )] < ε,
i=1
co wraz z (11.20) daje (11.18).
11.5. CAŁKA JAKO GRANICA SUM PRZYBLIŻONYCH
249
Twierdzenie 11.5.2. Niech f będzie ograniczoną funkcją rzeczywistą określoną na przedziale [a, b] i niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a)
Rb
f ∈ R([a, b]) i
f dx = A.
a
(b) dla każdego ε > 0 istnieje η > 0 taka, że dla każdego podziału P = (x0 , ..., xn )
przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η oraz każdego ciągu punktów ti ∈ [xi−1 , xi ],
i = 1, ..., n zachodzi
n
X
A−
f (ti )(xi − xi−1 ) < ε.
(11.21)
i=1
Dowód. (a)⇒(b). Kładąc g(x) = R 1 dla x ∈ [a, b] i biorąc dowolny podział P =
i
(x0 , ..., xn ) przedziału [a, b], dostajemy xxi−1
gdx = xi − xi−1 . Zatem lemat 11.5.1 daje (b).
(b)⇒(a). Weźmy dowolne ε > 0. Z (b) dostajemy, że istnieje η > 0 taka, że dla każdego
podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η oraz każdego ciągu
punktów ti ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n zachodzi
n
X
ε
f (ti )(xi − xi−1 ) < ,
A−
3
i=1
a więc
A−
(11.22)
n
ε X
ε
< f (ti )(xi − xi−1 ) < A + .
3 i=1
3
Z własności 10.1.3 mamy
L(P, f ) = inf
( n
X
)
f (ti )(xi − xi−1 ) : ti ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n
i=1
oraz
U (P, f ) = sup
( n
X
)
f (ti )(xi − xi−1 ) : ti ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n ,
i=1
więc z (11.22),
(11.23)
A−
ε
6 L(P, f )
3
oraz
ε
U (P, f ) 6 A + .
3
Stąd dostajemy
ε
ε
− A + < ε.
3
3
To, wobec twierdzenia 11.2.2 daje, że f ∈ R([a, b]).
Uwzględniając (11.23) mamy, że dla każdego ε > 0 istnieje podział
P przedziału [a, b]
R
taki, że L(P, f ) > A − ε oraz U (P, f ) < A + ε. To daje, że ab f dx > A − ε oraz
—
Rb
a f dx 6 A + ε, więc
U (P, f ) − L(P, f ) 6 A +
Z
b
a
f dx−
Z
b
a
—
f dx 6 2ε.
250
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Stąd i z dowolności ε > 0 (ponieważ
Rb
a
—
b
Z
Rb
f dx 6
a
f dx = A,
a
—
a więc
f dx), dostajemy
b
Z
f dx =
a
Rb
a
f dx = A. To daje (a).
Z twierdzenia 11.5.2 wynika
Twierdzenie 11.5.3. (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Jeśli funkcja f ma w przedziale [a, b] funkcję pierwotną F : [a, b] → R oraz f ∈ R([a, b]), to
Z
b
f dx = F (b) − F (a).
a
Dowód. Niech A = ab f dx. Weźmy dowolne ε > 0. Z twierdzenia 11.5.2(a)⇒(b),
istnieje η > 0 taka, że dla każdego podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] o średnicy
mniejszej od η oraz każdego ciągu punktów ti ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n zachodzi
R
n
X
A−
f (ti )(xi − xi−1 ) < ε.
(11.24)
i=1
Niech P = (x0 , ..., xn ) będzie podziałem przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η. Ponieważ F jest funkcją różniczkowalną i F 0 (x) = f (x) dla x ∈ [a, b], więc z twierdzenia
Lagrange’a o wartości średniej 7.3.7 dla każdego i = 1, ..., n istnieje ti ∈ [xi−1 , xi ], że
F (xi ) − F (xi−1 ) = f (ti )(xi − xi−1 ),
więc
n
X
F (b) − F (a) =
n
X
(F (xi ) − F (xi−1 )) =
f (ti )(xi − xi−1 ).
i=1
i=1
Zatem z (11.24) wynika, że
|A − (F (b) − F (a))| < ε.
Stąd i z dowolności ε > 0 dostajemy A = F (b) − F (a). To daje tezę.
Uwaga 11.5.4. Istnieją funkcje całkowalne w sensie Riemanna nie posiadające funkcji
pierwotnej. Na przykład funkcja f (x) = 0 dla x ∈ [0, 1], f (x) = 1 dla x ∈ (1, 2] jest
całkowalna w przedziale [0, 2] jednak nie spełnia ona własności Darboux, więc nie ma
funkcji pierwotnej (patrz twierdzenie 9.1.9).
Można również pokazać, że istnieją funkcje ograniczone w przedziale domkniętym, posiadające funkcje pierwotne, które nie są całkowalne w sensie Riemanna w tym przedziale.
Twierdzenie 11.5.5. (o całkowaniu przez podstawienie I). Niech ϕ : [α, β] →
R będzie funkcją, różniczkowalną taką, że ϕ0 ∈ R([α, β]) oraz niech ϕ([α, β]) ⊂ [a, b].
Wówczas dla każdej funkcji f ciągłej w przedziale [a, b] mamy f ◦ ϕ · ϕ0 ∈ R([α, β]) oraz
(11.25)
Z
ϕ(β)
ϕ(α)
f (t)dt =
Z
β
α
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx.
11.5. CAŁKA JAKO GRANICA SUM PRZYBLIŻONYCH
251
Dowód. Funkcja f ◦ ϕ jest ciągła w przedziale [α, β], więc z twierdzenia 11.3.1, mamy
f ◦ ϕ ∈ R([α, β]). Z założenia ϕ0 ∈ R([α, β]), zatem z twierdzenia 11.2.4, f ◦ ϕ · ϕ0 ∈
R([α, β]). Funkcja f , jako ciągła w przedziale [a, b] ma funkcję pierwotną F : [a, b] → R
(patrz twierdzenie 9.2.4). Wówczas F ◦ ϕ : [α, β] → R jest funkcją pierwotną funkcji
f ◦ ϕ · ϕ0 w przedziale [α, β].
Jeśli ϕ(α) < ϕ(β), to z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego 11.5.3 mamy
Z
ϕ(β)
f (t)dt = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) =
ϕ(α)
β
Z
f ◦ ϕ(x)ϕ0 (x)dx
α
Jeśli ϕ(α) = ϕ(β), to zgodnie z definicją,
Z
ϕ(β)
f (t)dt = 0 = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) =
Z
ϕ(α)
β
f ◦ ϕ(x)ϕ0 (x)dx.
α
Jeśli ϕ(α) > ϕ(β), to
R ϕ(β)
ϕ(α)
R ϕ(β)
ϕ(α)
f (t)dt = −
f (t)dt = −
R ϕ(α)
ϕ(β)
R ϕ(α)
ϕ(β)
f (t)dt, więc
f (t)dt = −[F (ϕ(α)) − F (ϕ(β))]
= F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) =
Rβ
α
f ◦ ϕ(x)ϕ0 (x)dx.
Reasumując mamy tezę.
Poniżej podajemy ogólniejszą wersję twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie,
gdzie nie zakładamy ciągłości funkcji f , jednak wzmacniamy założenie o funkcji ϕ.
Twierdzenie 11.5.6. (o całkowaniu przez podstawienie II). Niech ϕ : [α, β] → R
będzie funkcją rosnącą, różniczkowalną i ϕ0 ∈ R([α, β]) oraz niech a = ϕ(α), b = ϕ(β),
a < b. Wówczas dla każdej funkcji f ∈ R([a, b]) mamy f ◦ ϕ · ϕ0 ∈ R([α, β]) oraz
(11.26)
Z
b
f (t)dt =
a
Z
β
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx.
α
Dowód. Ponieważ
f ∈ R([a, b]), więc istnieje L ∈ R, L > 0, że |f (t)| < L dla t ∈ [a, b].
Rb
Oznaczmy A = a f (t)dt. Weźmy dowolne ε > 0.
Ponieważ f ∈ R([a, b]), więc z twierdzenia 11.5.2(a)⇒(b) dostajemy, że istnieje η > 0
taka, że dla każdego ciągu a = t0 6 t1 6 . . . 6 tn = b takiego, że ti − ti−1 < η oraz każdego
ciągu ξ1 , ..., ξn takiego, że ti−1 6 ξi 6 ti dla i = 1, ..., d zachodzi (1 )
(11.27)
n
X
ε
A−
f (ξi )(ti − ti−1 ) < .
2
i=1
Zauważmy, że istnieje δ > 0 taka, że dla każdego podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału
[α, β] o średnicy mniejszej od δ oraz każdych ciągów ηi , η̃i ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n mamy
(11.28)
n
X
ε
0
0
f (ϕ(ηi ))(ϕ (η̃i ) − ϕ (ηi ))(xi − xi−1 ) < .
2
i=1
1
nie piszemy tutaj, że (t0 , ..., tn ) jest podziałem przedziału [a, b], gdyż dopuszczamy równość ti−1 = ti
dla pewnych i ∈ {1, ..., n}. W takim przypadku mamy f (ξi )(ti − ti−1 ) = 0, więc możemy stosować
twierdzenie 11.5.2.
252
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Istotnie, z założenia, że ϕ0 ∈ R([α, β]), i z twierdzenia 11.2.2, istnieje δ > 0, że dla każdego
podziału P przedziału [α, β] o średnicy mniejszej od δ zachodzi
U (P, ϕ0 ) − L(P, ϕ0 ) <
(11.29)
ε
.
2L
Weźmy dowolny podział P = (x0 , ..., xn ) przedziału [α, β] o średnicy mniejszej od δ i niech
Mi = sup ϕ0 ([xi−1 , xi ]),
mi = inf ϕ0 ([xi−1 , xi ])
dla
i = 1, ..., n.
Wtedy dla każdych ηi , η̃i ∈ [xi−1 , xi ], mamy
|ϕ0 (η̃i ) − ϕ0 (ηi )| 6 Mi − mi ,
i = 1, ..., n,
więc z (11.29),
n
n
P
0
0
6 P |f (ϕ(ηi ))| · |ϕ0 (η̃i ) − ϕ0 (ηi )| · |(xi − xi−1 )|
f
(ϕ(η))(ϕ
(η̃
)
−
ϕ
(η
))(x
−
x
)
i
i
i
i−1
i=1
i=1
n
P
ε
ε
0
0
6L
i=1
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) = L[U (P, ϕ ) − L(P, ϕ )] < L 2L = 2 .
Zmniejszając ewentualnie δ, wobec jednostajnej ciągłości funkcji ϕ możemy założyć, że
dla dowolnych x0 , x00 ∈ [α, β] zachodzi
|x0 − x00 | < δ
(11.30)
⇒
|ϕ(x0 ) − ϕ(x00 )| < η.
Weźmy dowolny podział P = (x0 , ..., xn ) przedziału [α, β] o średnicy mniejszej od δ i
niech ηi ∈ [xi−1 , xi ], i = 1, ..., n, będzie dowolnym ciągiem punktów pośrednich. Oznaczmy
ti = ϕ(xi ) dla i = 0, ..., n
oraz
ξi = ϕ(ηi ) dla i = 1, ..., n.
Z twierdzenia Lagrange’a 7.3.7 dla każdego i ∈ {1, ..., n} istnieje η̃i ∈ [xi−1 , xi ], że
ti − ti−1 = ϕ0 (η̃i )(xi − xi−1 ).
(11.31)
Z założenia, ϕ jest funkcją rosnącą, więc
a = t0 6 ξ˜1 6 t1 6 . . . 6 tn−1 6 ξ˜n 6 tn = b,
ponadto z (11.30) mamy ti − ti−1 < η dla i = 1, ..., n. Zatem z (11.31), (11.27) i (11.28),
n
n
P
P
0
0
A−
f (ϕ(ηi ))ϕ (ηi )(xi − xi−1 ) = A−
f (ξi )ϕ (ηi )(xi − xi−1 )
i=1
i=1
n
n
n
P
P
P
0
f (ξi )ϕ (ηi )(xi − xi−1 )
6 A−
f (ξi )(ti − ti−1 ) + f (ξi )(ti − ti−1 )−
i=1
i=1
i=1
n
n
n
P
P
P
0
0
f (ξi )ϕ (ηi )(xi − xi−1 )
= A−
f (ξi )(ti − ti−1 ) + f (ξi )ϕ (η̃i )(xi − xi−1 )−
i=1
i=1
i=1
n
P
ε
ε
ε
0
0
< 2 + f (ξi )(ϕ (η̃i ) − ϕ (ηi ))(xi − xi−1 ) < 2 + 2 = ε.
i=1
To, wobec twierdzenia 11.5.2(b)⇒(a) daje, że f ◦ ϕ · ϕ0 ∈ R([α, β]) i zachodzi (11.26). 11.6. CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE
11.6
253
Całkowanie i różniczkowanie
Twierdzenie 11.6.1. Niech f ∈ R([a, b]). Wówczas funkcja F : [a, b] → R określona
wzorem
F (t) =
(11.32)
t
Z
t ∈ [a, b]
f dx,
a
jest ciągła. Ponadto jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ [a, b], to funkcja F ma
pochodną w tym punkcie oraz F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Dowód. Wobec twierdzenia 11.1.3(d) mamy, że funkcja F jest poprawnie określona.
Ponieważ f ∈ R([a, b]), więc f jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], czyli istnieje
M ∈ R, M > 0, takie że |f (x)| 6 M dla x ∈ [a, b]. Weźmy dowolne ε > 0 oraz niech
δ=
ε
.
M
Wówczas dla dowolnych t1 , t2 ∈ [a, b], t1 6 t2 takich, że |t1 −t2 | < δ, z twierdzenia 11.1.3(c)
mamy
Z
t2
|F (t2 ) − F (t1 )| = t1
f dx 6 M (t2 − t1 ) < M δ = ε.
To daje jednostajną ciągłość, a więc ciągłość funkcji F .
Załóżmy teraz, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 . Weźmy dowolne ε > 0 i niech
δ > 0 będzie taka, że dla x ∈ [a, b] z warunku |x − x0 | < δ wynika |f (x) − f (x0 )| < ε.
Weźmy dowolne x1 ∈ [a, b]. Pokażemy, że
(11.33)
0 < |x1 − x0 | < δ
F (x ) − F (x )
1
0
− f (x0 ) 6 ε.
x1 − x0
⇒
Istotnie, jeśli x1 < x0 , to z twierdzenia 11.1.3(c), mamy
R x0
F (x1 )−F (x0 )
x −x
− f (x0 ) = x −1
x1 f dx +
−x
1
0
1
= x1−1
−x0
0
R x0
1
x1 −x0
R x0
x1
f (x0 )dx
1 x1 (f − f (x0 ))dx 6 x1 −x0 ε|x1 − x0 | = ε.
to daje (11.33) w przypadku, gdy x1 < x0 . Analogicznie, zamieniając rolami x0 i x1
dowodzimy (11.33), gdy x1 > x0 . Z (11.33) dostajemy, że F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Definicja funkcji górnej granicy całkowania. Dla funkcji f ∈ R([a, b]), funkcję określoną wzorem (11.32) nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Uwaga 11.6.2. Niech f ∈ R([a, b]). Wówczas funkcja F : [a, b] → R określona wzorem
F (t) =
Z
b
f dx,
t ∈ [a, b]
t
jest ciągła. Ponadto jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ [a, b], to funkcja F ma
pochodną w tym punkcie
orazRF 0 (x0 ) = −f (x0 ).
Rb
Istotnie, F (t) = a f dx − at f dx dla t ∈ [a, b], więc teza wynika z twierdzenia 11.6.1.
254
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Z twierdzenia 11.6.1 dostajemy natychmiast inny dowód istnienia funkcji pierwotnej
funkcji ciągłej w przedziale domkniętym (por. twierdzenie 9.2.4).
Wniosek 11.6.3. Jeśli funkcja
f jest ciągła w przedziale [a, b], to górna granica całkowaRt
nia F : [a, b] → R, F (t) = a f dx, t ∈ [a, b], jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
[a, b].
Dowód. Istotnie, ponieważ f jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b], więc z twierdzenia
11.6.1, dla każdego x ∈ [a, b] mamy F 0 (x) = f (x).
Wniosek 11.6.4. Niech f ∈ R([a, b]). Jeśli f (x) > 0 dla x ∈ [a, b] oraz istnieje x0 ∈ [a, b]
takie, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i f (x0 ) > 0, to
Z
b
f dx > 0.
