Mathcad - przew\363d cylin-r0-f-mi

PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNEJ W CIELE STAŁYM
Analizowane są skutki przepływu prądu przemiennego o natężeniu I przez przewodnik
okrągły o promieniu r0.
Przyjęto wstępne założenia upraszcząjace:
- kształt prądu jest sinusoidalny,
- struktura przewodu jest lita,
- przewód posiada jednakową temperaturę.
−6
Przykładowy przewodnik o rezystywności ρ := 1.4⋅ 10 (Kanthal) poddany jest działaniu pola
elektromagnetycznego w określonym przedziale częstotliwości ω( f ) := 2⋅ π⋅ f. Badany materiał jest
−7
ferromagnetykiem o zmiennej przenikalności magnetycznej µo := 4⋅ π⋅ 10 , µ ( µr) := µo ⋅ µr . Ze względu
na małe natężenia pola magnetycznego przenikalności tej można przypisać wartość stałą
odpowiadającą przenikalności powierzchniowej, co pozwala prowadzić dalsze rozważania tak jak
dla materiału jednorodnego.
Poniżej przedstawiono analityczny opis zjawiska i wynikajace z niego charakterystyki zmienności
parametrów impedancji odbiornika jakim jest drut prostoliniowy poddany działaniom różnych
sposobów zasilania. Związki te powinny ułatwić ocenę zachowań wspomnianego odbiornika podczas
wykonywanego eksperymantu z pomiarem podstawowych wielkości elektrycznych. Znajomość
zjawiska powinna również ułatwić planowanie i dobór wartości zasilacza umożliwiajacych właściwą
interpretację otrzymywanych wyników.
Z uwagi na symetrię osiową przewodnika okrągłego przyjęto
układ współrzędnych walcowych. W przewodzie pokazanym na
rysunku 1 prąd płynie w kierunku „z”. Gęstość prądu
(1)
J =γ ⋅E,
J = J k , E = Ek
ma ten sam kierunek, a natężenie pola magnetycznego kierunek
styczny do okręgu:
H=
I
,
π ⋅d
H = Hϕ
(2)
Korzystając z pierwszego równania Maxwella (prawo
przepływu) rot( H ) = J mamy
dH 1
+ ⋅H = J
dr r
Rys.1. Wycinek przewodu
okrągłego wiodącego prąd
elektryczny
(3)
Podobnie drugie równanie Maxwella (prawo indukcji)
zapiszemy
dE
dH
=µ⋅
dr
dτ
(4)
W celu uzyskania zależności jednej tylko zmiennej względem r podstawiamy równanie (4) do
(3) uwzględniając (1)
d 2 H 1 dH
dH
1
+ ⋅
− 2 ⋅H =γ ⋅µ ⋅
2
r dr r
dτ
dr
(5)
Jeśli prąd ma przebieg sinusoidalny to również natężenie pola magnetycznego jest
sinusoidalnie zmienne, a zatem
dH
= j⋅ω ⋅ H
dτ
czyli
d 2 H 1 dH 
1 
+ ⋅
−  j⋅ω ⋅γ ⋅ µ + 2  ⋅ H = 0
2
r dr 
dr
r 
1
(6)
Równanie (6) wraz z warunkami brzegowymi
H0 =
I
dla r = r0 na powierzchni przewodnika,
2 ⋅ π ⋅ r0
(7)
Hs = 0
dla r = 0 w osi przewodnika
można rozwiązać analitycznie korzystając z szeregów funkcji cylindrycznych, funkcji Bessela
z argumentem zespolonym lub numerycznie zastępując pochodne różnicami skończonymi.
Dopiero na podstawie rozkładu natężenia pola magnetycznego można określić rozkład
gęstości prądu z równania (3). Rozkład ten związany jest ściśle z natężeniem pola
2
elektrycznego E = ρ ⋅ J i jednostkową czynną moc objętościową pv = ρ ⋅ J decydującą o
stratach energii przenoszonej wzdłuż tego przewodnika. Straty dodatkowe wyznacza
2
jednostkowa bierna moc objętościowa qv = ω ⋅ µ ⋅ H .
Uwzględniając w równaniu (6) głębokość wnikania fali elektromagnetycznej jako
2⋅ ρ
δ=
rozwiązanie rozkładu natężenia pola magnetycznego można zapisać w postaci
ω⋅µ

