Procesy stochastyczne 2. Lista zadań 4. Autor: dr hab. A. Jurlewicz

Procesy stochastyczne 2.
Lista zadań 4.
Autor: dr hab. A. Jurlewicz
WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok,
rok akad. 2011/12
1
Lista 4: Procesy stacjonarne, samopodobne,
gaussowskie. Równania Fokkera-Plancka.
Proces stochastyczny {Xt , t ∈ T } nazywamy stacjonarnym, gdy dla dowolnego s takiego,
że t + s ∈ T dla wszystkich t, proces {Xs+t , t ∈ T } ma ten sam rozkład co proces {Xt }.
Proces stochastyczny {Xt , t ∈ T } nazywamy samopodobnym z indeksem H, gdy dla każdej
stałej c > 0 proces {c−H Xct , t ∈ T } jest dobrze określony i ma ten sam rozkład co proces {Xt }.
Proces stochastyczny {Xt , t ∈ T } nazywamy gaussowskim, gdy jego rozkłady skończenie
wymiarowe są gaussowskie1 . Rozkład takiego procesu określimy podając dwie funkcje: średnią m(t) := EXt i kowariancję K(t1 , t2 ) := E(Xt1 −m(t1 ))(Xt2 −m(t2 )).
Proces Wienera {Wt , t ­ 0} to proces o przyrostach niezależnych, stacjonarnych, taki że
W0 = 0 p.n. oraz Wt dla t > 0 ma rozkład normalny N (0, σ 2 = t).
Gęstość f (t, x) jednowymiarowego rozkładu procesu {Xt }, który jest rozwiązaniem SRR
dXt = m(t, Xt )dt + σ(t, Xt )dWt
z warunkiem poczatkowym Xt0 , gdzie m(t, x), σ(t, x) spełniają założenia z twierdzenia Itô i
dodatkowo są ciągłymi funkcjami (t, x), spełnia równanie Fokkera-Plancka
∂
1 ∂2 2
∂f
(t, x) +
(m(t, x)f (t, x)) −
(σ (t, x)f (t, x)) = 0
∂t
∂x
2 ∂x2
z warunkiem początkowym f (t0 , x) = f0 (x), gdzie f0 (x) jest gęstością Xt0 .
1. Wykazać, że rodzina niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
tworzy proces stacjonarny.
2. Czy proces stacjonarny może mieć przyrosty niezależne i stacjonarne?
3. Niech {Xt , t ­ 0} będzie procesem samopodobnym z indeksem H. Sprawdzić, że
proces {Yt , t ∈ R} określony zależnością
Yt := e−Ht X(et ),
jest stacjonarny. (Jest to tzw. transformacja Lampertiego.)
1
tzn. normalne wielowymiarowe, patrz Dodatek.
2
(1)
4. Pokazać, że
(a) proces gaussowski {Xt , t ∈ R} jest stacjonarny wtedy i tylko wtedy, gdy jego
średnia m(t) jest funkcją stałą, a kowariancja zależy tylko od różnicy argumentów, tzn. K(t1 , t2 ) = K̃(t2 − t1 ) dla pewnej odpowiedniej funkcji K̃;
(b) proces gaussowski {Xt , t ­ 0} jest samopodobny z indeksem H > 0 wtedy i tylko
wtedy, gdy jego średnia jest funkcją potęgową postaci m(t) = atH , gdzie a jest
pewną stałą, natomiast kowariancja dla dowolnego t2 jest równa
(
K(t1 , t2 ) =
t2H
1 K̃(t2 /t1 ) dla t1 > 0
0
dla t1 = 0
dla pewnej odpowiedniej funkcji K̃.
5. Sprawdzić, że proces Wienera jest samopodobny z indeksem H = 1/2.
6. Proces stacjonarny utworzony z procesu Wienera wg wzoru (1) z H = 1/2 nazywamy
procesem Ornsteina–Uhlenbecka. Czy proces Ornsteina–Uhlenbecka {Ut , t ∈ R}
jest procesem gaussowskim? Policzyć jego średnią i kowariancję.
7. Pokazać, że proces gaussowski o funkcji kowariancji K(t1 , t2 ) ma własność braku
pamięci wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych t1 < t2 < t3
K(t1 , t3 )K(t2 , t2 ) = K(t1 , t2 )K(t2 , t3 ).