a
Dowód. Niech F (t) = at f dx, t ∈ [a, b]. Ponieważ f (x) > 0 dla x ∈ [a, b], więc funkcja
F jest rosnąca. Istotnie, dla t1 , t2 ∈ [a, b], t1 < t2 mamy
R
F (t2 ) − F (t1 ) =
Z
t2
t1
f dx > 0(t2 − t1 ) = 0.
Z twierdzenia 11.6.1 dostajemy, że F 0 (x0 ) = f (x0 ), więc F 0 (x0 ) > 0, zatem F nie jest
funkcją stałą i w konsekwencji
Z
b
f dx = F (b) = F (b) − F (a) > 0.
a
Podamy teraz twierdzenie o całkowaniu przez części (por. wniosek 11.6.6).
Twierdzenie 11.6.5. (o całkowaniu przez części). Niech f, g ∈ R([a, b]) oraz niech
F, G : [a, b] → R będą funkcjami określonymi wzorami
Z
F (t) = C1 +
t
a
f dx,
G(t) = C2 +
Z
t
t ∈ [a, b],
gdx,
a
gdzie C1 , C1 ∈ R są dowolnymi stałymi. Wówczas f G, F g ∈ R([a, b]) oraz
Z
b
f Gdx = F (b)G(b) − F (a)G(a) −
a
Z
b
F gdx.
a
Dowód. Wobec twierdzenia 11.6.1, funkcje F i G są ciągłe w przedziale [a, b], więc
z twierdzenia 11.3.1 wynika, że F, G ∈ R([a, b]). Stąd, z założenia, że f, g ∈ R([a, b]) i z
twierdzenia 11.2.4(a) dostajemy, że f G, F g ∈ R([a, b]).
Weźmy dowolne ε > 0. Niech, wobec lematu 11.5.1, η > 0 będzie taka, że dla każdego
podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η zachodzi
Z
Z xi
n
b
X
ε
f Gdx−
G(xi−1 )
f dx <
a
2
xi−1
i=1
i
Z
Z xi
n
b
X
ε
F gdx−
F (xi )
gdx < ,
a
2
xi−1
i=1
11.7. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
255
czyli
(11.34)
Z
n
b
X
ε
f
Gdx−
G(x
)[F
(x
)
−
F
(x
)]
i−1
i
i−1 < ,
a
2
i=1
(11.35)
Z
n
b
X
ε
F gdx−
F (xi )[G(xi ) − G(xi−1 )] < .
a
2
i=1
Niech P = (x0 , .., xn ) będzie dowolnym podziałem przedziału [a, b] o średnicy mniejszej
od η. Stosując przekształcenie Abela dostajemy
n
X
F (b)G(b) − F (a)G(a) =
n
X
G(xi−1 )[F (xi ) − F (xi−1 )]+
i=1
F (xi )[G(xi ) − G(xi−1 )].
i=1
Stąd, z (11.34) i (11.35) dostajemy
R
Rb
b
a f Gdx + a F gdx − [F (b)G(b) − F (a)G(a)]
n
n
R b
R b
P
P
6 a f Gdx−
G(xi−1 )[F (xi ) − F (xi−1 )] + a F gdx−
F (xi )[G(xi ) − G(xi−1 )]
i=1
<
ε
2
+
ε
2
i=1
= ε.
To, wobec dowolności ε > 0 daje tezę.
Z twierdzenia 11.6.5 dostajemy natychmiast szczególną lecz często stosowaną w praktyce wersję twierdzenia o całkowaniu przez części (2 ).
Wniosek 11.6.6. (o całkowaniu przez części). Jeśli f, g są funkcjami różniczkowalnymi w przedziale [a, b] oraz f 0 , g 0 ∈ R([a, b]), to f 0 g, f g 0 ∈ R([a, b]) oraz
Z
b
f 0 gdx = f (b)g(b) − f (a)g(a) −
Z
a
11.7
b
f g 0 dx.
a
Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie 11.7.1. (o wartości średniej I). Niech f, g ∈ R([a, b]) oraz g(x) > 0 dla
x ∈ [a, b] i niech m = inf f ([a, b]), M = sup f ([a, b]). Wówczas istnieje µ ∈ R takie, że
(11.36)
Z
b
gf dx = µ
a
b
Z
gdx,
przy czym
a
m 6 µ 6 M.
Dowód. Ponieważ f, g ∈ R([a, b]), więc z twierdzenia 11.2.4(a), mg, f g, M g ∈ R([a, b]).
Z założenia mamy, m 6 f (x) 6 M oraz g(x) > 0 dla x ∈ [a, b], więc mg(x) 6 f (x)g(x) 6
M g(x) dla x ∈ [a, b]. Stąd i z twierdzenia 11.1.3(a)(b), dostajemy
m
Z
b
a
2
gdx 6
Z
b
a
f gdx 6 M
Z
b
gdx.
a
Twierdzenie to można również wyprowadzić z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.
256
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Oznaczmy A = ab f gdx, B = ab gdx. Jeśli B = 0, to z powyższego, A = 0 i biorąc dowolne
m 6 µ 6 M dostajemy (11.36). Jeśli B > 0 to biorąc
R
R
µ=
A
,
B
z poprzedniego wynika, że m 6 µ 6 M oraz zachodzi (11.36).
Wniosek 11.7.2. Niech f, g ∈ R([a, b]) oraz g(x) > 0 dla x ∈ [a, b]. Jeśli f jest funkcją
ciągłą, to istnieje c ∈ (a, b) takie, że
b
Z
(11.37)
gf dx = f (c)
a
Z
b
gdx,
a
w szczególności istnieje c ∈ (a, b), że
Z
(11.38)
b
f dx = f (c)(b − a).
a
Dowód. Ponieważ (11.38) wynika natychmiast z (11.37) dla g = 1, więc wystarczy
udowodnić pierwszą część tezy.
Niech
m = inf f ([a, b]),
M = sup f ([a, b]).
Wobec twierdzenia 11.7.1 istnieje µ ∈ R takie, że zachodzi (11.36). Ponieważ f jest funkcją
ciągłą, to z własności Darboux
istnieje
c ∈ [a, b],
µ = f (c),
że
więc zachodzi (11.37). Pozostaje pokazać, że można wybrać c takie, że c 6= a i c 6= b. Przypuśćmy przeciwnie, że c ∈
{a, b} i f (x) 6= f (c) dla x ∈ (a, b). Wówczas,
Rb
f (c) ∈ {m, M }. Niech A = a gdx. Jeśli A = 0, to dowolne c ∈ (a, b) spełnia (11.37).
Stąd, z przypuszczenia i założenia, że g(x) > 0 dla x ∈ [a, b], mamy A > 0.
Rozważmy przypadek, gdy f (c) = m. Przypadek, gdy f (c) = M rozważa się analogicznie. Ponieważ A > 0, to istnieją a < x1 < x2 < b takie, że
Z
x2
gdx > 0.
x1
Miech m0 = inf f ([x1 , x2 ]). Ponieważ f (x) 6= f (c) dla x ∈ (a, b), więc f (x) > m dla
x ∈ [x1 , x2 ], i wobec ciągłości funkcji f mamy m0 > m. Uwzględniając teraz założenie
g(x) > 0 dla x ∈ [a, b], mamy:
Rb
a
f gdx = ax1 f gdx + xx12 f gdx + xb2 f gdx > m ax1 gdx + m0 xx12 gdx + m
R
R
R
R
R
> m ax1 gdx + m xx12 gdx + m xb2 gdx = m ab gdx = f (c) ab gdx,
R
R
R
R
co przeczy (11.37). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
R
Rb
x2
gdx
11.7. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
257
Twierdzenie 11.7.3. (o wartości średniej II). Niech funkcja g będzie w przedziale
[a, b] malejąca oraz f ∈ R([a, b]). Wówczas:
(a) Istnieje c ∈ [a, b] takie, że
Z
(11.39)
b
f gdx = g(a)
a
Z
c
f dx + g(b)
a
Z
b
f dx.
c
(b) Jeśli g(b) > 0, to istnieje c ∈ [a, b] takie, że
b
Z
(11.40)
f gdx = g(a)
a
Z
c
f dx.
a
Dowód. Z twierdzenia 11.4.2 mamy, że g ∈ R([a, b]), a z twierdzenia 11.2.4, że
f g ∈ R([a, b]).
Udowodnimy najpierw (b). Niech
A=
Z
b
f gdx
F (t) =
oraz
a
Z
t
f dx,
t ∈ [a, b].
a
Wobec twierdzenia 11.6.1, funkcja F jest ciągła, więc istnieją
m = min F ([a, b])
oraz
M = max F ([a, b]).
Pokażemy, że
mg(a) 6 A,
(11.41)
A 6 M g(a).
Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Niech, wobec lematu 11.5.1, η > 0 będzie takie że dla
każdego podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od η, mamy
Z
Z xi
n
b
X
f dx < ε
g(xi−1 )
f gdx−
a
xi−1
(11.42)
i=1
Weźmy dowolny podział P = (x0 , ...xn ) przedziału [a, b] taki, że δ(P) < η. Wówczas
Z
xi
xi−1
f dx = F (xi ) − F (xi−1 ),
więc z (11.42) mamy
n
X
A−ε<
(11.43)
g(xi−1 )[F (xi ) − F (xi−1 )] < A + ε
i=1
Z drugiej strony, stosując przekształcenie Abela, i uwzględniając, że F (x0 ) = 0,
(11.44)
n
X
n−1
X
g(xi−1 )[F (xi ) − F (xi−1 )] =
i=1
F (xi )[g(xi−1 ) − g(xi )] + F (xn )g(xn−1 ).
i=1
Z założenia, że g jest funkcją malejącą mamy g(xi−1 ) − g(xi ) > 0 oraz g(xn−1 ) > g(b) > 0.
W konsekwencji (11.44) daje
n
X
i=1
n−1
X
g(xi−1 )[F (xi ) − F (xi−1 )] >
i=1
m[g(xi−1 ) − g(xi )] + mg(xn−1 ) = mg(x0 ) = mg(a)
258
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
oraz
n
X
n−1
X
g(xi−1 )[F (xi ) − F (xi−1 )] 6
i=1
M [g(xi−1 ) − g(xi )] + M g(xn−1 ) = M g(a).
i=1
Z (11.43) wynika, więc mg(a) < A + ε i A − ε < M g(a), z dowolności ε > 0 zaś, (11.41).
Wobec (11.41) i ciągłości funkcji F , istnieje c ∈ [a, b], że zachodzi (11.40). To daje (b).
Udowodnimy teraz (a). Funkcja g − g(b) jest malejąca i w punkcie b przyjmuje wartość
zero. Zatem z udowodnionej części (b) wynika, że istnieje c ∈ [a, b], że
Z
b
f [g − g(b)]dx = [g(a) − g(b)]
Z
a
c
f dx.
a
W konsekwencji
Z
b
f gdx = g(a)
a
Z
c
f dx + g(b)
Z
a
b
Z
f dx −
a
!
c
f dx = g(a)
a
Z
c
f dx + g(b)
a
Z
b
To daje (a) i kończy dowód.
11.8
f dx.
c
Zbieżność jednostajna a całkowanie
Twierdzenie 11.8.1. Niech (fn )∞
n=1 będzie ciągiem funkcji określonych na przedziale
[a, b]. Jeśli fn ∈ R([a, b]) dla n ∈ N oraz ciąg (fn )∞
n=1 jest jednostajnie zbieżny w [a, b] do
funkcji f , to f ∈ R([a, b]) oraz
Z
(11.45)
b
f dx = lim
a
n→∞
Z
b
a
fn dx
(3 ).
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Z jednostajnej zbieżności ciągu (fn )∞
n=1 do funkcji f
w przedziale [a, b], istnieje n ∈ N takie, że
dla każdego
x ∈ [a, b],
mamy
|fn (x) − f (x)| <
ε
,
3(b − a)
czyli
fn (x) −
(11.46)
ε
ε
< f (x) < fn (x) +
3(b − a)
3(b − a)
dla x ∈ [a, b].
Ponieważ fn ∈ R([a, b]), więc fn jest funkcją ograniczoną w przedziale [a, b], zatem z
(11.46) dostajemy, że funkcja f jest ograniczona w tym przedziale. Niech, wobec twierdzenia 11.2.2, P będzie podziałem przedziału [a, b] takim, że
ε
U (P, fn ) − L(P, fn ) < .
3
(11.47)
3
inaczej
Rb
a
Rb
lim fn dx = lim a fn dx.
n→∞
n→∞
11.9. CAŁKOWANIE FUNKCJI O WARTOŚCIACH WEKTOROWYCH
Z (11.46) i definicji dolnej i górnej sumy Darboux, dostajemy łatwo
ε
ε
L(P, fn ) − 6 L(P, f )
oraz
U (P, f ) 6 U (P, fn ) +
3
3
Stąd i z (11.47) wynika, że
ε
ε
U (P, f ) − L(P, f ) 6 U (P, fn ) + − L(P, fn ) + < ε.
3
3
To, wobec dowolności ε > 0 i twierdzenia 11.2.2 daje, że f ∈ R([a, b]).
Pokażemy (11.45). Niech
Mn = sup{|fn (x) − f (x)| : x ∈ [a, b]}
259
(4 ).
n ∈ N.
dla
Wobec jednostajnej zbieżności ciągu (fn )∞
n=1 do funkcji f w [a, b], z własności 8.2.7 mamy,
że n→∞
lim Mn = 0. Ponadto, z twierdzenia 11.1.3(c),
Z
Z
Z b
b
b
fn dx −
f dx = (fn − f )dx 6 Mn (b − a).
a
a
a
Stąd, ponieważ lim Mn (b − a) = 0, mamy tezę.
n→∞
Z twierdzenia 11.8.1 dostajemy natychmiast
Wniosek 11.8.2. Niech (fn )∞
n=1 będzie ciągiem funkcji określonych na przedziale [a, b].
Jeśli fn ∈ R([a, b]) dla n ∈ N oraz szereg
∞
P
fn jest jednostajnie zbieżny w [a, b] do
n=1
funkcji f , to f ∈ R([a, b]) oraz
Z
(11.48)
b
f dx =
a
11.9
∞ Z
X
n=1
b
a
fn dx.
Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych
Definicja . Przez Rk oznaczamy k-krotny iloczyn kartezjański zbioru R. Dokładniej jest
to zbiór wszystkichqk-wyrazowych ciągów liczbowych. Dla punktu x = (x1 , ..., xk ) ∈ Rk ,
oznaczamy kxk = x21 + · · · + x2k i nazywamy normą x. Jeśli x, y ∈ Rk , to liczbę kx − yk,
gdzie x − y = (x1 − y1 , ..., xk − yk ), nazywamy odległością euklidesową punktów x i y.
Uwaga 11.9.1. Funkcja k · k : Rk × Rk → R określona wzorem kx − yk jest metryką w
Rk . Istotnie dla x, y ∈ Rk mamy kx−yk > 0, kx−yk = ky −xk oraz kx−xk = 0. Również
z warunku kx − yk = 0 łatwo wynika, że x = y. Nierówność kx − yk 6 kx − zk + kz − yk,
gdzie z ∈ Rk , wynika z nierówności Schwarza (5 ).
4
Istotnie, jeśli P = (x0 , ..., xk ), to (11.46) daje, że L(P, f ) =
k
P
inf f ([xi−1 , xi ])(xi − xi−1 )
i=1
>
k
P
inf fn ([xi−1 , xi ])(xi − xi−1 )−
i=1
k
P
i=1
ε
3(b−a) (xi
− xi−1 ) = L(P, fn ) − 3ε . Analogicznie pokazujemy
U (P, f ) 6 U (P, fn ) + 3ε .
5
Istotnie, z nierówności Schwarza (twierdzenie 8.8.1) dla a = (a1 , ..., ak ), b = (b1 , ..., bk ) mamy ka +
k
P
ai bi + kbk2 6 kak2 + 2kakkbk + kbk2 = (kak + kbk)2 , więc ka + bk 6 kak + kbk.
bk2 = kak2 + 2
i=1
Oznaczając teraz a = x − z, b = z − y dostajemy kx − yk 6 kx − zk + kz − yk.
260
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Definicja . Niech f1 , ..., fk będą funkcjami określonymi na przedziale [a, b] i niech f =
(f1 , ..., fk ) : [a, b] → Rk będzie odwzorowaniem przedziału [a, b] w przestrzeń Rk . Jeśli
fi ∈ R([a, b]) dla i = 1, ..., k, to mówimy, że odwzorowanie f jest całkowalne w sensie
Riemanna w przedziale [a, b] i piszemy f ∈ R([a, b]). Wtedy określamy
Z
b
Z
f dx =
a
b
f1 dx, ...,
a
!
b
Z
fk dx
a
i nazywamy całką Riemanna odwzorowania f na przedziale [a, b].
Twierdzenie 11.9.2. Niech f = (f1 , ..., fk ) : [a, b] → Rk będzie odwzorowaniem całkowalnym w sensie Riemanna na przedziale [a, b]. Wówczas funkcja kf k : [a, b] → R określona
wzorem x 7→ kf (x)k jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b] oraz
Z
Z b
b
f dx 6
kf kdx.
a
a
Dowód. Wobec twierdzenia 11.2.4 mamy fi2 ∈ R([a, b]) dla i = 1, ..., k, więc z twierdzenia 11.1.3, f12 + · ·√· + fk2 ∈ R([a, b]). Ponadto f12 (x) + · · · + fk2 (x) > 0 dla x ∈ [a, b]
oraz funkcja ϕ(t) = t, t ∈ [0, +∞) jest ciągła. Zatem ponownie z twierdzenia 11.2.4