J1 
H (r ) = H 0 ⋅ 

J1 


3 
⋅ j 2 
δ


3
2 ⋅ r0
⋅j 2

δ

2 ⋅r
(8)
a rozkład gęstości prądów wynosi
3 
⋅ j 2 
δ

3

2 ⋅ r0
⋅ j 2 
δ


J 0 
3
2
J (r ) = H 0 ⋅ j 2 ⋅
⋅ 
δ

J1 

2 ⋅r
(9)
Impedancję wewnętrzną odcinka przewodu o długości l obliczamy z zależności:
Z ⋅ I = (R + j ⋅ X ) ⋅ I = E ⋅ l = ρ ⋅ l ⋅ J
(10)
2 ⋅ r0
Posiłkując się współrzędną względną ξ 0 =
δ
impedancja ta wynosi:
3
J 0  ξ 0 ⋅ j 2 
2
ρ ⋅l ⋅ J
ρ ⋅l

=
⋅j 2 ⋅
⋅ 
Z=
3
I
2 ⋅ π ⋅ r0
δ J ξ ⋅ j 2 

1 0


3
J 0  ξ 0 ⋅ j 2 
3
ξ
Z

a odniesiona do rezystancji prądu stałego
=j 2⋅ 0 ⋅ 
3
ρ ⋅l
2


J1  ξ 0 ⋅ j 2 


π ⋅ r02
3
(11)
(12)
wyznacza współczynniki kształtu przewodu cylindrycznego
kr =
kx =
ξ 0 ber (ξ 0 ) ⋅ bei ' (ξ 0 ) − ber ' (ξ 0 ) ⋅ bei(ξ 0 )
2
⋅
ber ' (ξ 0 ) + bei ' (ξ 0 )
2
2
ξ 0 ber (ξ 0 ) ⋅ ber ' (ξ 0 ) + bei (ξ 0 ) ⋅ bei ' (ξ 0 )
2
⋅
ber ' (ξ 0 ) + bei ' (ξ 0 )
2
2
(13)
(14)
określające wzrost oporów rezystancyjnych i reaktancyjnych
Z = R0 ⋅ (kr + j ⋅ kx )
2
(15)
0
0
ξ 0 ber (ξ 0 ) ⋅ ber (ξ 0 ) + bei (ξ 0 ) ⋅ bei ' (ξ 0 )
'
kx =
⋅
2
ber ' (ξ 0 ) + bei ' (ξ 0 )
2
2
Z = R0 ⋅ (kr + j ⋅ kx )
ρ
Ogólnie rezystancja przewodu o jednostkowej długości zależna jest od promienia r0: R0( r0) :=
2
π⋅ r0
a głebokość wnikania fali od częstotliwości i przenikalności magnetycznej, przyjmując stałą
rezystywność δ( f , µr) :=
2⋅ ρ
ω( f ) ⋅ µ ( µr)
. Stąd ξ( r0, f , µr) :=
2⋅ r0
δ( f , µr)
.
Funkcje Bessela zerowego rodzaju oraz ich pochodne dla argumentu zespolonego: ξ=
j :=
r⋅ 2
δ
⋅j ;
−1 są
szeregami dla małych i zależnościami trygonometrycznymi dla dużych argumentów.
Przyjmując kk := 20 wyrazów szeregu oraz pomocnicze formuły
ξp ( r0 , f , µr) :=
ξ ( r0 , f , µr)
A( r0 , f , µr) :=
2
ap( r0 , f , µr) :=
1
exp( ξp ( r0 , f , µr) )
2 ⋅ π ⋅ ξ ( r0 , f , µr)
a1 :=
8 ⋅ ξ ( r0 , f , µr)
π
8
a3 := 3 ⋅ a1
a5 := 5 ⋅ a1
c1( r0 , f , µr) := sin( ξp ( r0 , f , µr) + a3)
c2( r0 , f , µr) := ap( r0 , f , µr) ⋅ sin( ξp ( r0 , f , µr) + a1)
c3( r0 , f , µr) := sin( ξp ( r0 , f , µr) − a1)
c4( r0 , f , µr) := ap( r0 , f , µr) ⋅ sin( ξp ( r0 , f , µr) − a3)
wyznaczono wartości tych funkcji:
J0( r0 , f , µr) :=
1 + j⋅ 0 if ξ ( r0 , f , µr) = 0
kk
∑
( −1 ) ⋅ ( 0.5⋅ ξ ( r0 , f , µr) )
k
( 2 ⋅ k! )
k =0
4⋅ k
2
kk
+ j⋅
∑
k =0
( −1 ) ⋅ ( 0.5⋅ ξ ( r0 , f , µr) )
k
(2⋅ k + 1!)
4⋅ k+ 2
2
if 0 < ξ ( r0 , f , µr) < 13
A( r0 , f , µr) ⋅ ( c1( r0 , f , µr) + c2( r0 , f , µr) ) + j ⋅ A( r0 , f , µr) ⋅ ( c3( r0 , f , µr) + c4( r0 , f , µr) ) otherwise