(Feller, II tom, str.93)
8. Sprawdzić, że jedynymi stacjonarnymi procesami gaussowskimi o zerowej średniej,
które mają własność braku pamięci, są oprócz gaussowskich białych szumów procesy
postaci {Uλt }, gdzie {Ut } to proces Ornsteina–Uhlenbecka, a λ jest pewną stałą.
(Feller, II tom, str.93)
9. Pokaż, że proces {Yt , 0 ¬ t ¬ T }, gdzie Yt =
Rt
g(u)dWu dla pewnej ciągłej funkcji
0
g : [0, T ] → R, jest gaussowski. Wyznacz jego średnią i kowariancję.
10. Pokaż, że gdy Xt0 jest stałe lub jest odpowiednią gaussowską zmienną losową, to
rozwiązanie SRR
dXt = (a1 (t)Xt + a2 (t))dt + b(t)dWt
(z zadania 9 z listy 2) jest procesem gaussowskim.
11. Pokaż, że rozwiązanie równania Langevina z szumem addytywnym
1
dXt = − Xt dt + dWt
2
z warunkiem początkowym X0 - niezależną od procesu Wienera zmienną losową o
standardowym rozkładzie normalnym (patrz zadanie 10 z listy 2) ma rozkład taki
jak proces Ornsteina-Uhlenbecka.
3
12. Jakie jest rozwiązanie równania Langevina
dXt = −aXt dt + bdWt
z warunkiem początkowym jak w zadaniu 10 ? Odpowiedź uzasadnij.
13. Pokaż, że rozwiązanie SRR
dXt =
−Xt
dt + dWt , 0 ¬ t < 1,
1−t
X0 = 0
jest co do rozkładu identyczne z mostem Browna {Bt , 0 ¬ t ¬ 1}, gdzie
Bt = Wt − tW1 .
14. Wyznacz gęstość f (x, t) zmiennej losowej Xt , gdzie proces {Xt } jest rozwiązaniem
SRR
dXt = mdt + σdWt , X0 = 0,
ze stałymi m, σ > 0. Pokaż, że f (x, t) spełnia równanie Fokkera-Plancka odpowiadające temu SRR.
15. Wyznacz gęstość f (x, t) zmiennej losowej Xt , gdzie proces {Xt } jest rozwiązaniem równania Langevina z zadania 11. Pokaż, że f (x, t) spełnia równanie FokkeraPlancka odpowiadające temu SRR.
16. Wyznacz gęstość f (x, t) zmiennej losowej Xt , gdzie proces {Xt } jest rozwiązaniem
SRR
!
σ2
dt + σdWt , X0 = 1,
dXt = Xt
2
ze stałą σ > 0. Pokaż, że f (x, t) spełnia równanie Fokkera-Plancka odpowiadające
temu SRR.
17. Wyznacz gęstość f (x, t) zmiennej losowej Xt , gdzie proces {Xt } jest rozwiązaniem równania Langevina z zadania 13. Pokaż, że f (x, t) spełnia równanie FokkeraPlancka odpowiadające temu SRR.
4
Dodatek: wielowymiarowe rozkłady normalne.
Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie wektorem losowym, dla którego momenty mi := EXi
oraz µij := E(Xi − mi )(Xj − mj ) są skończone dla wszystkich i, j = 1, . . . , n, a macierz
kowariancji K := [µij ]ni,j=1 jest nieosobliwa. Oznaczmy L = K −1 .
Def. Wektor X ma n–wymiarowy rozkład normalny, gdy ma rozkład ciągły o gęstości
s
det L
1
~
~ T ,
x − m)
exp − (~x − m)L(~
f (~x) =
n
(2π)
2
~ = (m1 , . . . , mn ).
gdzie ~x = (x1 , . . . , xn ), a m
Fakt. Jeżeli X ma n–wymiarowy rozkład normalny, to:
1. Funkcja charakterystyczna wektora X ma postać
1
~ − ~tK~tT ,
φ(~t) = exp i~tm
2
gdzie ~t = (t1 , . . . , tn ).
2. Gęstości brzegowe wektora X są normalne.
3. Dla dowolnej nieosobliwej macierzy kwadratowej A stopnia n wektor Y = XA ma
~ Y = mA,
~
również n–wymiarowy rozkład normalny, przy czym m
a KY = AT KA.
4. Jeżeli macierz kowariancji K wektora X jest macierzą diagonalną, to zmienne losowe X1 , . . . , Xn są niezależne (tzn. nieskorelowane zmienne losowe o normalnym
rozkładzie łącznym są niezależne).
5