dostajemy kf k ∈ R([a, b]).
R
R
Oznaczmy yi = ab fi dx, i = 1, ..., k i niech y = (y1 , ..., yk ) ∈ Rk . Wtedy y = ab f dx
oraz
!
k
X
kyk2 =
k
X
yi2 =
i=1
yi
i=1
Z
b
a
fi dx =
Z
k
X
b
a
yi fi dx.
i=1
k
P
Z nierówności Schwarza,
yi fi (x) 6 kykkf (x)k dla x ∈ [a, b]. Zatem z twierdzenia 11.1.3
i=1
mamy
!
kyk2 6
Z
b
a
k
X
yi fi dx 6 kyk
Z
i=1
b
kf kdx.
a
Jeśli y = (0, ..., 0), to teza jest oczywista. Jeśli y 6= (0, ..., 0), to kyk > 0 i dzieląc powyższą
nierówność przez kyk dostajemy tezę.
11.10
Krzywe prostowalne
Definicja krzywej. Niech γ1 , ..., γk : [a, b] → R będą funkcjami ciągłymi.
Odwzorowanie γ = (γ1 , ..., γk ) : [a, b] → Rk nazywamy krzywą. Punkty γ(a), γ(b)
nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej γ.
Jeśli γ jest odwzorowaniem różnowartościowym, to krzywą γ nazywamy łukiem.
Jeśli γ(a) = γ(b), to krzywą γ nazywamy zamkniętą.
Jeśli wszystkie funkcje γ1 , ..., γk sę różniczkowalne w przedziale [a, b] oraz γ10 , ..., γk0 są
ciągłe, to γ nazywamy krzywą gładką.
11.10. KRZYWE PROSTOWALNE
261
Definicja długości krzywej. Niech γ : [a, b] → R będzie krzywą. Dla każdego podziału
P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] określamy
n
X
V (P, γ) =
kγ(xi ) − γ(xi−1 )k.
i=1
Długością krzywej γ nazywamy
V (γ) = sup{V (P, γ) : P jest podziałem przedziału [a, b]}.
Jeśli V (γ) < +∞, to krzywą γ nazywamy prostowalną.
Twierdzenie 11.10.1. Jeśli γ : [a, b] → Rk jest krzywą gładką, to γ jest prostowalna
oraz
V (γ) =
(11.49)
b
Z
kγ 0 (t)kdt,
a
gdzie γ 0 = (γ10 , ..., γk0 ) : [a, b] → Rk .
Dowód. Ponieważ γj0 są funkcjami ciągłymi, więc z γj0 ∈ R([a, b]) i z twierdzenia
11.9.2, kγ 0 k ∈ R([a, b]). Niech P = (x0 , ..., xn ) będzie podziałem przedziału [a, b]. Ponieważ γj jest funkcją pierwotną funkcji γj0 , więc z podstawowego twierdzenia rachunku
całkowego 11.5.3 oraz twierdzenia 11.9.2, mamy
Z
Z xi
xi
0
kγ 0 (t)kdt.
γ (t)dt 6
kγ(xi ) − γ(xi−1 )k = xi−1
xi−1
Zatem
n Z
X
V (P, γ) 6
i=1
xi
kγ 0 (t)kdt =
xi−1
Z
b
kγ 0 (t)kdt.
a
Stąd i z dowolności wyboru podziału P wynika
V (γ) 6
(11.50)
Z
b
kγ 0 (t)kdt.
a
Pokażemy nierówność przeciwną do (11.50). Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ funkcje
są jednostajnie ciągłe na przedziale [a, b], więc istnieje δ > 0 taka, że dla każdych
ε
t1 , t2 ∈ [a, b] takich, że |t1 − t2 | < δ, zachodzi |γj0 (t1 ) − γj0 (t2 )| < √1k 2(b−a)
i w konsekwencji
ε
0
0
kγ (t1 ) − γ (t2 )k < 2(b−a) . Mamy więc
γj0
(11.51)
|t1 − t2 | < δ
⇒
kγ 0 (t1 ) − γ 0 (t2 )k <
ε
.
2(b − a)
Dla podziału P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] o średnicy mniejszej od δ, z (11.51), dostajemy
ε
kγ 0 (t)k 6 kγ 0 (xi )k +
dla t ∈ [xi−1 , xi ].
2(b − a)
262
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Zatem dla każdego i = 1, ..., n, uwzględniając (11.51), mamy
R xi
xi−1
kγ 0 (t)kdt 6 kγ 0 (xi )k(xi − xi−1 ) +
ε
(xi
2(b−a)
R
xi
= 0
0
0
xi−1 [γ (t) + γ (xi ) − γ (t)]dt +
R
xi
6 − xi−1 )
R
xi
0
xi−1 γ (t)dt + ε
(xi
2(b−a)
0
0
xi−1 [γ (xi ) − γ (t)]dt +
− xi−1 )
ε
(xi
2(b−a)
− xi−1 )
ε
6 kγ(xi ) − γ(xi−1 )k + 2 2(b−a)
(xi − xi−1 ).
Stąd i z określenia V (γ), mamy
Z
b
a
kγ 0 (t)kdt 6 V (P, γ) + 2
z dowolności ε > 0 zaś, że
Rb
a
ε
(b − a) = V (P, γ) + ε,
2(b − a)
kγ 0 (t)kdt 6 V (γ). To, wraz z (11.50) daje (11.49).
Z twierdzenia 11.10.1 dostajemy natychmiast
Wniosek 11.10.2. Niech x, R ∈ R, x, R > 0 oraz niech γ(t) = (R cos t, R sin t), t ∈ [0, x].
Wówczas V (γ) = xR.
Dowód. Istotnie, γ jest krzywą gładką oraz kγ 0 (t)k = R dla t ∈ [0, x]. Zatem z
twierdzenia 11.10.1 dostajemy tezę.
Uwaga 11.10.3. Rozważmy rodzinę krzywych γx (t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, x], gdzie x > 0.
Zbiorem wartości γ2π jest okrąg jednostkowy, to znaczy C = {(u, v) ∈ R2 : u2 + v 2 = 1}.
Ponadto dla każdego x ∈ (0, 2π], zbiorem wartości γx jest łuk Cx , okręgu C, o początku
(1, 0) i końcu (u, v) = (cos x, sin x). Zgodnie z wnioskiem 11.10.2, długość tego łuku Cx
jest równa x. Zatem dla każdego punktu (u, v) ∈ C oraz łuku Cx o końcu (u, v) mamy u =
cos V (Cx ), v = sin V (Cx ). To daje, że definicje funkcji trygonometrycznych (wprowadzone
wcześniej) pokrywają się z poznanymi w szkole średniej.
11.11
Miara Jordana a całka Riemanna
W punkcie tym pokażemy, że dla każdej funkcji f : [a, b] → R całkowalnej
w sensie
Rb
Riemanna w przedziale [a, b] i takiej, że f (x) > 0 dla x ∈ [a, b], całka a f dx jest miarą w
sensie Jordana zbioru {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ 0 6 y 6 f (x)}.
Definicja . Prostokątem nazywamy podzbiór P płaszczyzny R2 , postaci
P = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ],
(6 )
gdzie [a1 , b1 ], [a2 , b2 ] są przedziałami domkniętymi.
Wnętrzem prostokąta P nazywamy zbiór Int P = (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ).
Miarą prostokąta P = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] nazywamy liczbę |P| = (b1 − a1 ) · (b2 − a2 ).
Dla rodziny prostokątów Π = {P1 , ..., Pk } przyjmujemy |Π| = |P1 | + · · · + |Pk |.
6
inaczej P = {(x, y) ∈ R2 : a1 6 x 6 b1 ∧ a2 6 y 6 b2 }.
11.11. MIARA JORDANA A CAŁKA RIEMANNA
263
Twierdzenie 11.11.1. Niech P będzie prostokątem oraz niech {P1 , ..., Pk } będzie rodziną
prostokątów takich, że Int Pi ∩ Int Pj = ∅ dla i 6= i.
(a) Jeśli P1 ∪ . . . ∪ Pk = P, to |P1 | + · · · + |Pk | = |P|.
(b) Jeśli Pj ⊂ P dla j = 1, ..., k, to |P1 | + · · · + |Pk | 6 |P|.
Dowód części (a) powyższego twierdzenia można znaleźć w książce [7] (twierdzenie
1.16, strona 34). Część (b) wynika z (a) i lematu 2 na stronie 33 w książce [7].
Definicja . Zbiór X ⊂ R2 nazywamy ograniczonym, gdy istnieje prostokąt P, że X ⊂ P.
Definicja miary zewnętrznej Jordana. Niech D ⊂ R2 będzie zbiorem ograniczonym.
Oznaczmy przez U(D) zbiór wszystkich rodzin prostokątów Π = {P1 , ..., Pk } takich,
że
D ⊂ P1 ∪ . . . ∪ Pk
oraz
Int Pi ∩ Int Pj = ∅ dla i 6= j.
Miarą zewnętrzną Jordana zbioru D nazywamy liczbę
mz (D) = inf{|Π| : Π ∈ U(D)}.
Uwaga 11.11.2. Miara zewnętrzna Jordana jest poprawnie określona. Istotnie, dla zbioru
ograniczonego D, istnieje prostokąt P taki, że D ⊂ P. Zatem U(D) 6= ∅. Ponadto zbiór
{|Π| : Π ∈ U(D)} jest ograniczony z dołu przez liczbę 0. W konsekwencji mamy mz (D) >
0.
Wprost z definicji miary zewnętrznej Jordana mamy
Własność 11.11.3. Jeśli zbiory A, B ⊂ R2 są ograniczone i A ⊂ B, to mz (A) 6 mz (B).
Definicja miary wewnętrznej Jordana. Niech D ⊂ R2 będzie zbiorem ograniczonym.
Oznaczmy przez L(D) zbiór wszystkich rodzin prostokątów Π = {P1 , ..., Pk } takich,
że
P1 ∪ . . . ∪ Pk ⊂ D
oraz
Int Pi ∩ Int Pj = ∅ dla i 6= j.
Miarą wewnętrzną Jordana zbioru D nazywamy liczbę
mw (D) = sup{|Π| : Π ∈ L(D)}, gdy L(D) 6= ∅ oraz mw (D) = 0, gdy L(D) = ∅.
Własność 11.11.4. Jeśli D ⊂ R2 jest zbiorem ograniczonym, to 0 6 mw (D) 6 mz (D).
Dowód. Jeśli mw (D) = 0, to teza jest oczywista. Załóżmy, że mw (D) > 0. Weźmy
dowolny Π = {P1 , ..., Pk } ∈ L(D) oraz niech A = P1 ∪ . . . ∪ Pk . Zauważmy, że
(11.52)
|Π| 6 mz (A).
Istotnie, weźmy dowolny Π0 = {Q1 , ..., Ql } ∈ U(A). Wtedy
Π̃ = {Pi ∩ Qj : Int Pi ∩ Int Qj 6= ∅, i ∈ {1, ..., k}, j ∈ {1, ..., l}} ∈ U(A),
264
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Πi = {R ∈ Π̃ : R ⊂ Pi } ∈ U(Pi ) dla i = 1, ..., k,
Π0j = {R ∈ Π̃ : R ⊂ Qj } ∈ L(Qj ) dla j = 1, ..., l.
Z twierdzenie 11.11.1(a) mamy |Pi | = |Πi | dla i = 1, ..., k, z twierdzenie 11.11.1(b) zaś,
|Π0j | 6 |Qj | dla j = 1, ..., l. Reasumując
|Π| = |Π1 | + · · · + |Πk | = |Π01 | + · · · + |Π0l | 6 |Q1 | + · · · + |Ql | = |Π0 |.
To daje (11.52). Ponieważ A ⊂ D, więc z (11.52) i własności 11.11.3 mamy |Π| 6 mz (D).
Stąd, wobec dowolności Π i definicji miary wewnętrznej Jordana, dostajemy tezę.
Definicja zbioru mierzalnego w sensie Jordana. Zbiór ograniczony D ⊂ R2 nazywamy mierzalnym w sensie Jordana, gdy mw (D) = mz (D) (7 ).
Jeśli D ⊂ R2 jest zbiorem mierzalnym w sensie Jordana, to miarę zewnętrzną zbioru
D nazywamy miarą Jardana zbioru D i oznaczamy mJ (D).
Zbiór wszystkich mierzalnych w sensie Jordana podzbiorów zbioru R2 oznaczamy J .
Udowodnimy teraz zapowiedziane zastosowanie geometryczne całki Riemanna.
Twierdzenie 11.11.5. Niech f, g ∈ R([a, b]) oraz f (x) > g(x) dla x ∈ [a, b]. Wówczas
zbiór D = {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b ∧ g(x) 6 y 6 f (x)} jest mierzalny w sensie Jordana
i
mJ (D) =
(11.53)
b
Z
(f − g)dx.
a
Dowód. Zauważmy najpierw, że
mz (D) 6
(11.54)
Z
b
(f − g)dx.
a
Istotnie, weźmy dowolne ε > 0. Wobec twierdzenia 11.2.2, istnieje podział P = (x0 , ..., xn )
przedziału [a, b] taki, że
(11.55)
U (P, f ) −
Z
b
a
ε
f dx <
3
oraz
Z
b
a
ε
gdx − L(P, g) < .
3
Niech
mgi = inf g([xi−1 , xi ]),
Mif = sup f ([xi−1 , xi ])
dla i = 1, ..., n
oraz niech Π1 = {P1 , ..., Pn }, gdzie
#
"
Pi = [xi−1 , xi ] ×
mgi
ε
ε
, Mif +
,
−
6(b − a)
6(b − a)
i = 1, ..., n.
Łatwo sprawdzamy, że Π1 ∈ U(D) oraz
|Pi | = (Mif − mgi )(xi − xi−1 ) +
ε
(xi − xi−1 )
3(b − a)
dla i ∈ {1, ..., n}.
7
W literaturze przyjmuje się również, że zbiór ograniczony D ⊂ R2 jest mierzalny w sensie Jordana,
gdy dla każdego zbioru ograniczonego Z ⊂ R2 zachodzi mz (Z) = mz (Z ∩D)+mz (Z \D). Można pokazać,
że ten warunek jest równoważny warunkowi mw (D) = mz (D).
11.11. MIARA JORDANA A CAŁKA RIEMANNA
265
Zatem dodając |Pi |, i = 1, ..., n i uwzględniając (11.55), mamy
|Π1 | = U (P, f ) − L(P, g) +
= U (P, f ) −
<
ε
3
+ 3ε +
Rb
Rb
a
a (f
f dx +
ε
3
Rb
a
− g)dx +
gdx − L(P, g) +
ε
3
=
Rb
a (f
Rb
a (f
− g)dx +
ε
3
− g)dx + ε.
Rb
Stąd mamy
mz (D) 6 a (f − g)dx + ε, więc z dowolności ε > 0 dostajemy (11.54).
Rb
Jeśli a (f − g)dx = 0, to z (11.54) mamy mz (D) = 0, więc z własności 11.11.4,
dostajemy mJ (D)
= 0, co daje (11.53) w tym przypadku.
R
R
Załóżmy, że ab (f − g)dx > 0 i oznaczmy A = ab (f − g)dx. Weźmy dowolne ε > 0.
Wówczas istnieje podział P = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, b] taki, że
Z b
ε
ε
(11.56)
f dx − < L(P, f )
oraz
U (P, g) <
gdx + .
3
3
a
a
Bez zmniejszenia ogólności rozważań, można założyć, że ε < A. Niech
Z
b
mfi = inf f ([xi−1 , xi ]),
Mig = sup g([xi−1 , xi ])
dla i = 1, ..., n
oraz niech
"
Qi = [xi−1 , xi ] ×
#
Mig
ε
ε
+
, mfi −
,
6(b − a)
6(b − a)
i = 1, ..., n,
ε
ε
> mfi − 6(b−a)
. Co najmniej jeden zbiór Qi
gdzie przyjmujemy Qi = ∅, gdy Mig + 6(b−a)
jest niepusty. Istotnie, w przeciwnym razie
ε
ε
Mig +
> mfi −
dla
i = 1, ..., n,
6(b − a)
6(b − a)
więc mnożąc powyższe nierówności przez xi − xi−1 i dodając, dostajemy
ε
ε
L(P, f ) − 6 U (P, g) + ,
6
6
ε
więc L(P, f ) − U (P, g) 6 3 . Uwzględniając teraz (11.56) mamy
b
b
ε
ε
ε ε ε
− U (P, g) + 6 + + = ε.
3
3
3 3 3
a
a
To jest sprzeczne z założeniem, że A > ε. W konsekwencji, istnieje Qi 6= ∅. Niech Π2 =
{Q1 , ..., Qn }. Łatwo sprawdzamy, że Π2 ∈ L(D) oraz
ε
(xi − xi−1 )
dla i ∈ {1, ..., n}.
|Qi | > (mfi − Mig )(xi − xi−1 ) −
3(b − a)
A=
Z
f dx −
Z
gdx < L(P, f ) +
Zatem dodając |Qi |, i = 1, ..., n, i uwzględniając (11.56), mamy
ε Zb
ε Zb
ε ε
|Π2 | > L(P, f ) − U (P, g) − >
f (x) − −
gdx − − = A − ε.
3
3
3 3
a
a
W konsekwencji mw (D) > |Π2 | > A − ε. Z dowolności ε > 0 dostajemy, że mw (D) > A.
To, wraz z (11.54) i własnością 11.11.4 daje, że mJ (D) = A i kończy dowód.
Z twierdzenia 11.11.5 dostajemy natychmiast
266
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Wniosek 11.11.6. Niech f ∈ R([a, b]) oraz f (x) > 0 dla x ∈ [a, b]. Wówczas zbiór