d1( r0 , f , µr) := sin( ξp( r0 , f , µr) + a5)
d2( r0 , f , µr) := ap( r0 , f , µr) ⋅ sin( ξp ( r0 , f , µr) + a3)
d3( r0 , f , µr) := sin( ξp( r0 , f , µr) + a1)
d4( r0 , f , µr) := ap( r0 , f , µr) ⋅ sin( ξp ( r0 , f , µr) + a1)
J1( r0 , f , µr) :=
0 + j⋅ 0 if ξ ( r0 , f , µr) = 0
kk
∑
k =0
( 0.5⋅ ξ( r0 , f , µr))4⋅ k−1⋅ 2 ⋅ k
k
( −1 ) ⋅ ( 2 ⋅ k! )
2
kk
+ j⋅
∑
k =0
(0.5⋅ ξ (r0 , f , µr)) 4⋅ k+1⋅ ( 2 ⋅ k + 1 )
k
( −1 ) ⋅ ( 2 ⋅ k + 1 ! )
2
if 0 < ξ ( r0 , f , µr) < 13
A( r0 , f , µr) ⋅ ( d1( r0 , f , µr) − 3 ⋅ d2( r0 , f , µr) ) + j ⋅ A( r0 , f , µr) ⋅ ( d3( r0 , f , µr) − 3 ⋅ d4( r0 , f , µr) ) otherwise
ber( r0 , f , µr) := Re( J0( r0 , f , µr) )
bei( r0 , f , µr) := Im( J0( r0 , f , µr) )
br( r0 , f , µr) := Re( J1( r0 , f , µr) )
bi( r0 , f , µr) := Im( J1( r0 , f , µr) )
Do analizy i prezentacji charakterystyk energetycznych i impedancyjnych prewodu cylindrycznego
zakłożono zakresy zmienności: promienia, częstotliwości i przenikalności magnetycznej
f := 50 , 100 .. 20000
r0 := 0.001 , 0.0015 .. 0.004
µr := 1 , 20 .. 1500
oraz określając rezystancję odpowiadającą prądowi stałemu, która zależna jest jedynie od promienia
przewodu
3
1
R0( r0) 0.1
0.01
0
0.001 0.002 0.003 0.004
r0
wyznaczono współczynniki kształtu przewodu cylindrycznego
- składowej rezystancyjnej:
kr( r0 , f , µr) :=
ξ ( r0 , f , µr) ber ( r0 , f , µr) ⋅ bi( r0 , f , µr) − br( r0 , f , µr) ⋅ bei( r0 , f , µr)
⋅
2
2
2
br( r0 , f , µr) + bi( r0 , f , µr)
- składowej reaktancyjnej:
kx( r0 , f , µr) :=
ξ ( r0 , f , µr) ber( r0 , f , µr) ⋅ br( r0 , f , µr) + bei( r0 , f , µr) ⋅ bi( r0 , f , µr)
⋅
2
2
2
br( r0 , f , µr) + bi( r0 , f , µr)
Ilustracją współczynników kształtu przewodu cylindrycznego są poniższe wykresy
3
3
kr( r0 , 1000 , 500)
kr( 0.0015 , f , 100)
2
2
kx( 0.0015 , f , 100)
kx( r0 , 1000 , 500)
1
1
0
0
0
0
0.001 0.002 0.003 0.004
1 .10
4
2 .10
4
f
r0
Znając współczynniki kształtu istnieje możliwość szybkiego oszacowania impedancji
Z( r0 , f , µr) := R0( r0) ⋅ ( kr( r0 , f , µr) + j⋅ kx( r0 , f , µr) )
ZM( r0 , f , µr) := Z( r0 , f , µr)
R( r0 , f , µr) := Re( Z( r0 , f , µr) )
oraz jej składowych
XL( r0 , f , µr) := Im( Z( r0 , f , µr) )
0.6
R( r0 , 1000 , 500)
1.5
R( 0.0015 , f , 500)
0.4
1
XL( r0 , 1000 , 500)
XL( 0.0015 , f , 500)
ZM( r0 , 1000 , 500) 0.2
ZM( 0.0015 , f , 500) 0.5
0
0
0
0.001 0.002 0.003 0.004
0
r0
1 .10
4
f
4
