docGry o sumie zerowej (w postaci strategicznej)
download 
Reklamacja Transkrypt
Gry o sumie zerowej (w postaci strategicznej)
Gry o sumie zerowej (w postaci strategicznej) Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 1/15 Rozgrzewka P-N-K P P (0,0) N (1,-1) N K (-1,1) (1,-1) (0,0) (-1,1) K (-1,1) (1,-1) (0,0) Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 2/15 Rozgrzewka Vuko i Jadran bawia˛ sie˛ w wojne. ˛ Każdy ma 4 oddziały. Oddziały można wysłać do 3 baz: dowolnie, ale nie można ich dzielić. Baza po bitwie należy do tego, kto w bazie ma wiecej ˛ oddziałów. Na poczatku ˛ wszystkie bazy należa˛ do Jadrana, a jeżeli w bazie siły stron sa˛ równe, to Jadran utrzymuje baz˛e. Celem obu graczy jest posiadanie po bitwie jak najwiekszej ˛ liczby baz. Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 2/15 Rozgrzewka (2,-2) (-3,3) (-1,1) (4,-4) (3,-3) (-5,5) W1 : 2 -1 3 -3 4 -5 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 2/15 Gry o sumie zerowej Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 równoważnie: n n P Q wi (s̄) = 0 dla wszystkich s̄ ∈ Si i=1 i=1 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 równoważnie: n n P Q wi (s̄) = 0 dla wszystkich s̄ ∈ Si i=1 i=1 gry dwuosob.: w1 (σ̄) = −w2 (σ̄) dla wszystkich σ̄ ∈ M1 × M2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 równoważnie: n n P Q wi (s̄) = 0 dla wszystkich s̄ ∈ Si i=1 i=1 gry dwuosob.: w1 (σ̄) = −w2 (σ̄) dla wszystkich σ̄ ∈ M1 × M2 równoważnie: W1 = −W2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 równoważnie: n n P Q wi (s̄) = 0 dla wszystkich s̄ ∈ Si i=1 i=1 gry dwuosob.: w1 (σ̄) = −w2 (σ̄) dla wszystkich σ̄ ∈ M1 × M2 równoważnie: W1 = −W2 w1 (σ̄) = σ1 W1 σ2T Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 równoważnie: n n P Q wi (s̄) = 0 dla wszystkich s̄ ∈ Si i=1 i=1 gry dwuosob.: w1 (σ̄) = −w2 (σ̄) dla wszystkich σ̄ ∈ M1 × M2 równoważnie: W1 = −W2 w1 (σ̄) = σ1 W1 σ2T = σ1 (−W2 )σ2T = −σ1 W2 σ2T Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 równoważnie: n n P Q wi (s̄) = 0 dla wszystkich s̄ ∈ Si i=1 i=1 gry dwuosob.: w1 (σ̄) = −w2 (σ̄) dla wszystkich σ̄ ∈ M1 × M2 równoważnie: W1 = −W2 w1 (σ̄) = σ1 W1 σ2T = σ1 (−W2 )σ2T = −σ1 W2 σ2T = −w2 (σ̄) Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 równoważnie: n n P Q wi (s̄) = 0 dla wszystkich s̄ ∈ Si i=1 i=1 gry dwuosob.: w1 (σ̄) = −w2 (σ̄) dla wszystkich σ̄ ∈ M1 × M2 równoważnie: W1 = −W2 w1 (σ̄) = σ1 W1 σ2T = σ1 (−W2 )σ2T = −σ1 W2 σ2T = −w2 (σ̄) gra macierzowa – dwuosobowa gra o sumie zerowej w postaci normalnej (podajemy tylko W1 ) Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Gry o sumie zerowej gry n–osobowe o sumie zerowej: n n P Q wi (σ̄) = 0 dla wszystkich σ̄ ∈ Mi i=1 i=1 równoważnie: n n P Q wi (s̄) = 0 dla wszystkich s̄ ∈ Si i=1 i=1 gry dwuosob.: w1 (σ̄) = −w2 (σ̄) dla wszystkich σ̄ ∈ M1 × M2 równoważnie: W1 = −W2 w1 (σ̄) = σ1 W1 σ2T = σ1 (−W2 )σ2T = −σ1 W2 σ2T = −w2 (σ̄) gra macierzowa – dwuosobowa gra o sumie zerowej w postaci normalnej (podajemy tylko W1 ) cele przeciwstawne Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 3/15 Jak grać? Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 4/15 Jak grać? lata 20: John (János–>Johann–>John) von Neumann 1944: John von Neumann, Oskar Morgenstern „Games and economic behavior” Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 4/15 Jak grać? Przykład 1. W1 P-N-K P P 0 N -1 K 1 N 1 0 -1 K -1 1 0 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 4/15 Jak grać? Przykład 1. W1 P-N-K P P 0 N -1 K 1 N 1 0 -1 K -1 1 0 gracz 1 chce jak najwiecej ˛ w „najgorszym przypadku” Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 4/15 Jak grać? Przykład 1. W1 P-N-K P P 0 N -1 K 1 N 1 0 -1 K -1 1 0 gracz 1 chce jak najwiecej ˛ w „najgorszym przypadku” σ1 = ( 13 , 13 , 13 ) daje w1 (σ1 , s2 ) = 0 dla wszystkich s2 ∈ S2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 4/15 Jak grać? Przykład 1. W1 P-N-K P P 0 N -1 K 1 N 1 0 -1 K -1 1 0 gracz 1 chce jak najwiecej ˛ w „najgorszym przypadku” σ1 = ( 13 , 13 , 13 ) daje w1 (σ1 , s2 ) = 0 dla wszystkich s2 ∈ S2 σ1 = ( 13 , 13 , 13 ) daje w1 (σ1 , σ2 ) = 0 dla wszystkich σ2 ∈ M2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 4/15 Jak grać? Przykład 1. W1 P-N-K P P 0 N -1 K 1 N 1 0 -1 K -1 1 0 gracz 1 chce jak najwiecej ˛ w „najgorszym przypadku” σ1 = ( 13 , 13 , 13 ) daje w1 (σ1 , s2 ) = 0 dla wszystkich s2 ∈ S2 σ1 = ( 13 , 13 , 13 ) daje w1 (σ1 , σ2 ) = 0 dla wszystkich σ2 ∈ M2 Czy gracz 1 może mieć wiecej ˛ niż 0? Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 4/15 Jak grać? Przykład 1. W1 P-N-K P P 0 N -1 K 1 N 1 0 -1 K -1 1 0 gracz 1 chce jak najwiecej ˛ w „najgorszym przypadku” σ1 = ( 13 , 13 , 13 ) daje w1 (σ1 , s2 ) = 0 dla wszystkich s2 ∈ S2 σ1 = ( 13 , 13 , 13 ) daje w1 (σ1 , σ2 ) = 0 dla wszystkich σ2 ∈ M2 Czy gracz 1 może mieć wiecej ˛ niż 0? W „najlepszym z najgorszych przypadków” gracz 1 dostanie 0. Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 4/15 Przykład 2. G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 5/15 Przykład 2. G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 Gdy 1 gra czysto: 0 w najlepszym z najgorszych przypadków Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 5/15 Przykład 2. G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 Gdy 1 gra czysto: 0 w najlepszym z najgorszych przypadków Czy 1 może mieć wiecej ˛ niż 0 ? Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 5/15 Przykład 2. G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 Gdy 1 gra czysto: 0 w najlepszym z najgorszych przypadków Czy 1 może mieć wiecej ˛ niż 0 ? σ1 = 13 G + 23 S Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 5/15 Przykład 2. G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 Gdy 1 gra czysto: 0 w najlepszym z najgorszych przypadków Czy 1 może mieć wiecej ˛ niż 0 ? σ1 = 13 G + 23 S Czy gracz 1 może mieć wiecej niż 13 ? Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 5/15 Przykład 2. G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 Gdy 1 gra czysto: 0 w najlepszym z najgorszych przypadków Czy 1 może mieć wiecej ˛ niż 0 ? σ1 = 13 G + 23 S Czy gracz 1 może mieć wiecej niż 1 3 ? σ2 = 56 L + 16 P Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 5/15 Przykład 2. G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 Gdy 1 gra czysto: 0 w najlepszym z najgorszych przypadków Czy 1 może mieć wiecej ˛ niż 0 ? σ1 = 13 G + 23 S Czy gracz 1 może mieć wiecej niż 1 3 ? σ2 = 56 L + 16 P W najlepszym z najgorszych przypadków gracz 1 dostanie 13 . Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 5/15 Najlepszy z najgorszych przypadków szukamy σ1 ∈ M1 , dla której w1 (σ1 , σ2 ) > x w ˛ najgorszym przypadku, x jak najwieksze Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 6/15 Najlepszy z najgorszych przypadków szukamy σ1 ∈ M1 , dla której w1 (σ1 , σ2 ) > x w ˛ najgorszym przypadku, x jak najwieksze szukamy σ1 ∈ M1 , dla której inf w1 (σ1 , σ2 ) > x, σ2 ∈M2 x jak najwieksze ˛ Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 6/15 Najlepszy z najgorszych przypadków szukamy σ1 ∈ M1 , dla której w1 (σ1 , σ2 ) > x w ˛ najgorszym przypadku, x jak najwieksze szukamy σ1 ∈ M1 , dla której inf w1 (σ1 , σ2 ) > x, σ2 ∈M2 x jak najwieksze ˛ najwieksze ˛ takie x: sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 6/15 Najlepszy z najgorszych przypadków szukamy σ1 ∈ M1 , dla której w1 (σ1 , σ2 ) > x w ˛ najgorszym przypadku, x jak najwieksze szukamy σ1 ∈ M1 , dla której inf w1 (σ1 , σ2 ) > x, σ2 ∈M2 x jak najwieksze ˛ najwieksze ˛ takie x: sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 Szukamy σ1 ∈ M1 , dla której supremum sup inf w1 (σ1 , σ2 ) jest osiagniete ˛ σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 6/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 7/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 σ1 jest strategia˛ bezpieczeństwa (maksiminowa) gracza 1 w grze dwumacierzowej, gdy inf w1 (σ1 , σ2 ) = B1 σ2 ∈M2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 7/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 σ1 jest strategia˛ bezpieczeństwa (maksiminowa) gracza 1 w grze dwumacierzowej, gdy inf w1 (σ1 , σ2 ) = B1 σ2 ∈M2 W grach macierzowych str. bezpieczeństwa nazywamy też strategia˛ optymalna. ˛ Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 7/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 σ1 jest strategia˛ bezpieczeństwa (maksiminowa) gracza 1 w grze dwumacierzowej, gdy inf w1 (σ1 , σ2 ) = B1 σ2 ∈M2 poziom bezp. gracza 2: B2 = sup inf w2 (σ1 , σ2 ), σ2 ∈M2 σ1 ∈M1 σ2 dla której powyższe supremum jest osiagniete ˛ to str. bezpieczeństwa gracza 2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 7/15 Poziom bezpieczeństwa w grach n-os. Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 8/15 Poziom bezpieczeństwa w grach n-os. Poziom bezpieczeństwa gracza i w n-osobowej grze w postaci strategicznej: Bi = sup inf wi (σ̄−i ; σi ) σi ∈Mi σ̄−i Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 8/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 9/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 1) 13 G + 23 S daje graczowi 1 co najmniej 1 3 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 9/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 1) 13 G + 23 S daje graczowi 1 co najmniej B1 > 1 3 1 3 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 9/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 1) 13 G + 23 S daje graczowi 1 co najmniej B1 > 1 3 1 3 2) σ2 = 56 L + 16 P nie pozwala graczowi 1 na wiecej ˛ Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 9/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 1) 13 G + 23 S daje graczowi 1 co najmniej B1 > 1 3 1 3 2) σ2 = 56 L + 16 P nie pozwala graczowi 1 na wiecej ˛ B1 6 1 3 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 9/15 Poziom bezpieczeństwa Poziom bezpieczeństwa gracza 1 w grze dwumacierzowej: B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 G L 1 P -3 S 0 2 D -5 5 1) 13 G + 23 S daje graczowi 1 co najmniej B1 > 1 3 1 3 2) σ2 = 56 L + 16 P nie pozwala graczowi 1 na wiecej ˛ B1 6 1 3 1 B1 = 3 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 9/15 Poziom bezpieczeństwa - własności B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) (∗) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 10/15 Poziom bezpieczeństwa - własności B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) (∗) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 (PB1) sup w definicji B1 jest osiagane, ˛ tzn. strategia σ1 ∈M1 bezpieczeństwa zawsze istnieje. Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 10/15 Poziom bezpieczeństwa - własności B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) (∗) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 (PB1) sup w definicji B1 jest osiagane, ˛ tzn. strategia σ1 ∈M1 bezpieczeństwa zawsze istnieje. (PB2) inf σ2 ∈M2 w definicji B1 można zastapić ˛ przez min s2 ∈S2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 10/15 Poziom bezpieczeństwa - własności B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) (∗) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 (PB1) sup w definicji B1 jest osiagane, ˛ tzn. strategia σ1 ∈M1 bezpieczeństwa zawsze istnieje. (PB2) inf w definicji B1 można zastapić ˛ przez min σ2 ∈M2 s2 ∈S2 inf wi (σ1 , σ2 ) = min wi (σ1 , s2 ) σ2 ∈M2 s2 ∈S2 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 10/15 Poziom bezpieczeństwa - własności B1 = sup inf w1 (σ1 , σ2 ) (∗) σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 (PB1) sup w definicji B1 jest osiagane, ˛ tzn. strategia σ1 ∈M1 bezpieczeństwa zawsze istnieje. (PB2) inf w definicji B1 można zastapić ˛ przez min σ2 ∈M2 s2 ∈S2 inf wi (σ1 , σ2 ) = min wi (σ1 , s2 ) σ2 ∈M2 s2 ∈S2 (PB3) c.d.n. Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 10/15 Twierdzenie o minimaksie John (János, Johann) von Neumann 1928 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 11/15 Twierdzenie o minimaksie John (János, Johann) von Neumann 1928 Twierdzenie (o minimaksie). W każdej grze macierzowej B1 + B2 = 0 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 11/15 Twierdzenie o minimaksie John (János, Johann) von Neumann 1928 Twierdzenie (o minimaksie). W każdej grze macierzowej B1 + B2 = 0 Równoważnie: sup inf w1 (σ1 , σ2 ) = inf σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 sup w1 (σ1 , σ2 ) (∗) σ2 ∈M2 σ1 ∈M1 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 11/15 Twierdzenie o minimaksie John (János, Johann) von Neumann 1928 Twierdzenie (o minimaksie). W każdej grze macierzowej B1 + B2 = 0 Równoważnie: sup inf w1 (σ1 , σ2 ) = inf σ1 ∈M1 σ2 ∈M2 sup w1 (σ1 , σ2 ) (∗) σ2 ∈M2 σ1 ∈M1 W grach dwumacierzowych (∗) OK, ale nie B1 + B2 = 0. Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 11/15 Poziom bezpieczeństwa - własności c.d. Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 12/15 Poziom bezpieczeństwa - własności c.d. (PB3) Jeżeli obaj gracze graja˛ strategiami bezpieczeństwa σ1 ∈ M1 , σ2 ∈ M2 , to wi (σ1 σ2 ) = Bi . Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 12/15 Twierdzenie o minimaksie - inaczej Oryginalne sformułowanie von Neumanna: Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 13/15 Twierdzenie o minimaksie - inaczej Oryginalne sformułowanie von Neumanna: Twierdzenie’ (o minimaksie). W każdej grze macierzowej G istnieje dokładnie jedna liczba v , dla której ∃ ∀ w1 (σ1 , σ2 ) > v σ1 σ2 ∃ ∀ w1 (σ1 , σ2 ) 6 v σ2 σ1 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 13/15 Twierdzenie o minimaksie - inaczej Oryginalne sformułowanie von Neumanna: Twierdzenie’ (o minimaksie). W każdej grze macierzowej G istnieje dokładnie jedna liczba v , dla której ∃ ∀ w1 (σ1 , σ2 ) > v σ1 σ2 ∃ ∀ w1 (σ1 , σ2 ) 6 v σ2 σ1 Taka˛ liczbe˛ v naz. wartościa˛ gry G i ozn. przez val (G). Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 13/15 Twierdzenie o minimaksie - inaczej Oryginalne sformułowanie von Neumanna: Twierdzenie’ (o minimaksie). W każdej grze macierzowej G istnieje dokładnie jedna liczba v , dla której ∃ ∀ w1 (σ1 , σ2 ) > v σ1 σ2 ∃ ∀ w1 (σ1 , σ2 ) 6 v σ2 σ1 Taka˛ liczbe˛ v naz. wartościa˛ gry G i ozn. przez val (G). val (G) = B1 , strategie z twierdzenia’ to strategie optymalne Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 13/15 Twierdzenie o minimaksie - inaczej Oryginalne sformułowanie von Neumanna: Twierdzenie’ (o minimaksie). W każdej grze macierzowej G istnieje dokładnie jedna liczba v , dla której ∃ ∀ w1 (σ1 , σ2 ) > v σ1 σ2 ∃ ∀ w1 (σ1 , σ2 ) 6 v σ2 σ1 Taka˛ liczbe˛ v naz. wartościa˛ gry G i ozn. przez val (G). val (G) = B1 , strategie z twierdzenia’ to strategie optymalne inna nazwa strategii σ2 z twierdzenia’: minimaksowa Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 13/15 Gra rankingowa W1 : G L 2 P -3 S -1 4 D 3 -5 σ1 =? Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 14/15 Metoda graficzna, gry n × 2 lub 2 × n Przykład. Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 15/15 Metoda graficzna, gry n × 2 lub 2 × n Przykład. W1 G L 2 P -3 S -1 4 D 3 -5 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 15/15 Metoda graficzna, gry n × 2 lub 2 × n Przykład. B2 W1 G L 2 P -3 S -1 4 D 3 -5 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 15/15 Metoda graficzna, gry n × 2 lub 2 × n Przykład. B2 W1 G L 2 P -3 S -1 4 D 3 -5 sup inf w2 (σ1 , σ2 ) σ2 ∈M2 σ1 ∈M1 Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 15/15 Metoda graficzna, gry n × 2 lub 2 × n Przykład. B2 W1 sup inf w2 (σ1 , σ2 ) P -3 σ2 ∈M2 σ1 ∈M1 G L 2 S -1 4 σ2 ∈M2 s1 ∈S1 D 3 -5 sup min w2 (s1 , σ2 ) Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 15/15 Metoda graficzna, gry n × 2 lub 2 × n Przykład. B2 W1 sup inf w2 (σ1 , σ2 ) P -3 σ2 ∈M2 σ1 ∈M1 G L 2 S -1 4 σ2 ∈M2 s1 ∈S1 D 3 -5 sup min w2 (s1 , σ2 ) Co wiemy o str.opt. gracza 2? Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 15/15 Metoda graficzna, gry n × 2 lub 2 × n Przykład. B2 W1 sup inf w2 (σ1 , σ2 ) P -3 σ2 ∈M2 σ1 ∈M1 G L 2 S -1 4 σ2 ∈M2 s1 ∈S1 D 3 -5 sup min w2 (s1 , σ2 ) Co wiemy o str.opt. gracza 2? Co wiemy o str.opt. gracza 1? Gry o sumie zerowej(w postaci strategicznej) – p. 15/15