{(x, y) ∈ R2 : a 6 xR6 b ∧ 0 6 y 6 f (x)} jest mierzalny w sensie Jordana i jego miara
Jordana jest równa ab f dx.
Przytoczymy jeszcze, bez dowodu, podstawowe własności miary Jordana. Dowody te przeprowadza
się w ”Teorii miary”.
Własność 11.11.7. Niech A, B ⊂ R2 będą zbiorami ograniczonymi.
(a) Jeśli A, B ∈ J , to A ∪ B, A ∩ B, A \ B ∈ J .
(b) Jeśli A, B ∈ J oraz A ∩ B = ∅, to mJ (A ∪ B) = mJ (A) + mJ (B).
(c) Jeśli A ⊂ B i mJ (B) = 0, to A ∈ J .
11.12
Całki niewłaściwe
Dotychczas rozważaliśmy całkę Riemanna dla funkcji ograniczonych w przedziale domkniętym. W tym punkcie rozszerzymy to pojęcie na przypadek funkcji nieograniczonych
określonych w dowolnych przedziałach.
11.12.1
Całki niewłaściwe w przedziale nieograniczonym
Definicja całki funkcji w przedziale [a, +∞). Niech f będzie funkcją określoną w
przedziale [a, +∞). Jeśli dla każdego β > a funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna
w przedziale [a, β] oraz istnieje skończona granica
(11.57)
Z
A = lim
β→+∞
β
f dx,
a
to liczbę A nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale [a, +∞) lub
całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, +∞) i oznaczmy
(11.58)
Z
+∞
f dx.
a
Wtedy mówimy, że całka (11.58) jest zbieżna do A.
Jeśli granica (11.57) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
funkcja f w przedziale [a, +∞)
nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna.
R +∞
Jeśli zbieżna jest całka a |f |dx, to mówimy, że całka (11.58) jest bezwzględnie zbieżna.
Jeśli całka (11.58) jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka
ta jest warunkowo zbieżna.
Analogicznie określamy całkę funkcji w przedziale (−∞, b], którą oznaczamy
Rb
−∞
f dx.
Definicja całki funkcji w przedziale (−∞, b]. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (−∞, b].
Jeśli dla każdego α < b funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [α, b] oraz istnieje
skończona granica
Z b
f dx,
(11.59)
B = lim
α→−∞
α
11.12. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
267
to liczbę B nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale (−∞, b] lub całką niewłaściwą
funkcji f w przedziale (−∞, b] i oznaczmy
Z b
(11.60)
f dx.
−∞
Wtedy mówimy, że całka (11.60) jest zbieżna do B.
Jeśli granica (11.59) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcja f w
przedziale (−∞, b] nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna.
Rb
Jeśli zbieżna jest całka −∞ |f |dx, to mówimy, że całka (11.60) jest bezwzględnie zbieżna.
Jeśli całka (11.60) jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka ta jest warunkowo zbieżna.
Definicja całki funkcji w przedziale (−∞, +∞). Niech fR będzie funkcją
określoną
R +∞
c
w przedziale (−∞, +∞). Jeśli istnieje c ∈ R takie, że całki −∞ f dx oraz c f dx są
zbieżne, to określamy całkę niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale (−∞, +∞) jako
Z
(11.61)
+∞
f dx =
Z
−∞
c
f dx +
Z
−∞
+∞
f dx,
c
i mówimy, że Rcałka ta jest Rzbieżna.
c
Jeśli całka R−∞
f dx lub c+∞ f dx jest rozbieżna,
to całkę (11.61) nazywamy rozbieżną.
R +∞
+∞
f dx nazywamy bezwzględnie zbieżną.
|f |dx jest zbieżna, to całkę −∞
Jeśli całka R−∞
+∞
Jeśli całka −∞ f dx jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że
całka ta jest warunkowo zbieżna.
Łatwo sprawdzamy, że zachodzi następująca
Własność
11.12.1. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (−∞, +∞). Wówczas
R +∞
całka
f
−∞ dxR jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego c ∈ R zbieżne są całki
Rc
+∞
f dx.
−∞ f dx oraz c
Z własności całki Riemanna i własności granicy dostajemy natychmiast podstawowe
własności całek niewłaściwych. Przedstawimy je w przypadku całek na przedziale [a, +∞).
Analogiczne własności zachodzą dla całek na przedziałach (−∞, b] oraz (−∞, +∞).
Twierdzenie
11.12.2.
Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a, +∞) oraz
R
R
niech całki a+∞ f dx, a+∞ gdx będą zbieżne.
Wówczas:
R +∞
(a) Dla każdego β ∈ R, β > a, całka β f dx jest zbieżna i
Z
+∞
f dx =
a
β
Z
f dx +
a
Z
+∞
f dx,
ponadto
β
(b) Dla każdego c ∈ R zbieżna jest całka
Z
R +∞
cf dx = c
Z
a
(c) Całki
Z
R +∞
a
[f + g]dx i
+∞
a
[f + g]dx =
Z
R +∞
a
+∞
a
f dx +
β→+∞
+∞
f dx = 0.
β
cf dx oraz
a
+∞
Z
lim
+∞
f dx.
a
[f − g]dx są zbieżne i
Z
+∞
a
gdx,
Z
+∞
a
[f − g]dx =
Z
+∞
a
f dx −
Z
+∞
a
gdx.
268
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Z twierdzenia 11.12.2 dostajemy
Wniosek
11.12.3. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, +∞) taką, że całka
R +∞
f
dx
jest
zbieżna. Jeśli istnieje granica g = lim f (x), to g = 0.
a
x→+∞
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że g 6= 0. Niech najpierw g > 0 i niech q ∈ R będzie
takie, że 0 < q < g. Wtedy istnieje β0 ∈ R, β0 > a takie, że f (x) > q dla x > β0 . Zatem
dla każdego β > β0 mamy
Z
β
f dx =
Z
a
więc lim
β→+∞
Rβ
a
β0
f dx +
β
Z
a
f dx >
β0
Z
β0
a
f dx + q(β − β0 ),
f dx = +∞. To przeczy założeniu, że całka
R +∞
a
f dx jest zbieżna i kończy
dowód w tym przypadku. Analogicznie rozważamy przypadek, gdy g < 0.
Twierdzenie 11.12.4. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, +∞) taką, że
f ∈ R([a, β]) Rdla każdego β > a. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) całka a+∞ f dx jest zbieżna.
lim βn = +∞,
(b) dla każdego ciągu (βn )∞
n=0 takiego, że a = β0 < β1 < . . . oraz n→∞
zbieżny jest szereg
∞ Z
X
(11.62)
βn
f dx.
βn−1
n=1
Dowód. Oznaczmy F (β) = aβ f dx, β ∈ [a, +∞).
Ad. (a)⇒(b). Weźmy dowolny ciąg (βn )∞
n=0 taki, że a = β0 < β1 < ... i lim βn = +∞.
R
Wówczas F (βn ) =
n→∞
n R
P
βi
i=1
βi−1
lim
f dx dla n ∈ N. Wobec (a), całka
n Z
X
n→∞
i=1
βi
f dx = lim F (βn ) =
n→∞
βi−1
Z
R +∞
a
f dx jest zbieżna, więc
+∞
a
f dx ∈ R.
To daje (b).
Ad. (b)⇒(a). Dla dowolnego ciągu (βn )∞
n=0 , gdzie a = β0 < β1 < . . . oraz
lim βn = +∞, mamy F (βn ) =
n→∞
n R
P
βi
i=1
βi−1
f dx, więc wobec (b) istnieje skończona grani-
ca n→∞
lim F (βn ). Z twierdzenia 6.3.12, więc istnieje skończona granica lim F (β). To daje
β→+∞
(a).
Twierdzenie 11.12.5. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, +∞) taką, że f ∈
R([a, β]) dla Rkażdego β > a. Niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) całka a+∞ f dx jest zbieżna do A.
lim βn = +∞,
(b) dla każdego ciągu (βn )∞
n=0 takiego, że a = β0 < β1 < . . . oraz n→∞
∞ Z
X
n=1
βn
βn−1
f dx = A.
11.12. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
269
Dowód. Oznaczmy F (β) = aβ f dx, β ∈ [a, +∞).
Ad. (a)⇒(b) Z (a), przy oznaczeniach (b) mamy
R
lim
n Z
X
n→∞
βn
βn−1
i=1
f dx = lim F (βn ) = A.
n→∞
To daje (b).
(b)⇒(a) Z (b) dla każdego ciągu (βn )∞
lim βn = +∞,
n=0 , gdzie a = β0 < β1 < . . . i n→∞
mamy
n Z
X
lim F (βn ) =n→∞
lim
n→∞
βn
f dx = A.
βn−1
i=1
To, wobec twierdzenia 6.3.12, daje (a).
Analogiczne twierdzenia do 11.12.4 i 11.12.5 zachodzą dla całek w przedziale (−∞, b]. Przytoczymy
pierwsze z nich.
Twierdzenie 11.12.6. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (−∞, b] oraz f ∈ R([α, b]) dla
każdego α < b. Wówczas następujące warunki są równoważne:
Rb
(a) całka −∞ f dx jest zbieżna.
(b) dla każdego ciągu (βn )∞
n=0 takiego, że b = β0 > β1 > . . . oraz lim βn = −∞, zbieżny jest szereg
n→∞
∞ Z
X
n=1
βn−1
f dx.
βn
Twierdzenie 11.12.7. Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a, +∞) oraz
niech f, g ∈ R([a, β])
dla każdego β > a.
R +∞
(a) Jeśli całka a f dx jest bezwzględnie zbieżna, to jest zbieżna oraz
+∞
Z
f dx 6
a
+∞
Z
|f |dx.
a
(b) Jeśli |f (x)| 6 g(x) dla x ∈ [a, +∞) oraz całka
R +∞
f dx jest zbieżna bezwzględnie oraz
a
Z
+∞
a
|f |dx 6
Z
a
gdx jest zbieżna, to całka
+∞
gdx.
a
(c) Jeśli 0 6 f (x) 6 g(x) dla x ∈ [a, +∞) oraz całka
gdx jest rozbieżna.
R +∞
a
R +∞
R +∞
a
f dx jest rozbieżna, to całka
Dowód. Ad. (a) Weźmy dowolny ciąg (βn )∞
lim βn =
n=1 taki, że a = β0 < β1 < ... i n→∞
+∞. Oznaczmy
an =
Z
βn
βn−1
f dx,
bn =
Z
βn
|f |dx
βn−1
dla n ∈ N.
Wówczas |an | 6 bn dla n ∈ N. Wobec założenia, że całka
zbieżna i twierdzenia 11.12.4 mamy, że szereg
∞
P
n=1
R +∞
a
f dx jest bezwzględnie
bn jest zbieżny, Zatem z kryterium
270
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
porównawczego mamy zbieżność szeregu
zbieżność całki
n=1
R +∞
an . To, wraz z twierdzeniem 11.12.4 daje
f dx. Ponadto z twierdzenia 11.12.5,
a
Z
∞
P
+∞
a
∞
Z +∞
∞
∞
X
X
X
an 6
|an | 6
bn =
|f |dx.
f dx = a
n=1
n=1
n=1
To daje (a).
Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a).
Część (c) wynika natychmiast z (b), gdyż z założenia mamy f (x) = |f (x)| dla
x ∈ [a, +∞).
Twierdzenie 11.12.8. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, +∞) taką, że
f (x) > 0 dla x ∈ [a, +∞) oraz niech f ∈ R([a, β]) dla każdego β > a. Wówczas następujące warunki są
równoważne:
R
(a) Całka a+∞ f dx jest zbieżna.
(b) Istnieje M ∈ R takie, że dla każdego β > a zachodzi
Z
β
a
f dx 6 M.
Dowód. Ponieważ f (x) > 0 dla x ∈ [a, +∞), więc funkcja F (β) = aβ f dx,
β ∈ [a, +∞) jest rosnąca. Zatem granica lim F (β) istnieje i jest skończona wtedy i
R
β→+∞
tylko wtedy, gdy funkcja F jest ograniczona. To daje tezę.
Twierdzenie 11.12.9. (kryterium całkowe zbieżności
f : [1, +∞) → R będzie funkcją monotoniczną. Wówczas
szereg
∞
X
f (n) jest zbieżny, wtedy i tylko wtedy, gdy całka
szeregów).
Z
Niech
∞
f dx
jest zbieżna.
1
n=1
Dowód. Oznaczmy an = f (n) dla n ∈ N. Ponieważ f jest funkcją monotoniczną, więc
istnieje granica g = lim f (x) i wtedy g =n→∞
lim an . Jeśli g 6= 0, to wobec wniosku 11.12.3 i
x→+∞
warunku koniecznego zbieżności szeregów liczbowych mamy, że zarówno szereg jak i całka
są rozbieżne. To daje tezę w tym przypadku.
Niech g = 0. Wówczas z założenia o monotoniczności funkcji f mamy, że f (x) > 0
dla x ∈ [1, +∞) lub f (x) 6 0 dla x ∈ [1, +∞). Rozważymy przypadek, gdy f (x) > 0
dla x ∈ [1, +∞). Wówczas f jest funkcją malejącą. Weźmy funkcje g, h : [1, +∞) → R
określone wzorami
g(x) = an ,
h(x) = an+1
dla
x ∈ [n, n + 1).
Oczywiście g(x), h(x) > 0 dla x ∈ [1, +∞) oraz g, h ∈ R([a, β]) dla każdego β > a.
Ponieważ f jest funkcją malejącą, to
(11.63)
g(x) > f (x) > h(x)
dla x ∈ [1, +∞).
11.12. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
271
∞
P
Jeśli szereg
an jest zbieżny, powiedzmy do A ∈ R, to dla każdego β > 1 oraz n > β
n=1
mamy
Z
1
β
gdx 6
n−1
X
n
Z
gdx =
1
an 6 A,
i=1
a więcR z (11.63) mamy 1β f dx 6 A. Zatem z twierdzenia 11.12.8 dostajemy zbieżność
całki 1+∞ f dx.
R
Jeśli całka 1+∞ f dx jest zbieżna, powiedzmy do B ∈ R, to z (11.63) dla każdego n ∈ N
mamy
R
n
X
i=1
Zatem szereg
∞
P
szereg
n=1
∞
P
n=1
ai+1 =
n
Z
1
hdx 6
Z
1
n
f dx 6 B.
an+1 , jako szereg o wyrazach nieujemnych, jest zbieżny. W konsekwencji
an jest zbieżny. To daje tezę w przypadku, gdy f (x) > 0 dla x ∈ [1, +∞).
Jeśli f (x) 6 0 dla x ∈ [1, +∞), to −f (x) > 0 dla x ∈ [1, +∞), więc z udowodnionego
powyżej przypadku dostajemy tezę.
11.12.2
Całki niewłaściwe w dowolnym przedziale
Definicja całki funkcji w przedziale [a, b). Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b), gdzie a < b, b ∈ R. Jeśli dla każdego β ∈ (a, b) funkcja f jest całkowalna w
sensie Riemanna w przedziale [a, β] oraz istnieje skończona granica
(11.64)
A = lim−
β→b
β
Z
f dx,
a
to liczbę A nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale [a, b) lub całką
niewłaściwą funkcji f w przedziale [a, b) i oznaczmy
(11.65)
Z
b
f dx.
a
Wtedy mówimy, że całka (11.65) jest zbieżna do A.