2 .10
4
0.6
R( 0.0015 , 1000 , µr)
1.5
R( 0.0015 , f , 500)
0.4
XL( 0.0015 , 1000 , µr)
XL( 0.0015 , f , 500)
ZM( 0.0015 , 1000 , µr) 0.2
ZM( 0.0015 , f , 500)
0
0
500
1000
1
0.5
0
1500
µr
0
5
10
ξp( 0.0015 , f , 500)
Otrzymane zastępcze parametry przewodu elektrycznego są prawidłowe jedynie dla materiałów
niemagnetycznych. Natomiast dla materiałów magnetycznych, w tym ferromagnetycznych mogą
stanowić tylko pierwsze przybliżenie.
Kontynuując przykładowe obliczenia należy wybrać rodzaj wymuszenia: napięciowe lub prądowe.
Napięciowe odpowiada grupie przypadków nagrzewania bezpośredniego, a prądowe może być
przyjmowane przy przesyle energii elektrycznej. Ze względu na to, że w rozwiązaniu ze źródłem
napięciowym zawarte jest rozwiązanie ze źródłem pradowym do rozważań zostanie przyjęte to
pierwsze. Zakładając napięcie o przebiegu sinusoidalnym i wartości skutecznej U := 3 V określono
prąd
I( r0 , f , µr) :=
U
ZM( r0 , f , µr)
który powoduje określony przepływ dający zewnętrzne natężenie pola magnetycznego
H0( r0 , f , µr) :=
I( r0 , f , µr)
2 ⋅ π ⋅ r0
Z krzywej magnesowania można wyróznić związek µ=f(H) i aproksymować go następującą funkcją
wykładniczą o współczynnikach m1 := 2.41 i m2:= 14.73
µf ( r0 , f , µr) := m1
( m2− ln( H0( r0 , f , µr) ) )
2000
Porównanie tożsamościowe przenikalności
µf z µr, np.:
µf ( 0.0015 , 500 , µr) 1500
µf ( 0.0015 , 500 , 787 ) = 787.3
µf ( 0.0015 , 1000 , µr)
µf ( 0.0015 , 1000 , 1270) = 1270.3
µf ( 0.0015 , 2000 , µr)
µf ( 0.0015 , 2000 , 2080) = 2080.4
1000
500
0
500
1000
umożliwia wyznaczyć przenikalność
magnetyczną, której wartości rosną wraz z
częstotliwością powodującą malenie prądu.
1500
µr
5
20
787
I( 0.0015 , 500 , 787 ) = 11.99
1270
I( 0.0015 , 1000 , 1270) = 6.96
15
12
I( 0.0015 , 500 , µr)
I( 0.0015 , 1000 , µr)
I( 0.0015 , 2000 , 2080) = 3.97
10
7
I( 0.0015 , 2000 , µr)
5
0
0
500
1000
1500
µr
Przecinające się linie na wykresie I=f(µr) ustalają punkty wyznaczające prądy w przewodzie
zasilanym napieciem o różnej częstotliwości. Dla tych wartości wnoszone impedancje wynoszą:
Z( 0.0015, 500, 787) = 0.221 + 0.116j i Z( 0.0015, 1000, 1270) = 0.333 + 0.273j .
P( r0 , f , µr) := I( r0 , f , µr) ⋅ R( r0 , f , µr)
2
Moc czynna wytwarzana w przewodzie wynosi
P( 0.0015 , 500 , 787 ) = 31.85
P( 0.0015 , 1000 , 1270) = 16.16
P( 0.0015 , 2000 , 2080) = 8.87
także maleje - zupełnie inaczej jak przy zasilaniu prądowym.