Jeśli granica (11.64) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa
funkcja f w przedziale [a, b) nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna.
R
Jeśli zbieżna jest całka ab |f |dx, to mówimy, że całka (11.65) jest bezwzględnie zbieżna.
Jeśli całka (11.65) jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka
ta jest warunkowo zbieżna.
Analogicznie określamy całkę funkcji w przedziale (a, b], którą oznaczamy
Rb
a
f dx.
Definicja całki funkcji w przedziale (a, b]. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a, b], gdzie
a < b, a ∈ R. Jeśli dla każdego α ∈ (a, b) funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna w przedziale [α, b]
oraz istnieje skończona granica
Z
(11.66)
b
B = lim
α→a+
f dx,
α
272
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
to liczbę B nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale (a, b] lub całką niewłaściwą
funkcji f w przedziale (a, b] i oznaczmy
b
Z
f dx.
(11.67)
a
Wtedy mówimy, że całka (11.67) jest zbieżna do B.
Jeśli granica (11.59) nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcja f w
przedziale (a, b] nie istnieje lub, że całka jest rozbieżna.
Rb
Jeśli zbieżna jest całka a |f |dx, to mówimy, że całka (11.67) jest bezwzględnie zbieżna.
Jeśli całka (11.60) jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka ta jest warunkowo zbieżna.
Definicja całki funkcji w przedziale (a, b). Niech f będzie funkcjąRokreśloną wR przedziale (a, b) gdzie a, b ∈ R, a < b. Jeśli istnieje c ∈ (a, b) takie, że całki ac f dx oraz cb f dx
są zbieżne, to określamy całkę niewłaściwą Riemanna funkcji f w przedziale (a, b) jako
(11.68)
Z
b
a
f dx =
Z
c
f dx +
a
Z
b
f dx,
c
i mówimy, że całka
ta jestR zbieżna.
R
Jeśli całka Rac f dx lub cb f dx jest rozbieżna,
to całkę (11.68) nazywamy rozbieżną.
Rb
b
Jeśli całka R a |f |dx jest zbieżna, to całkę a f dx nazywamy bezwzględnie zbieżną.
Jeśli całka ab f dx jest zbieżna lecz nie jest zbieżna bezwzględnie, to mówimy, że całka
ta jest warunkowo zbieżna.
Łatwo sprawdzamy, że zachodzi następująca
Własność 11.12.10.
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a, b). Wówczas:
Rb
(a)R całka a f dx
jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego c ∈ (a, b) zbieżne są
R
całki ac f dx oraz Rcb f dx.
R
R
R
(b) jeśli całka ab f dx jest zbieżna, to ab f dx = ac f dx + cb f dx dla każdego c ∈ (a, b).
W przypadku, gdy funkcja f jest ograniczona w przedziale, to pojęcie całki niewłaściwej funkcji na tym przedziale pokrywa się z definicją całki Riemanna. Przedstawimy to w
przypadku przedziału postaci [a, b). W pozostałych przypadkach rozumujemy analogicznie.
Twierdzenie 11.12.11. Niech f : [a, b) → R oraz g : [a, b] → R i niech f (x) = g(x)
dla x ∈ [a, b). Jeśli f jest funkcją ograniczoną
i dla każdego β ∈ (a, b), f ∈ R([a, β]), to
Rb
g ∈ R([a, b]) oraz całka niewłaściwa a f dx jest zbieżna i równa całce Riemanna funkcji
g w przedziale [a, b] (8 ).
8
Całka niewłaściwa jest więc istotnym rozszerzeniem pojęcie całki Riemanna tylko w przypadku funkcji
nieograniczonych. Prowadzi to do pojęcia punktu osobliwego dla całki niewłaściwej.
Definicja punktu osobliwego. Niech f będzie funkcją określoną w sąsiedztwie D punktu x0 (ewentualnie sąsiedztwie lewostronnym lub prawostronnym). Punkt x0 nazywamy punktem osobliwym funkcji f ,
gdy dla każdego sąsiedztwa D1 punktu x0 (ewentualnie sąsiedztwa lewostronnego lub prawostronnego)
funkcja f nie jest ograniczona w D ∩ D1 .
11.12. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
273
Dowód. Ponieważ f jest funkcją ograniczoną i zbiory wartości funkcji g i f różnią się
co najwyżej jednym punktem, więc funkcja g jest ograniczona. Niech więc M ∈ R, M > 0
będą takie, że −M < g(x) < M dla x ∈ [a, b]. Weźmy dowolne ε > 0 i niech β ∈ (a, b)
będzie takie, że
ε
2M (b − β) < .
2
Ponieważ f ∈ R([a, β]), to (z twierdzenia 11.2.2) istnieje podział P1 = (x0 , ..., xn ) przedziału [a, β] taki, że
ε
U (P1 , f ) − L(P1 , f ) < .
2
Połóżmy P2 = (x0 , .., xn , b). Wtedy P2 jest podziałem przedziału [a, b] oraz
U (P2 , g) − L(P2 , g) = U (P1 , f ) − L(P1 , f ) + sup g([β, b])(b − β) − inf g([β, b])(b − β)
ε
2
<
+ 2M (b − β) <
ε
2
ε
2
+
= ε.
To daje,Rże g ∈ R([a, b]). Zatem zgodnie z twierdzeniem 11.6.1, górna granica całkowania
G(β) = aβ gdx, β ∈ [a, b] jest funkcją ciągłą. Z założenia f (x) = g(x) dla x ∈ [a, b), więc
lim−
β→b
To daje, że całka
Rb
a
Z
β
f dx = lim−
β→b
a
β
Z
gdx = lim− G(β) = G(b) =
Z
β→b
a
f dx jest zbieżna do
Rb
a
b
gdx.
a
gdx.
Z własności całki Riemanna i własności granicy dostajemy natychmiast podstawowe
własności całek niewłaściwych. Przedstawimy je w przypadku całek na przedziale [a, b).
Analogiczne własności zachodzą dla całek na przedziałach (a, b] oraz (a, b).
Twierdzenie
11.12.12.
Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a, b) oraz
R
R
niech całki ab f dx, ab gdx będą zbieżne. Wówczas:
R
(a) Dla każdego β ∈ R, a < β < b, całka βb f dx jest zbieżna i
Z
b
f dx =
a
Z
β
f dx +
a
Z
b
f dx,
ponadto
β
(b) Dla każdego c ∈ R zbieżna jest całka
Z
Rb
cf dx = c
Z
a
Rb
(c) Całki
Z
a [f
+ g]dx i
b
a
[f + g]dx =
Rb
a [f
Z
f dx = 0.
β
b
f dx.
a
− g]dx są zbieżne i
b
a
β→b
b
cf dx oraz
a
b
lim−
Z
f dx +
Z
b
a
gdx,
Z
b
a
[f − g]dx =
Z
b
f dx −
a
Analogicznie jak twierdzenie 11.12.4 dowodzimy następujące:
Z
b
a
gdx.
274
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Twierdzenie 11.12.13. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b) taką, że
f ∈ R([a, β]) Rdla każdego β ∈ (a, b). Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) całka ab f dx jest zbieżna.
(b) dla każdego ciągu (βn )∞
lim βn = b, zbieżny
n=0 takiego, że a = β0 < β1 < . . . oraz n→∞
jest szereg
∞ Z
X
(11.69)
βn
f dx.
βn−1
n=1
Powtarzając dowód twierdzenia 11.12.6 dostajemy
Twierdzenie 11.12.14. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b) taką, że
f ∈ R([a, β]) dla każdego β ∈ (a, b). Niech A ∈ R. Wówczas następujące warunki są
równoważne: R
(a) całka ab f dx jest zbieżna do A.
(b) dla każdego ciągu (βn )∞
n=0 takiego, że a = β0 < β1 < . . . oraz lim βn = b,
n→∞
∞ Z
X
n=1
βn
f dx = A.
βn−1
Podajmy jedno twierdzenie analogiczne do twierdzenia 11.12.13 zachodzące dla całek w przedziale
(a, b].
Twierdzenie 11.12.15. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale (a, b] oraz f ∈ R([α, b]) dla każdego α ∈ (a, b). Wówczas następujące warunki są równoważne:
Rb
(a) całka a f dx jest zbieżna.
(b) dla każdego ciągu (βn )∞
n=0 takiego, że b = β0 > β1 > . . . oraz lim βn = a, zbieżny jest szereg
n→∞
∞ Z
X
n=1
βn−1
f dx.
βn
Analogicznie jak twierdzenie 11.12.7 dowodzimy
Twierdzenie 11.12.16. Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a, b) oraz
niech f, g ∈ R([a, β])
dla każdego β ∈ (a, b).
R
(a) Jeśli całka ab f dx jest bezwzględnie zbieżna, to jest zbieżna oraz
Z
Z b
b
6
|f |dx.
f
dx
a
a
(b) Jeśli |f (x)| 6 g(x) dla x ∈ [a, b) oraz całka ab gdx jest zbieżna, to całka
jest zbieżna bezwzględnie oraz
Z b
Z b
|f |dx 6
gdx.
R
a
Rb
a
f dx
a
(c) Jeśli 0 6 f (x) 6 g(x) dla x ∈ [a, b) oraz całka
jest rozbieżna.
Analogicznie jak twierdzenie 11.12.8 dowodzimy
Rb
a
f dx jest rozbieżna, to całka
Rb
a
gdx
11.12. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
275
Twierdzenie 11.12.17. Niech f będzie funkcją określoną w przedziale [a, b) taką, że
f (x) > 0 dla x ∈ [a, b) oraz niech f ∈ R([a, β]) dla każdego β ∈ (a, b). Wówczas następujące warunki
są równoważne:
R
(a) Całka ab f dx jest zbieżna.
(b) Istnieje M ∈ R takie, że dla każdego β ∈ (a, b) zachodzi
Z
β
f dx 6 M.
a
Dla całek niewłaściwych zachodzą twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie i przez
części, zarówno w przedziale (a, b] jak i w [a, b). Podajemy wersje tych twierdzeń dla całek
w przedziale [a, b).
Twierdzenie 11.12.18. (o całkowaniu przez podstawienie dla całek niewłaściwych). Niech ϕ : [α, β) → R będzie ściśle rosnącą funkcją, różniczkowalną taką, że
ϕ0 ∈ R([α, ξ]) dla ξ ∈ (α, β) oraz niech ϕ([α, β)) = [a, b), przy czym ϕ(α) = a oraz
lim− ϕ(ξ) = b. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale [a, b) taką, że f ∈ R([a, y])
ξ→β
dla y ∈ (a, b). Jeśli zbieżna jest jedna z całek
i druga oraz
Z
(11.70)
b
Z
f (t)dt =
β
Rb
a
f (t)dt,
Rβ
α
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx, to zbieżna jest
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx.
α
a
Dowód. Z twierdzenia 11.5.6, mamy
(11.71)
ϕ(ξ)
Z
f (t)dt =
(11.72)
ξ
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx
dla każdego ξ ∈ (α, β),
α
a
Z
Z
y
f (t)dt =
Z
ϕ−1 (y)
f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx
dla każdego y ∈ (a, b).
α
a
Przechodząc w (11.71)
do granicy przy ξ → β, ze zbieżności całki ab f (t)dt dostajemy
Rβ
zbieżność całki α f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx oraz (11.70). Ponieważ ϕ jest funkcją ściśle rosnącą,
więc lim− ϕ−1 (y) = β. Zatem przechodząc w (11.72) do granicy przy y → b, ze zbieżności
R
y→b
R
całki αβ f (ϕ(x))ϕ0 (x)dx
dostajemy zbieżność całki
Rb
a
f (t)dt oraz równość (11.70).
Z twierdzenia 11.6.5 dostajemy natychmiast
Twierdzenie 11.12.19. (o całkowaniu przez części dla całek niewłaściwych).
Niech f, g będą funkcjami określonymi w przedziale [a, b) takimi, że f, g ∈ R([a, t]) dla
t ∈ (a, b) oraz niech F, G : [a, b) → R będą funkcjami określonymi wzorami
F (t) = C1 +
Z
t
f dx,
G(t) = C2 +
a
Z
t
t ∈ [a, b),
gdx,
a
gdzie C1 , C1 ∈ R są dowolnymi stałymi. Jeśli istnieje skończona granica lim− F (t)G(t)
t→b
oraz zbieżna jest jedna z całek
Z
Rb
a f Gdx,
Rb
a F gdx, to zbieżna jest i druga oraz
b
a
f Gdx = lim− [F (t)G(t) − F (a)G(a)] −
t→b
Z
b
a
F gdx.
276
ROZDZIAŁ 11. CAŁKA RIEMANNA
Z twierdzenia 11.12.19 mamy
Wniosek 11.12.20. (o całkowaniu przez części dla całek niewłaściwych). Jeśli
f, g są funkcjami różzniczkowalnymi w przedziale [a, b) oraz f 0 , g 0 ∈ R([a, t]) dla tR∈ (a, b),
Jeśli istnieje skończona granica lim− f (t)g(t) oraz zbieżna jest jedna z całek ab f 0 gdx,
t→b
Rb
a
0
f g dx to zbieżna jest i druga oraz
Z
b
a
0
f gdx = lim− [f (t)g(t) − f (a)g(a)] −
t→b
Z
b
f g 0 dx.
a
Definicja całki niewłaściwej funkcji o skończonej ilości punktów osobliwych.
Niech a, b ∈ R, a < b i niech Z = {x1 , ..., xn }, gdzie a < x1 < ... < xn < b, będzie
podzbiorem przedziału P o kończach a, b. Niech f będzie funkcją określoną w P \ Z. Jeśli
wszystkie całki
Z
x1
a
f dx,
Z
b
xn
f dx
oraz
Z
xi
f dx dla i = 2, ..., n
xi−1
są zbieżne (9 ), to sumę wartości tych
całek nazywamy całką niewłaściwą Riemanna funkcji
Rb
f w przedziale [a, b] i oznaczamy a f dx.
9
w szczególności zbiór punktów osobliwych funkcji f zawiera się w Z ∪ {a, b}, przy czym f ∈ R([α, β])
dla każdego przedziału [α, β] takiego, że [α, β] ⊂ (xi−1 , xi ), gdzie i = 1, ..., n oraz [α, β] ⊂ (a, x1 ) oraz
[α, β] ⊂ (xn , b).
Rozdział 12
Dodatek
12.1
Niewymierność liczby π
W punkcie tym udowodnimy
Twierdzenie 12.1.1. Liczba π jest niewymierna.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że liczba π jest wymierna. Wówczas π = ab , gdzie
a, b ∈ N. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Rozważmy funkcję
xn (a − bx)n
,
n!
f (x) =
x ∈ R.
Oznaczając
!
n
ci =
(−1)i an−i bi
i
dla
i = 0, ..., n,
ze wzoru dwumiennego Newtona mamy
n
X
f (x) =
i=0
ci
1 n+i
x ,
n!
x ∈ R.
Dla k ∈ N zachodzi
(xm )(k) =
m!
xm−k ,
(m − k)!
gdy k 6 m
oraz
(xm )(k) = 0,
gdy k > m,
więc
 n
P
(n+i)!