Ciekawe są nie tylko zmiany mocy całkowitej lecz również jednostkowej mocy objętościowej
decydującej o szybkości nagrzewania się przewodu. Średnia jej wartość wynosi
pv( r0 , f , µr) :=
P( r0 , f , µr)
π ⋅ r0
2
Przedstawmy powyższe zależności od zmian
- promienia przewodu
80
60
P ( r0 , 500 , 787)
P ( r0 , 1000 , 1270)
6 .10
6
pv( r0 , 500 , 787) 4 .10
6
pv( r0 , 1000 , 1270)
40
P ( r0 , 2000 , 2080)
pv( r0 , 2000 , 2080)
6
2 .10
20
0
0
0
0.001 0.002 0.003 0.004
r0
0
0.001 0.002 0.003 0.004
r0
6
- przenikalności magnetycznej
50
8 .10
6
40
6 .10
6
P ( 0.0015 , 500 , µr)
P ( 0.0015 , 1000 , µr)
pv( 0.0015 , 500 , µr)
pv( 0.0015 , 1000 , µr)4 .106
30
P ( 0.0015 , 2000 , µr)
pv( 0.0015 , 2000 , µr)
2 .10
20
10
0
500
1000
6
0
1500
0
µr
500
1000
1500
µr
- i częstotliwości
60
P ( 0.0015 , f , 787)
40
6
6 .10
6
pv( 0.0015 , f , 787)
pv( 0.0015 , f , 1270)4 .106
P ( 0.0015 , f , 1270)
P ( 0.0015 , f , 2080)
8 .10
pv( 0.0015 , f , 2080)
20
2 .10
0
0
1 .10
4
2 .10
6
0
4
0
f
1 .10
f
4
2 .10
4
Wzrost każdego z wyżej wymienionych parametrów powoduje zmniejszanie się uśrednionych źródeł
ciepła, co prowadzi do wolniejszych przyrostów temperatur przewodu. I nawet w przypadku
rosnącego promienia, gdy zwiększa się moc całkowita, obserwowane jest spowolnione nagrzewania
przewodu.
A. Cel ćwiczenia
- Zwrócenie uwagi na aspekty poznawcze przetwarzania energii elektrycznej w cieplną w ciele
stałym,
- Przypomnienie równań matematycznych opisujących energetyczne właściwości transportu energii
elektrycznej w uproszczonych strukturach przewodów cylindrycznych,
- Przedstawienie zmian parametrów zastępczych przewodnika na przykładzie drutu oporowego,
- Wykonanie serii pomiarów eksperymentalnych
- Dokonanie obliczeń uzupełniających - wyznaczenie współczynników kształtu przewodu,
- Porównanie wyników doświadczalnych z teoretycznymi.
7
B. Badania
Podstawowe badania prowadzone będą na stanowisku laboratoryjnym wyposażonym w:
- Generator mocy o sinusoidalnym przebiegu napięcia o regulowanej amplitudzie do 24 V i
częstotliwości w zakresie do 20 kHz. Generator ten stanowiący źródło mocy może być
obciążany do kilkunastu amperów.
- Odbiornik energii zestawianego z prostych prętów przewodu oporowego o różnych średnicach.
- Układ pomiarowy złożony z halotronowego przekładnika prądowego i sondy napięciowej oraz
częstotliwościomierza.
- Układ przetwarzający pracujący w oparciu o mnożarkę elektroniczną, który z mierzonych
dwóch analogowych przebiegów prądu i napięcia wyznacza średnią moc czynną oraz
wartości skuteczne napięć i prądów.
- Układ rejestrujący notujący unormowane (z przełączaniem zakresów) wspomniane wielkości
przy pomocy karty pomiarowej i programu obsługującego.
Składowe stanowiska pomiarowego przedstawiono na rysunku 2.
LEM
generator
f = var,
U = var
R1
częstotliwościomierz
R2
Ri
p
r
z
e
w
ó
d
>
filtr
dolnoprz.
*
1, 2, 4, 8
P1
mnożarka
>
1, 2, 4, 8
P2
karta
pomiarowa
rejestrator
Rys. 2. Układ zasilający i kontrolno-pomiarowy do zbierania i rejestrowania
zastępczych danych o przebiegach elektrycznych.
Po przygotowaniu stanowiska laboratoryjnego do pracy dokonać dwóch serii pomiarów
prądów, napięć i mocy czynnej dla wymuszenia:
- napięciowego,
- prądowego
przy zmiennej częstotliwości.
Skorzystać z zarejestrowanych w tablicy i zbiorze tekstowym pomiarów oraz wstępnych
obliczeń niezbędnych do wyznaczenia oporów i współczynników kształtu, które to rezultaty
zamieścić w tablicy według wzoru 2.
8
Tablica 1: Wielkości mierzone i obliczone w zbiorze tekstowym rejestratora komputerowego.
dana
f
Hz
I
A
zakres
I/U
pomiary
P1
W
P2
W
U
V
cos φ
-
obliczenia
S
VA
Q
VAr
Tablica 2: Obliczenia oporów i współczynników kształtu przewodu.
f
Hz
R
Ω
X
Ω
Z
Ω
kr
-
kx
-
Podczas nastawiania wartości wymuszających dokonać obserwacji przebiegów pradu i
napięcia na oscyloskopie. Na podstawie których oszacować wartości amplitudowe oraz kąt
przesunięcia fazowego.
Po badaniach częstotliwościowych wykonać kolejną serię pomiarów przy stałej
częstotliwości (dla której współczynnik mocy jest rzędu 0,85) zmieniając moc doprowadzaną od
najmnieszej do wartości odpowiadajacej prądowi mniejszemu od 12 A. Dla tej grupy pomiarów
dokonać analogicznych obliczeń jak w przypadkach poprzednich.
C. Opracowanie wyników
C1. Przedstawić na wykresach współczynniki kształtu przewodu w funkcji częstotliwości
przy wymuszeniu napięciowym oraz prądowym.
C2. Określić zdolność do nagrzewania się przewodu przy różnych wymuszeniach.
C3. Wyznaczyć współczynnik mocy przetwornika energii elektrycznej przy stałej
częstotliwości i rosnącej mocy.
C4. Dokonać analizy teoretycznej mającej na celu ustalenie wpływu wartości przetwarzanej
energii elektrycznej na charakter odbiornika jakim jest przewód prostoliniowy
ferromagnetyczny.
C5. Opracować wnioski i uwagi do ćwiczenia.
9