ci n!(n+i−k)!
xn+i−k ,



i=0






 n
P
(k)
(n+i)!
f (x) =
ci n!(n+i−k)!
xn+i−k ,


i=k−n









0,
277
gdy k < n
gdy n 6 k 6 2n
gdy k > 2n,
278
ROZDZIAŁ 12. DODATEK
zatem
f
(k)
(0) =



0,
gdy k < n
gdy n 6 k 6 2n
gdy k > 2n.
k!
c
,
 k−n n!


0,
Z powyższego, z faktu, że f (0) = 0 oraz ci ∈ Z dla i = 0, ..., i, dostajemy
f (k) (0) ∈ Z
(12.1)
dla każdego k = 0, 1, ...
Z określenia funkcji f mamy f (x) = f (π − x), więc f (k) (x) = (−1)k f (k) (π − x) dla k ∈ N.
Stąd i z (12.1),
f (k) (π) ∈ Z
(12.2)
dla każdego k = 0, 1, ...
Oznaczmy
I=
π
Z
f (x) sin xdx.
0
Ponieważ f (x) > 0 dla x ∈ [0, π] i f (x) sin x > 0 dla x ∈ (0, π), więc z wniosku 11.6.4
mamy
I > 0.
(12.3)
Niech
F (x) =
n
X
(−1)k f (2k) (x),
x∈R
k=0
Funkcja F 0 (x) sin x − F (x) cos x jest funkcją pierwotną funkcji f (x) sin x w R. Istotnie,
(F 0 (x) sin x − F (x) cos x)0 = F 00 (x) sin x + F (x) sin x = f (x) sin x
dla x ∈ R.
Stosując podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mamy więc
I = F 0 (π) sin π − F (π) cos π − F 0 (0) sin 0 + F (0) cos 0 = F (π) + F (0).
Z (12.1) oraz (12.2) wynika, że F (0), F (π) ∈ Z, więc z powyższego mamy I ∈ Z. Uwzględniając (12.3) dostajemy I > 1. Z drugiej strony
f (x) sin x 6 f (x) 6
π n an
n!
dla
x ∈ [0, π],
więc
16I6π
π n an
n!
dla każdego n ∈ N.
n n
To jest jednak niemożliwe, gdyż n→∞
lim π π n!a = 0.
12.2. PRZYKŁADY
12.2
279
Przykłady
Przedstawimy pewne przykłady całek Riemanna i całek niewłaściwych, które odgrywają
ważną rolę w zastosowaniach.
Przykład 12.2.1. Dla każdego n ∈ N, mamy
(12.4)
Z
π
2
sin2n xdx =
0
(12.5)
Z
π
2
cos2n xdx =
0
3 · 5 · · · (2n − 1) π
· ,
2 · 4 · · · (2n)
2
Z
3 · 5 · · · (2n − 1) π
· ,
2 · 4 · · · (2n)
2
Z
π
2
sin2n+1 xdx =
2 · 4 · · · (2n)
,
3 · 5 · · · (2n + 1)
cos2n+1 xdx =
2 · 4 · · · (2n)
.
3 · 5 · · · (2n + 1)
0
π
2
0
Istotnie, dla n = 1 powyższe wzory sprawdzamy bezpośrednio. Dla n > 2, wystarczy
zastosować następujące wzory rekurencyjne
R
sinn xdx = − n1 sinn−1 x cos x +
R
cosn xdx =
1
n
cosn−1 x sin x +
n−1
n
n−1
n
R
R
sinn−2 xdx
cosn−2 xdx
(których proste sprawdzenie pozostawiamy czytelnikowi) i podstawowe twierdzenie rachunku całkowego 11.5.3
Pierwsze przedstawienie liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych pochodzi
od Wallisa. Przytaczamy je w poniższym przykładzie.
Przykład 12.2.2. (wzór Wallisa). Zachodzi następujące przedstawienie liczby π:
1
π = lim
n→∞ n
(12.6)
2 · 4 · · · (2n)
3 · 5 · · · (2n − 1)
!2
.
Istotnie, oznaczmy
an =
Z
π
2
sinn xdx
dla
0
n ∈ N.
Wobec wzoru (12.4) w przykładzie 12.2.1,
π=
2 · 4 · · · (2n)
3 · 5 · · · (2n − 1)
!2
2
a2n
1
2 · 4 · · · (2n)
·
·
= ·
2n + 1 a2n+1
n
3 · 5 · · · (2n − 1)
Wystarczy więc pokazać, że
(12.7)
lim
n→∞
a2n
= 1.
a2n+1
Dla x ∈ [0, π2 ] mamy sin x ∈ [0, 1], więc
0 6 sin2n+1 x 6 sin2n x 6 sin2n−1 x.
!2
·
2n
a2n
·
.
2n + 1 a2n+1
280
ROZDZIAŁ 12. DODATEK
Zatem, z określenia liczb an mamy 0 < a2n+1 6 a2n 6 a2n−1 , więc, wobec (12.4),
16
a2n
a2n−1
2n + 1
6
=
.
a2n+1
a2n+1
2n
To daje (12.7) i w konsekwencji (12.6).
W rachunku prawdopodobieństwa ważną rolę odgrywa całka Poissona przedstawiona
w poniższym przykładzie.
Przykład 12.2.3. (całka Poissona). Całka
zbieżna oraz
Z
(12.8)
R +∞
0
2
e−x dx, zwana całką Poissona, jest
√
+∞
−x2
e
π
.
2
dx =
0
Zanim wykażemy (12.8), rozważmy całki niewłaściwe
In =
+∞
Z
2
xn e−x dx,
n = 0, 1, ...
0
Wszystkie powyższe całki są zbieżne (1 ). Zauważmy, że
2In = (n − 1)In−2
(12.11)
dla n > 2.
2
2
Przyjmując f (x) = xn−1 , g(x) = e−x , mamy f 0 (x) = (n − 1)xn−2 , g 0 (x) = −2xe−x dla
x ∈ R, więc stosując twierdzenie o całkowaniu przez części (wniosek 11.6.6) dla każdego
β > 0 mamy
Z
Z
β
(n − 1)
2
β
2
xn−2 e−x dx = β n−1 e−β + 2
0
2
xn e−x dx,
0
2
przechodząc więc do granicy przy β → +∞ dostajemy (12.11). Ponieważ − 21 e−x jest (w
2
R) funkcją pierwotną funkcji xe−x , więc
I1 = lim
β→+∞
1
Z
β
xe
−x2
dx = lim
β→+∞
0
1
1
1
2
− e−β +
= .
2
2
2
Rzeczywiście, weźmy dowolne n ∈ Z, n > 0. Dla x > 2 mamy x2 − x > x, więc
2
xn
xn e−x
xn
6
0<
=
.
2
e−x
ex
ex −x
(12.9)
Stosując regułę de l’Hospitala, indukcyjnie pokazujemy, że
każdego x > R zachodzi
(12.10)
n
x
ex
n
lim xx
x→+∞ e
= 0. Zatem istnieje R > 2, że dla
6 1 i wobec (12.9),
2
0 < xn e−x 6 e−x
dla
x > R.
Ponieważ −e−x jest w R funkcją pierwotną funkcji e−x , więc stosując podstawowe twierdzenie rachunku
Rβ
R +∞
całkowego 11.5.3 mamy lim R e−x dx = e−R . To daje zbieżność całki R e−x dx oraz wobec (12.10) i
β→+∞
R +∞
2
2
twierdzenia 11.12.7(b), zbieżność całki R xn e−x dx. Ponieważ funkcja xn e−x jest ciągła, więc istnieje
R R n −x2
R +∞ n −x
całka Riemanna 0 x e
dx. W konsekwencji całka 0 x e 2 dx jest zbieżna.
12.2. PRZYKŁADY
281
Stąd i z (12.11), indukcyjnie dostajemy,
(12.12)
2n I2n = 1 · 3 · · · (2n − 1) · I0
dla n ∈ N.
2I2n+1 = n!
oraz
Z (12.12) łatwo wynika, że
2
.
2In−1 In+1 6 nIn−1
(12.13)
Ponieważ dla każdego t ∈ R mamy,
2
In+1 + 2tIn + t In−1 =
Z
+∞
2
xn−1 (x + t)2 e−x dx,
0
więc całka po prawej stronie jest zbieżna do pewnej liczby dodatniej, zatem
4In2 − 4In−1 In+1 < 0.
Stąd mamy
In2 < In−1 In+1
2
2In2 < nIn−1
.
i dalej z (12.13),
To, wraz z (12.12) daje
(n!)2
2
(n!)2
2
2
=
I2n+1
< I2n
< I2n−1 I2n+1 =
.
4n + 2
2n + 1
4n
Stąd, mnożąc przez 4n i ponownie stosując (12.12) mamy
4n
(n!)2
(n!)2
< [1 · 3 · · · (2n − 1)]2 I02 < 4n
,
4n + 2
4n
a więc
1
n
2 · 4 · · · (2k)
1 · 3 · · · (2n − 1)
!2
n
1
< I02 <
4n + 2
n
2 · 4 · · · (2k)
1 · 3 · · · (2n − 1)
!2
1
.
4
Uwzględniając teraz wzór Wallisa (12.6), z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy I02 = π4 ,
a ponieważ I0 > 0, więc mamy (12.8).
Jedną z najważniejszych funkcji w analizie jest funkcja Γ Eulera, którą przedstawiamy
w poniższym przykładzie.
Przykład 12.2.4. (funkcja Γ Eulera). Funkcję Γ : (0, +∞) → R określoną wzorem
(12.14)
Γ(a) =
Z
+∞
xa−1 e−x dx,
a>0
0
nazywamy funkcją gamma Eulera. W szczególności
(12.15)
Γ(n) = (n − 1)! dla n ∈ N
oraz
Γ( 21 ) =
√
π.
282
ROZDZIAŁ 12. DODATEK
Pokażemy,
że funkcja Γ jest poprawnie określona, to znaczy, że dla każdego a > 0,
R +∞ a−1 −x
całka 0 x e dx jest zbieżna. W tym celu wystarczy pokazać zbieżność dwóch całek
1
Z
(12.16)
x
a−1 −x
e dx
+∞
Z
oraz
0
xa−1 e−x dx.
1
Dla x > 0 mamy 0 < Re−x < 1, więc 0 < xa−1 e−x < xa−1 . Ponieważ a > 0, więc łatwo
sprawdzamy, że całka 01 xa−1 dx jest zbieżna. W konsekwencji pierwsza całka w (12.16)
jest zbieżna. Z drugiej strony mamy lim x2 xa−1 e−x = 0, więc funkcja x2 xa−1 e−x jest w
x→+∞
przedziale [1, +∞)
ograniczona, czyli istnieje R > 0 takie, że 0 < xa−1 e−x 6 xR2 dla x > 1.
R +∞ R
Ponieważ całka 1 x2 dx jest zbieżna, więc mamy zbieżność drugiej całki w (12.16).
Pokażemy teraz pierwszą część (12.15). Dla n = 1 sprawdzamy łatwo, że
(12.17)
Γ(1) =
+∞
Z
e−x dx = 1 = 0!.
0
Dla n > 1 stosując twierdzenie o całkowaniu przez części dostajemy
Γ(n) =
Z
+∞
x
n−1 −x
e dx = lim (−β
n−1 −β
e
β→+∞
0
) + (n − 1)
Z
+∞
xn−2 e−x dx = (n − 1)Γ(n − 1).
0
Stąd i z (12.17), łatwo indukcyjnie dostajemy pierwszą część (12.15).
Druga część (12.15)
√
dostajemy z całki Poissona (12.8), przez podstawienia ϕ(x) = x, x ∈ [0, +∞]. Istotnie,
ϕ jest funkcją ściśle rosnącą,
1
2
√ e−x = e−ϕ (x) ϕ0 (x) dla x ∈ [0, +∞)
2 x
i
ϕ(0) = 0
oraz
lim ϕ(β) = +∞,
β→+∞
więc wobec (12.8),
√
Z +∞
Z +∞
1 1
1 −x
π
−t2
√ e dx =
Γ( 2 ) =
e dt =
.
2
2 x
2
0
0
To daje drugą część (12.15).
Podstawowymi w teorii szeregów Fouriera są następujące całki.
Przykład 12.2.5. (całki Fouriera). Niech m, n ∈ N, Wówczas mamy
(12.18)
Z
π
Z
sin nx sin mxdx = 0,
−π
π
cos nx cos mxdx = 0,
−π
Z
(12.19)
π
sin nx cos mxdx = 0,
−π
(12.20)
Z
π
−π
sin2 nxdx = π,
Z
π
−π
cos2 nxdx = π.
gdy n 6= m,
12.2. PRZYKŁADY
283
Istotnie dla x, y ∈ R, mamy następujące:
sin x sin y =
sin x cos y =
cos x cos y =
1
[cos(x − y) − cos(x + y)],
2
1
[sin(x + y) + sin(x − y)],
2
1
[cos(x + y) + cos(x − y)].
2
Stąd z łatwością w zbiorze R obliczamy całki nieoznaczone
R
sin nx sin mxdx
=
 h
1 sin(n−m)x


−
2
n−m


h


1 x −
2
R
sin nx cos mxdx =
sin 2nx
2n
sin(n+m)x
n+m
i
gdy n 6= m
,
i
gdy n = m,
 1 h cos(n+m)x

−
+

n+m
 2
cos(n−m)x
n−m
i
gdy n 6= m
,



− 12 cos2n2nx
R
gdy n = m,
 h
1 sin(n+m)x


+

n+m
2
cos nx cos mxdx = 
h


1 x +
2
sin 2nx
2n
sin(n−m)x
n−m
i
gdy n 6= m
,
i
gdy n = m,
Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego 11.5.3 dostajemy, więc (12.18), (12.19)
i (12.20).
Odnotujmy jeszcze trzy przykłady.
Przykład 12.2.6. Dla każdego n ∈ N mamy
Z 1
(1 − x2 )n dx =
(12.21)
0
Istotnie, niech γ : [0,
γ([0,
π
2]
π
]) = [0, 1],
2
2 · 4 · · · (2n)
,
1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)
→ R będzie funkcją określoną wzorem γ(t) = sin t, t ∈ [0, π2 ]. Wówczas
γ(0) = 0,
π
γ( ) = 1
2
oraz
(1 − γ 2 (t))n γ 0 (t) = cos2n+1 t
dla
t ∈ [0,
π
].
2
Zatem z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie 11.5.5 i przykładu 12.2.1,
Z 1
Z π2
2 · 4 · · · (2n)
2 n
(1 − x ) dx =
cos2n+1 tdt =
.
3 · 5 · · · (2n + 1)
0
0
Przykład 12.2.7. Dla każdego n ∈ N, n > 1 mamy
Z +∞
1 · 3 · · · (2n − 3) π
dx
(12.22)
=
· .
2 )n
(1
+
x
2 · 4 · · · (2n − 2) 2
0
Istotnie, oznaczając
Z
In =
(x2
1
dx,
+ 1)n
w zbiorze R, gdzie n ∈ N, ze wzoru rekurencyjnego (twierdzenie 9.4.9) mamy, I1 = arctg x + C w zbiorze
R oraz
(12.23)
In+1 =
1
x
2n − 1
+
In
2n (x2 + 1)n
2n
dla
n ∈ N.
284
ROZDZIAŁ 12. DODATEK
Zatem, z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego i definicji całki niewłaściwej mamy
+∞
Z
dx
π
= lim ( arctg β − arctg 0) = .
1 + x2 β→+∞
2
(12.24)
0
Postępując dalej indukcyjnie, wobec (12.23) mamy,
β
Z
lim
β→+∞
0
dx
2n − 1
=
2
n+1
(1 + x )
2n
Z
β
lim
β→+∞
0
dx
,
(1 + x2 )n
przy czym granice w powyższym wzorze istnieją i są skończone. W szczególności z (12.24) dostajemy
Z
0
+∞
dx
1 π
= · .
(1 + x2 )2
2 2
Postępując dalej indukcyjnie dostajemy (12.22).
Przykład 12.2.8. Następująca całka jest zbieżna
Z
+∞
(12.25)
0
sin x
dx.
x
= 1, więc funkcja f : R → R określona wzorami f (x) = sinx x dla x 6= 0 oraz
Rt
f (0) = 1, jest ciągła. Zatem, dla każdego t > 0 istnieje całka Riemanna F (t) = 0 sinx x dx. Wystarczy
więc pokazać, że granica lim F (t) istnieje i jest skończona.
Ponieważ lim
x→0
sin x
x
t→+∞
Zauważmy najpierw, że
(12.26)
dla każdego ε > 0 istnieje R > 0, że dla każdych t1 , t2 > R zachodzi
|F (t1 ) − F (t2 )| < ε.
Istotnie, funkcja x1 jest malejąca w przedziale (0, +∞). Zatem dla dowolnych a, b ∈ R takich, że a < b, z
twierdzenia o wartości średniej II 11.7.3 istnieje c ∈ [a, b] takie, że
Z
1 b
sin xdx +
sin xdx
b c
a
a
R
R c
b
Ponieważ a sin xdx = | cos a − cos c| 6 2 i analogicznie c sin xdx 6 2, więc z powyższego mamy
Z
b
sin x
1
dx =
x
a
Z
c
Z
b sin x 1 1
2
dx 6 2
+
6 .
a x
a b
a
Dla ustalonego ε > 0, biorąc teraz R > 0 takie, że R2 < ε, dostajemy (12.26).
Pokażemy teraz, że istnieje granica lim F (t). Istotnie, w przeciwnym razie istniałyby dwa ciągi
t→+∞
00 ∞
0
00
0
(t0n )∞
n=1 , (tn )n=1 takie, że lim tn = +∞, lim tn = +∞ oraz istnieją różne granice g1 = lim F (tn ),
n→∞
n→∞
n→∞
g2 = lim F (t00n ). To jest jednak niemożliwe, gdyż wobec (12.26) dla dowolnego ε > 0 istnieje N , że dla
n→∞
n > N mamy |F (t0n ) − F (t00n )| < ε.
12.3
Informacje o szeregach Fouriera
W wielu zagadnieniach teoretycznych i technicznych pojawiają się funkcje okresowe. W
badaniach takich funkcji pomocne są tak zwane szeregi Fouriera.
12.3. INFORMACJE O SZEREGACH FOURIERA
285
Definicja szeregu Fouriera. Szeregiem Fouriera lub szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci
∞
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx),
2 n=1
(12.27)
∞
gdzie (an )∞
n=0 , (bn )n=1 są ciągami liczbowymi.
Definicja rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Mówimy, że funkcja f : R → R
rozwija się w szereg Fouriera, gdy istnieje szereg Fouriera postaci (12.27), który w każdym
punkcie x ∈ R jest zbieżny do f (x). Wtedy szereg (12.27) nazywamy rozwinięciem funkcji
f w szereg Fouriera.
Uwaga 12.3.1. Wprost z definicji mamy, że każda funkcja posiadająca rozwinięcie w
szereg Fouriera jest okresowa o okresie 2π.
Twierdzenie 12.3.2. Jeśli funkcja f : R → R ma rozwinięcie w szereg Fouriera
∞
a0 X
f (x) = +
(an cos nx + bn sin nx),
2 n=1
(12.28)
x∈R
i szereg po prawej stronie (12.28) jest zbieżny jednostajnie, to
a0 =
(12.29)
1Zπ
f (x) cos nxdx,
π −π
an =
(12.30)
1Zπ
f (x)dx,
π −π
bn =
1Zπ
f (x) sin nxdx
π −π
dla n ∈ N.
Dowód. Ponieważ szereg w (12.28) jest jednostajnie zbieżnym szeregiem funkcji ciągłych, więc f jest funkcją ciągłą, w szczególności funkcja f oraz funkcje f (x) cos nx,
f (x) sin nx są całkowalne w sensie Riemanna w przedziale [−π, π]. Ponadto, wobec twierdzenia 11.8.2 mamy
Z
(12.31)
π
f (x)dx =
−π
Z π
Z π
∞ X
a0 Z π
1dx+
an
cos nxdx + bn
sin nxdx .
2 −π
−π
−π
n=1
π
π
Ponieważ −π
cos nxdx = 0 i −π
sin nxdx = 0, więc z powyższego dostajemy (12.29).
Mnożąc (12.28) przez cos kx dostajemy
R
R
f (x) cos kx =
∞
X
a0
cos kx+
(an cos nx cos kx + bn sin nx cos kx),
2
n=1
x ∈ R,
przy czym szereg po prawej stronie jest zbieżny jednostajnie, jako iloczyn szeregu zbieżnego jednostajnie przez funkcję ograniczoną. Zatem analogicznie jak w (12.31) mamy
Rπ
−π
f (x) cos kxdx
(12.32)
=
a0
2
Rπ
−π
cos kxdx+
∞ P
n=1
an
Rπ
−π
cos nx cos kxdx + bn
Rπ
−π
sin nx cos kxdx .
π
π
Uwzględniając Rprzykład 12.2.5 mamy −π
cos2 kxdx = π, −π
sin nx cos kxdx = 0 dla
π
n, k ∈ N oraz −π cos nx cos kx = 0 dla n 6= k. W konsekwencji z (12.32) dostajemy
Rπ
−π f (x) cos kxdx = ak π. To daje pierwszą część (12.30). Drugą część (12.30) dowodzimy
analogicznie, po pomnożeniu (12.28) przez sin kx.
R
R
Dla dowolnej funkcji f całkowalnej w sensie Riemanna w przedziale [−π, π] można
obliczyć współczynniki an i bn określone wzorami (12.29) i (12.30). Prowadzi to do pojęcia
szeregu Fouriera funkcji.
Definicja szeregu Fouriera funkcji. Niech f ∈ R([−π, π]). Szereg Fouriera postaci
∞
a0 X
+
(an cos nx + bn sin nx),
2 n=1
gdzie współczynniki an i bn określone są wzorami (12.29) i (12.30) nazywamy szeregiem
Fouriera funkcji f .
Uwaga 12.3.3. Jeśli funkcja f rozwija się w szereg Fouriera (12.27) i szereg ten jest
zbieżny jednostajnie, to szereg Fouriera funkcji pokrywa się z rozwinięciem tej funkcji
w szereg Fouriera. W ogólnym przypadku tak być nie musi. Szereg Fouriera może nie
być zbieżny lub może zbiegać do innych wartości od wartości funkcji. Szukanie warunków
przy których pojęcia szeregu Fouriera i rozwinięcia w szereg Fouriera pokrywają się jest
podstawowym zagadnieniem teorii szeregów Fouriera.
Dla ilustracji podamy, bez dowodów, dwa podstawowe twierdzenia dotyczące rozwijania funkcji w szeregi Fouriera. Dowody tych twierdzeń można znaleźć na przykład w
trzecim tomie książki Fichtenholza [6], w punktach 699 i 686.
Twierdzenie 12.3.4. (Dirichleta-Jordana). Szereg Fouriera funkcji f jest zbieżny do
tej funkcji jednostajnie w przedziale [−π, π], jeśli w pewnym szerszym przedziale [a, b],
gdzie a < −π, π < b, funkcja ta jest ciągła i ma wahanie skończone.
Jako szczególny przypadek powyższego twierdzenia mamy
Wniosek 12.3.5. Jeśli funkcja f : R → R jest okresowa o okresie 2π oraz jest klasy C 1 ,
to szereg Fouriera funkcji f jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w zbiorze R.
Istotnie, funkcja klasy C 1 w przedziale domkniętym spełnia w nim warunek Lipschitza,
a więc ma tam wahanie skończone.
Twierdzenie 12.3.6. (Dirichleta). Jeśli funkcja f : R → R ograniczona o okresie 2π
jest przedziałami monotoniczna w przedziale [−π, π] (2 ) i ma skończoną ilość punktów
nieciągłości w przedziale [−π, π], to szereg Fouriera funkcji f ma sumę f (x0 ) w każdym
punkcie ciągłości x0 funkcji f i sumę równą
1
2
"
#
lim f (x)+ lim+ f (x) ,
x→x−
0
x→x0
w każdym punkcie nieciągłości x0 funkcji f .
2
Rozumiemy przez to, że istnieje podział P = (x0 , ..., xn ) przedziału [−π, π] taki, że w każdym przedziale (xi−1 , xi ) funkcja f jest monotoniczna.
Spis literatury
[1] A. Birkholz, Analiza matematyczna dla nauczycieli I, PWN, Warszawa 1980.
[2] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa
1996.
[3] G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Nauka, Moskwa 1997 (po rosyjsku).
[4] J. Chądzyński, Analiza matematyczna, manuskrypt.
[5] B. P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, Nauka, Moskwa
1990 (po rosyjsku).
[6] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1, 2, 3, PWN, Warszawa 1980.
[7] F. M. Filipczak, Teoria miary i całki, Skrypt ze zbiorem zadań, Wyd. UŁ, Łódź 1997.
[8] T. Krasiński, Analiza matematyczna, funkcje jednej zmiennej, Wyd. UŁ, Łódź 2001.
[9] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. 1 i 2, PWN,
Warszawa 1976.
[10] K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1977.
[11] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 1980.
[12] K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 1978.
[13] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1969.
[14] S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1973.
[15] A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1977.
[16] H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, t. 1, cz. 1 i 2, Wyd. UAM, Poznań
1993.
[17] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1998.
[18] W. Sierpiński, Działania nieskończone, Spółdzielnia Wydawnicza Czytelnik, Warszawa 1948.
287
Wykaz symboli i skrótów
=
równe, 5
<, >, 6, > znak nierówności, 9, 12, 14
6=
różne, 5
sgn (x) znak liczby x, 15
∈ należy do, 5
R
6∈ nie należy do, 5
(a, b) przedział otwarty, 14
∨ znak alternatywy, 5
[a, b] przedział domknięty, 14
∧ znak koniunkcji, 5
|P | długość przedziału P , 15
∼ znak negacji, 5
inf
⇒, ⇐ znaki implikacji, 5
sup kres górny, 16, 37
⇔ znak równoważności, 5
max maksimum, 17
∃ znak kwantyfikatora szczegółowego, 5
min
∀ znak kwantyfikatora ogólnego, 5
−E, 18
∅ znak zbioru pustego, 5
E + F , 18
{a} zbiór jednoelementowy, 6
E · F , 18
{x : ϕ(x)} zbiór elementów spełniających formułę ϕ, 5
N
(a, b)
Nn0 ,m0 = {n ∈ N : n0 6 n 6 m0 }, 22
różnica zbiorów, 6
A×B
iloczyn kartezjański zbiorów, 6
xRy
minimum, 17
zbiór liczb naturalnych, 19
Nn0 = {n ∈ N : n > n0 },
2N
funkcja, 6
21
22
zbiór liczb parzystych, 23
2N − 1
x jest w relacji z y, 6
F :A→B
kres dolny, 16, 37
Fn = {k ∈ N : k < n + 1},
para uporządkowana, 6
A\B
zbiór liczb rzeczywistych, 9
zbiór liczb nieparzystych, 23
Z zbiór liczb całkowitych, 23
⊂, ⊃ znaki inkluzji, 6
[x] całość z liczby, 24
F (C)
obraz zbioru, 7
F (a)
wartość funkcji w punkcie a, 7
Za0 = {a ∈ Z : a > a0 }, 24
m
symbol Newtona, 26
n
F −1 (D) przeciwobraz zbioru, 7
T
∩,
znak iloczynu zbiorów, 7
S
∪,
znak sumy zbiorów, 7
Q zbiór liczb wymierntch, 24
id
Rn = {(a1 , ..., an ) : a1 , ..., an ∈ R}, 33
Q
znak iloczynu, 33, 34
P
znak sumy, 33, 34
obcięcie funkcji8
−1
funkcja odwrotna, 8
g◦f
złożenie funkcji, 8
+
(ak )nk=1
funkcja identyczność, 8
f |A
f
n! silnia, 26
+∞, −∞ nieskończoności, 36
znak dodawania, 9
R
xy
√
n
· znak mnożenia, 9
0, 1
liczba zero, jeden, 10
−x element przeciwny do x, 10
1/x,
1
x
ciąg skończony, 33
rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, 36
potęga, 39, 42, 45, 47
√
x, x pierwiastek z liczby x, 44
log, loga x logarytm, 52
element odwrotny do x, 10
ln logarytm naturalny, 76
|x| moduł liczby x, 14
inf f (E) kres dolny funkcji, 55
288
WYKAZ SYMBOLI I SKRÓTÓW
sup f (E)
kres górny funkcji, 55
max f (E)
wartość największa funkcji, 55
min f (E)
wartość najmniejsza funkcji, 55
deg f
stopień wielomianu f , 57
(an )n∈N , (an )
lim
289
C0
C
klasa funkcji ciągłych, 166
∞
klasa funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, 166
Cn
klasa funkcji n krotnie różniczkowalnych w
sposób ciągły, 166
YX
rodzina funkcji określonych na zbiorze X o
wartościach w zbiorze Y , 183
ciąg nieskończony, 61
granica, 62, 69, 121
e liczba e, 75
(ank )k∈N
podciąg ciągu (an )n∈N , 76
ciąg funkcyjny (fn )∞
n=1 jest jednostajnie zbieżny do funkcji f , 184
fn ⇒ f
lim inf
granica dolna, 81
lim sup
granica górna, 81
ω
d(x, y)
odległość punktów x, y, 84
A + B, 212
Int X
wnętrze zbioru X, 87
X domknięcie zbioru X, 87
∞
P
an szereg, 91, 94
n=1
∞
P
moduł ciągłości, 200
A ◦ ϕ, 212
R
R
f dx, f (x)dx całka nieoznaczona, 212
aA,
212
g + A,
an (x − x0 )n
szereg potęgowy, 109
n=0
212
P podział przedziału, 229
sin sinus, 112
δ(P)
cos
cosinus, 112
L(P, f )
dolna suma Darboux, 229
tg
tangens, 117
U (P, f )
górna suma Darboux, 229
ctg
L(f )
cotangens, 117
Xx+0 = {x ∈ X : x > x0 },
125
Xx−0 = {x ∈ X : x < x0 },
125
lim f (x)
x→x+
0
granica prawostronna funkcji w punk-
cie x0 , 125
lim f (x)
x→x−
0
granica lewostronna funkcji w punk-
cie x0 , 125
π
liczba π, 146
arcsin
średnica podziału, 229
zbiór dolnych sum Darboux, 232
U (f ) zbiór górnych sum Darboux, 232
Rb
f (x)dx dolna całka Darboux, 232
a
—
Rb
f (x)dx górna całka Darboux, 232
a
R([a, b])
zbiór funkcji całkowalnych w sensie Riemanna w przedziale [a, b], 237
Rb
Rb
f dx, a f (x)dx całka Riemanna, 237
Rab
f dα całka Riemanna-Stieltjesa, 239
a
arcus sinus, 150
V (f, a, b)
arccos
arcus cosinus, 150
V (γ)
arctg
arcus tangens, 150
P
arcctg
arcus cotangens, 150
f 0 (x0 ), (f (x))0x=x0 pochodna funkcji f w punkcie x0 , 151, 157
D
f0
Df 00
f 00
dziedzina pochodnej rzędu drugiego funkcji f , 165
pochodna funkcji f rzędu drugiego, 165
f 00 (x0 )
f (n)
f
(n)
pochodna funkcji f , 155, 157
pochodna rzędu drugiego funkcji f w
punkcie x0 , 165
pochodna funkcji f rzędu n, 165
(x0 )
pochodna funkcji f rzędu n w punkcie
x0 , 165
długość krzywej γ, 261
prostokąt, 262
|P| miara prostokąta, 262
|Π| suma miar prostokątów rodziny Π, 262
mw (D)
miara wewnętrzna Jordana zbioru D,
263
mz (D)
miara zewnętrzna Jordana zbioru D, 263
dziedzina pochodnej funkcji f , 155
f 0 , (f (x))0
wahanie funkcji f , 246
J
rodzina zbiorów mierzalnych w sensie Jordana, 264
mJ (D) miara Jordana zbioru D, 264
R +∞
f dx całka niewłaściwa Riemanna, 266
Rab
f dx całka niewłaściwa Riemanna, 266
R−∞
+∞
f dx całka niewłaściwa Riemanna, 267
R−∞
b
f dx całka niewłaściwa Riemanna, 271
a
Γ
funkcja gamma Eulera, 281
Skorowidz
Aksjomat, 5
– antysymetrii relacji mniejszości, 10
– istnienia elementów neutralnych działań, 10
– – różnicy i ilorazu, 10
– przechodzniości relacji mniejszości, 10
– przemienności dodawania i mnożenia, 9
– rozdzielności mnożenia względem dodawania,
9
– spójności relacji mniejszości, 10
– zasada ciągłości Dedekinda, 10
– łączności dodawania i mnożenia, 9
Aksjomaty ciała, 9
– porządku, 10
– rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych, 36
– teorii mnogości, 5
– związku między działaniami i relacją mniejszości, 10
argument funkcji, 6
asymptota pionowa funkcji, 182
– ukośna funkcji, 181
ciąg ograniczony, 61
– – z dołu, 61
– – z góry, 61
– przybliżeń dziesiętnych liczby, 118
– reszt we wzorze Taylora, 196
– rosnący, 61
– rozbieżny, 62
– różnowartościowy, 61
– skończony, 33, 57
– sum częściowych ciągu, 91, 93
– – – – funkcyjnego, 183, 184
– – – szeregu, 91
– – – – funkcyjnego, 183, 184
– – – – liczbowego, 94
– zbieżny, 62
– ściśle malejący, 61
– – rosnący, 61
czynnik, 11
domknięcie zbioru, 87
dostatecznie duże, 62
działanie dodawania, 9
– dzielenie, 11
– mnożenia, 9
– odejmowanie, 11
dziedzina funkcji, 6
długość krzywej, 261
– przedziału, 15
bijekcja, 8
całka Darboux dolna, 232
– Darboux górna, 232
– nieoznaczona, 212
– niewłaściwa rozbieżna, 266, 267, 271, 272
– niewłaściwa zbieżna, 266, 267, 271, 272
– – – bezwzględnie, 266, 267, 271, 272
– – – warunkowo, 266, 267, 271, 272
– – Riemanna, 266, 267, 271, 272, 276
– Poissona, 280
– Riemanna, 237, 246, 260
– Riemanna-Stieltjesa, 239
całość z liczby, entier, 24
ciąg, 61
– Cauchy’ego, 80
– częściowy, podciąg, 76, 93
– funkcyjny, 183, 184
– – rozbieżny, 183
– – zbieżny, 183
– – zbieżny jednostajnie, 184
– liczbowy, 33, 61, 93
– malejący, 61
– monotoniczny, 61
– nieskończony, 61, 93
ekstremum lokalne, 174
– – właściwe, 174
element najmniejszy, minimum, 17
– największy, maksimum, 17
– odwrotny, 10
– przeciwny, 10
formuła zdaniowa, 6
funkcja, 6
– analityczna, 195
– – w punkcie, 195
– arcus cosinus, 150
– arcus cotangens, 150
– arcus sinus, 150
– arcus tangens, 150
– całkowalna w sensie Riemanna, 237, 246
– ciągła, 132
290
SKOROWIDZ
funkcja ciągła w punkcie, 132
– cosinus, 112
– cotangens, 117
– Dirichleta, 55
– dwukrotnie różniczkowalna, 165
– – – w zbiorze, 165
– Γ, 281
– górnej granicy całkowania, 253
– identyczność, 8
– klasy C 0 , C n , C ∞ , 166
– lewostronnie ciągła, 140
– – – w punkcie, 140
– logarytmiczna, 56
– malejąca, 54
– monotoniczna, 54
– n-krotnie różniczkowalna, 165
– – – w zbiorze, 165
– ”na”, surjekcja, 7
– nieparzysta, 54
– o wahaniu skończonym, 246
– odwrotna, odwracalna, 8
– ograniczona, 55
– – z dołu, 55
– – z góry, 55
– okresowa, 54
– parzysta, 54
– pierwiastkowa, 56
– pierwotna, 207
– potęgowa, 55
– prawostronnie ciągła, 140
– – – w punkcie, 140
– półciągła z dołu, 141
– – – – w punkcie, 141
– półciągła z góry, 141
– – – – w punkcie, 141
– rosnąca, 54
– rozwijalna w szereg Fouriera, 285
– – – – potęgowy, 195
– rzeczywista, 53
– różniczkowalna, 156
– – w punkcie, 151
– – w zbiorze, 155
– różnowartościowa, injekcja, 8
– silnia, 26
– sinus, 112
– tangens, 117
– wewnętrzna, 8
– wielomianowa, wielomian, 57
– wklęsła w przedziale, 177
– wykładnicza, 56
– wymierna, 60
– – dwóch zmiennych, 221
– wypukła w przedziale, 177
– ζ Riemanna, 98
291
fnkcja zewnętrzna, 8
– ściśle malejąca, 54
– – monotoniczna, 54
– – rosnąca, 54
funkcje cyklometryczne, 150
– elementarne, 150
– – podstawowe, 150
granica ciągu, 62
– – funkcyjnego, 183
– cząściowa ciągu, 78
– dolna ciągu, 81
– – funkcji w punkcie, 140
– funkcji w nieskończoności, 130
– – w punkcie, 122
– – – – w sensie Cauchy’ego, 121
– – – – w sensie Heinego, 121
– górna ciągu, 81
– – funkcji w punkcie, 141
– lewostronna funkcji w punkcie, 125
– niewłaściwa ciągu, 69
– – funkcji w nieskończoności, 130
– – – w punkcie, 128
– – lewostronna funkcji w punkcie, 129
– – prawostronna funkcji w punkcie, 129
– – funkcji w nieskończoności, 130
– prawostronna funkcji w punkcie, 125
– właściwa funkcji w punkcie, 128
hipoteza Goldbacha, 41
homeomorfizm, 144
iloczyn ciągu skończonego, 33
– dwóch funkcji, 54
– funkcji przez liczbę, 54
– kartezjański, 6
– liczb, 11
– rodziny zbiorów, część wspólna, 7
– szeregu przez liczbę, 92
– szeregów w sensie Cauchy’ego, 106
– wartości funkcji, 34
iloraz funkcji, 54
– liczb, 11
– różnicowy funkcji w punkcie, 151
– szeregu geometrycznego, 95
inkluzja, 6
jednomian, 57
– dwóch zmiennych, 221
jedynka, 10
kres dolny i górny funkcji, 55
– – zbioru, 16, 37
– górny zbioru, 16, 37
kryterium Abela, 99
292
kryterium Abela jednostajnej zbieżności szeregu
funkcyjnego, 188
– Cauchy’ego, 101, 102
– całkowe zbieżności szeregów, 270
– d’Alemberta, 100, 101
– Dirichleta, 98
– – jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego,
189
– graniczne, 96
– Leibniza, 99
– monotoniczności funkcji, 172
– porównawcze zbieżności szeregów, 96, 100
– Weierstrassa jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego, 187
– ścisłej monotoniczności funkcji, 172
krzywa, 260
– gładka, 260
– koniec krzywej, 260
– początek krzywej, 260
– prostowalna, 261
– zamknięta, 260
liczba algebraiczna, 60
– całkowita, 23
– dodatnia, 14
– naturalna, 19
– niedodatnia, 14
– nieparzysta, 23
– nieujemna, 14
– niewymierna, 24
– parzysta, 23
– pierwsza, 41
– przestępna, 60
– rzeczywista, 9
– ujemna, 14
– wymierna, 24
licznik, 24
logarytm, 52
– naturalny, 76
łuk, 260
maksimum lokalne, 174
– – właściwe, 174
– rodziny funkcji, 124
metryka, odległość, 84
mianownik, 24
miara Jordana, 264
– – wewnętrzna, 263
– – zewnętrzna, 263
– prostokąta, 262
minimum lokalne, 174
– – właściwe, 174
– rodziny funkcji, 124
moduł ciągłości funkcji, 200
– wartość bezwzględna liczby, 14
SKOROWIDZ
najmniejsza wartość funkcji, 55
największa wartość funkcji, 55
nierówność, 12
– Bernoulliego, 40
– Schwarza, 41, 198
nieskończoność +∞, −∞, 36
norma, 259
obcięcie funkcji, 8
obraz zbioru, 7
odległość euklidesowa, 259
odwzorowanie, 6
– całkowalne w sensie Riemanna, 260
ograniczenie dolne zbioru, 16
– górne zbioru, 16
okres funkcji, 54
– podstawowy funkcji, 54
określanie funkcji przez indukcję, 26
– – – – skończoną, 25
otoczenie lewostronne punktu, 84
– prawostronne punktu, 84
– punktu, 84
para uporządkowana, 6
pierwiastek funkcji, zero funkcji, 53
– z liczby rzeczywistej, stopnia n, 44
– – – ujemnej, 45
pochodna funkcji, 155
– – rzędu n, 165
– – – – w punkcie, 165
– – – – w zbiorze, 165
– – – drugiego, 165
– – – – w punkcie, 165
– – – – w zbiorze, 165
– – w punkcie, 151
– – w zbiorze, 155
podstawa potęgi, 47
podstawienie Eulera I, 225
– Eulera II, 227
– Eulera III, 226
podzbiór, 6
podział przedziału, 229
pojęcia pierwotne, 5
potęga o wykładniku całkowitym, 42
– – – naturalnym, 39
– – – rzeczywistym, 47
– – – wymiernym, 45
prawie wszystkie, 62
promień zbieżności szeregu potęgowego, 109
prostokąt, 262
przeciwdziedzina funkcji, 6
przeciwobraz zbioru, 7
przedział, 14
– domknięty, 15
– nieskończony, 37
SKOROWIDZ
przedział otwarty, 15
– zbieżności szeregu potęgowego, 109
przekrój Dedekinda, 17
przestrzeń metryczna, 84
– zupełna, 88
– zwarta, 88
punkt izolowany zbioru, 85
– nieciągłości funkcji, 139
– – – drugiego rodzaju, 139
– – – pierwszego rodzaju, 139
– osobliwy funkcji, 272
– podziału, 229
– przegięcia, 180
– skupienia zbioru, 85
relacja dwuczłonowa, 6
– mniejszości, 9
– niewiększe, niemniejsze, 14
– rówaoważności, 6
reszta Peano, 168
– we wzorze Taylora, 196
rodzina funkcji jednakowo ciągła, 202
– – – – w punkcie, 205
– – ograniczona, 202
– – – w punkcie, 202
– zbiorów, 7
Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, 36
rozwinięcie dziesiętne liczby, 119
– – normalne, 119
– funkcji w szereg Fouriera, 285
– – – – potęgowy, 195
różnica dwóch funkcji, 54
– liczb, 11
– szeregów, 92
– zbiorów, 6
składnik, 11
składowa zbioru, 90
stopień wielomianu, 57
styczna do wykresu funkcji w punkcie, 169
suma, różnica, iloczyn ciągów, 61
– ciągu skończonego, 33
– Darboux dolna, 229
– – górna, 229
– dwóch funkcji, 53
– – szeregów, 92
– liczb, 11
– rodziny zbiorów, 7
– szeregu funkcyjnego, 184
– – liczbowego, 91, 94
– wartości funkcji, 34
symbol Newtona, 26
szereg Fouriera funkcji, 286
– – , trygonometryczny, 285
– funkcyjny, 183, 184
293
szereg funkcyjny rozbieżny, 184
– – zbieżny, 183
– – – jednostajnie, 187
– geometryczny, 95
– harmoniczny, 98
– liczbowy, 91, 93
– – rozbieżny, 91, 94
– – zbieżny, 94
– – – bezwarunkowo, 103
– – – bezwzględnie, 100
– – – warunkowo, 103
– pochodnych szeregu funkcyjnego, 194
– potęgowy, Taylora, 109, 171
sąsiedztwo lewostronne punktu, 84
– prawostronne punktu, 84
– punktu, 84
średnica podziału, 229
topologia indukowana, 87
– przestrzeni, 86
transpozycja, 35
twierdzenie Ascoliego-Arzeli, 204
– Bolzano-Weierstrassa, 77, 85
– Cauchy’ego, 81, 92
– Cauchy’ego o wartości średniej, 161
– Cauchy’ego-Hadamarda, 109
– charakteryzacja zbiorów zwartych, 88
– Darboux, 160
– Dirichleta, 286
– Dirichleta-Jordana, 286
– działania na funkcjach ciągłych, 133
– Fermata, 160
– jednoznaczność granicy funkcji, 122
– Jordana, 246
– kryterium ścisłej monotoniczności funkcji, 173
– Lagrange’a o wartości średniej, 161
– Mertensa, 107
– o całkowaniu przez części, 212, 254, 255
– o całkowaniu przez części dla całek niewłaściwych, 275, 276
– o całkowaniu przez podstawienie, 213
– o całkowaniu przez podstawienie dla całek niewłaściwych, 275
– o całkowaniu przez podstawienie I, II, 250, 251
– o działaniach na granicach ciągów, 65
– o działaniach na granicach niewłaściwych, 129
– o działaniach na pochodnej funkcji, 156
– o działaniach na pochodnej funkcji w punkcie,
152
– o działanich na granicach funkcji, 123
– o funkcji ciągłej na zbiorze zwartym, 142
– o granicach dwóch funkcji, 122
– o granicach jednostronnych funkcji monotonicznej, 126, 130
294
twierdzenie o granicach niewłaściwych dwóch funkcji, 129
– o granicy złożenia funkcji, 134
– o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej,
210
– o istnieniu kresu dolnego, 18
– o istnieniu kresu górnego, 17
– o istnieniu pierwiastków, 43
– o obcięciu funkcji ciągłej, 136
– o pochodnej funkcji odwrotnej, 156
– o pochodnej funkcji złożonej, 156
– o pochodnej w punkcie funkcji odwrotnej, 154
– o pochodnej w punkcie funkcji złożonej, 153
– o trzech ciągach, 64
– o trzech funkcjach, 123
– o wartości średniej I, II, 255, 257
– o zagęszczaniu, 97
– o zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej szeregu, 105
– o złożeniu funkcji ciągłych, 133
– podstawowe rachunku całkowego, 250
– prawo łączności dla szeregów, 102
– reguła de l’Hospitala, 163
– Rolle’a, 161
– Stolza, 72
– topologiczna charakteryzacja ciągłości, 134, 135
– topologiczna charakteryzacja ciągłości funkcji
w punkcie, 132
– warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego, 186
– warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego, 187
– warunek Heinego ciągłości funkcji w punkcie,
132
– warunek Heinego ciągłości jednostajnej, 142
– warunek Heinego dla granicy niewłaściwej, 128
– warunek konieczny istnienia ekstremum, 174
– warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
I, II, 180
– warunek konieczny różniczkowalności, 156
– warunek konieczny różniczkowalności funkcji w
punkcie, 152
– warunek konieczny zbieżności szeregu, 92
– warunek wystarczający istnienia ekstremum I,
II, 175, 176
– Weierstrassa o aproksymacji, 201
– wzór Taylora I, II, III, 167, 170, 171
– własność Darboux, 137
– zasada Archimedesa, 20
– zasada Archimedesa dla potęgowania, 40
– zasada indukcji, 20, 22, 24
– zasada indukcji o innym początku, 22
– zasada indukcji skończonej, 22
– zasada minimum, 22, 23
SKOROWIDZ
twierdzenie zasadnicze arytmetyki, 41
– związek ciągłości z granicą, 133
– związek granicy funkcji z granicami jednostronnymi, 126
– związek granicy niewłaściwej z granicami jednostronnymi, 129
ułamki proste, 215
wahanie funkcji, 246
wartość funkcji, 7
– wyrazu ciągu, 33, 61, 93
warunek Lipschitza, 144
wielomian Bernsteina funkcji, 201
– dwóch zmiennych, 221
– niezerowy, 57
– podzielny przez wielomian, 219
– stały, 57
– zerowy, 57
wnętrze prostokąta, 262
– zbioru, 87
wskaźnik wyrazu ciągu, 33, 61, 93
współczynniki szeregu potęgowego, 109
– wielomianu, 57
wykres funkcji, 6
wykładnik potęgi, 47
wyraz ciągu, 33, 61, 93
– wolny wielomianu, 57
wzory redukcyjne, 146
wzór dwumienny Newtona, 40
– Maclaurina, 168
– Taylora, 168
– wielomianny Newtona, 41
zagęszczenie podziału, 230
– – wspólne, 230
zbieżność szeregu liczbowego, 91
zbiory rozłączne, 7
– równoliczne, 27
zbiór, 5
– co najwyżej przeliczalny, 28
– domknięty, 86
– – w zbiorze, 87
– gęsty w zbiorze, 87
– liczb całkowitych, 23
– – dodatnich, 14
– – naturalnych, 19
– – niedodatnich, 14
– – nieujemnych, 14
– – niewymiernych, 24
– – rzeczywistych, 9
– – ujemnych, 14
– – wymiernych, 24
– mierzalny w sensie Jordana, 264
– mocy continuum, 32
SKOROWIDZ
zbiór n-elementowy, 27
– nieograniczony, 16
– – z dołu, 16
– – z góry, 16
– nieprzeliczalny, 28
– nieskończony, 27
– ograniczony, 16, 263
– – z dołu, 16
– – z góry, 16
– otwarty, 86
– – w zbiorze, 87
– przeliczalny, 28
– skończony, 27
– spójny, 89
– wartości funkcji, 7
– zwarty, 88
zero, 10
złożenie funkcji, 8
znak liczby, signum, 15
295
296
SKOROWIDZ
Spis treści
Wstęp
3
1 Wiadomości wstępne
5
2 Liczby rzeczywiste
2.1 Aksjomaty liczb rzeczywistych . . . . . . . . .
2.2 Kresy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Liczby całkowite i liczby wymierne . . . . . .
2.5 Informacje o definiowaniu przez indukcję . . .
2.6 Zbiory skończone, przeliczalne i nieprzeliczalne
2.7 Ciągi skończone . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Logarytm i potęga
3.1 Potęga o wykładniku naturalnym . . . . . . . .
3.2 Potęga o wykładniku całkowitym . . . . . . . .
3.3 Pierwiastek liczby rzeczywistej . . . . . . . . . .
3.4 Potęga o wykładniku wymiernym . . . . . . . .
3.5 Potęga o wykładniku rzeczywistym . . . . . . .
3.6 Logarytm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Informacje o funkcjach rzeczywistych . . . . . .
3.8 Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna
3.9 Wielomiany i funkcje wymierne. . . . . . . . . .
4 Ciągi nieskończone
4.1 Ciągi nieskończone . . . . . .
4.2 Granica ciągu . . . . . . . . .
4.3 Granica ciągu potęg . . . . .
4.4 Granice niewłaściwe ciągu . .
4.5 Liczba e, logarytm naturalny .
4.6 Podciągi, granice częściowe . .
4.7 Ciągi Cauchy’ego . . . . . . .
4.8 Granica dolna i górna ciągu .
4.9 Elementy topologii . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
297
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
16
19
23
25
27
33
36
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
42
42
45
46
52
53
55
57
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
62
67
69
74
76
80
81
84
298
SPIS TREŚCI
5 Szeregi liczbowe
5.1 Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Dalsze informacje o szeregach . . . . . .
5.3 Szeregi o wyrazach nieujemnych . . . . .
5.4 Dalsze kryteria zbieżności szeregów . . .
5.5 Zbieżność bezwzględna . . . . . . . . . .
5.6 Łączność wyrazów szeregu liczbowego . .
5.7 Zbieżność bezwarunkowa . . . . . . . . .
5.8 Mnożenie szeregów . . . . . . . . . . . .
5.9 Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . .
5.10 Funkcje trygonometryczne . . . . . . . .
5.11 Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
91
93
95
98
100
102
103
106
109
112
117
6 Ciągłość
6.1 Granica funkcji . . . . . . . . .
6.2 Granice jednostronne funkcji . .
6.3 Granice niewłaściwe . . . . . .
6.4 Funkcje ciągłe . . . . . . . . . .
6.5 Ciągłość i spójność . . . . . . .
6.6 Rodzaje nieciągłości . . . . . .
6.7 Jednostajna ciągłość i zwartość
6.8 Liczba π . . . . . . . . . . . . .
6.9 Funkcje cyklometryczne . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
121
125
128
132
136
139
142
145
149
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
151
. 151
. 155
. 159
. 162
. 165
. 172
. 172
. 174
. 176
. 181
.
.
.
.
.
.
.
.
183
. 183
. 184
. 187
. 189
. 191
. 193
. 196
. 198
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Różniczkowalność
7.1 Pochodna funkcji w punkcie . . . . . . . . . . .
7.2 Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Funkcje różniczkowalne w przedziale . . . . . .
7.4 Reguła de l’Hospitala . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora . . .
7.6 Przebieg zmienności funkcji . . . . . . . . . . .
7.6.1 Pochodna i monotoniczność funkcji . . .
7.6.2 Ekstrema funkcji . . . . . . . . . . . . .
7.6.3 Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia
7.6.4 Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Ciągi i szeregi funkcyjne
8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego . . . . . . .
8.2 Jednostajna zbieżność ciągu funkcyjnego . . . . .
8.3 Jednostajna zbieżność szeregu funkcyjnego . . . .
8.4 Zbieżność jednostajna a ciągłość . . . . . . . . . .
8.5 Zbieżność jednostajna a różniczkowalność . . . . .
8.6 Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Rozwinięcie funkcji potęgowej w szereg potęgowy
8.8 Twierdzenie Weierstrassa o aproksymacji . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
SPIS TREŚCI
8.9
299
Twierdzenie Ascoliego-Arzeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9 Funkcja pierwotna
9.1 Funkcja pierwotna . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 O funkcji pierwotnej funkcji ciągłej . . . . . . .
9.3 Całka nieoznaczona . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Informacje o obliczaniu funkcji pierwotnych . .
9.4.1 Całkowanie ułamków prostych . . . . . .
9.4.2 Całkowanie funkcji wymiernych . . . . .
9.4.3 Całkowanie funkcji trygonometrycznych
9.4.4 Podstawienia Eulera . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
207
. 207
. 209
. 212
. 215
. 215
. 218
. 221
. 224
10 Całka Darboux
229
10.1 Dolna i górna suma Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.2 Dolna i górna całka Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11 Całka Riemanna
11.1 Całka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Warunki istnienia całki Riemanna . . . . . . . . . . . .
11.3 Ciągłość a całkowalność . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Funkcje o wahaniu skończonym . . . . . . . . . . . . .
11.5 Całka jako granica sum przybliżonych . . . . . . . . . .
11.6 Całkowanie i różniczkowanie . . . . . . . . . . . . . . .
11.7 Twierdzenia o wartości średniej . . . . . . . . . . . . .
11.8 Zbieżność jednostajna a całkowanie . . . . . . . . . . .
11.9 Całkowanie funkcji o wartościach wektorowych . . . . .
11.10Krzywe prostowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.11Miara Jordana a całka Riemanna . . . . . . . . . . . .
11.12Całki niewłaściwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.12.1 Całki niewłaściwe w przedziale nieograniczonym
11.12.2 Całki niewłaściwe w dowolnym przedziale . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
237
. 237
. 240
. 243
. 246
. 248
. 253
. 255
. 258
. 259
. 260
. 262
. 266
. 266
. 271
12 Dodatek
277
12.1 Niewymierność liczby π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
12.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
12.3 Informacje o szeregach Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Spis Literatury
287
Wykaz symboli i skrótów
288
Skorowidz
290