lista 10 - Uniwersyteckie Koło Matematyczne

Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Uniwersyteckie Koło Matematyczne dla uczniów szkół średnich
Lista zadań nr 10 – spotkanie w dniu 26.01.2008.
Dowodzenie nierówności
1. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b zachodzą nierówności:
s
a2 + b2
a+b √
2
.
>
> ab >
1
1
2
2
+
a b
Uwaga. Wyrażenia występujące w powyższych nierównościach to średnie (kolejno): kwadratowa, arytmetyczna, geometryczna, harmoniczna.
2. Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste a i b spełniają warunek a2 + b2 6 2, to
zachodzi nierówność a + b 6 2.
3. Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność
(a + b)4 6 8(a4 + b4 ).
4. Udowodnić, że jeżeli liczby dodatnie x, y spełniają warunek x + y = 1, to
1
x3 + y 3 > .
4
5. (Zad. dom.) Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y i dowolnej liczby
naturalnej n > 2 zachodzi nierówność
s
n
xn + y n
x+y
>
.
2
2
Uwaga. Wyrażenie po lewej stronie powyższej nierówności nazywamy średnią
rzędu n liczb x, y. Można udowodnić, że jeśli m < n, to średnia rzędu m liczb
x, y nie przekracza średniej rzędu n tych liczb.
6. Udowodnić nierówność
x2 + y 2 + z 2 > xy + yz + zx
dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z. Kiedy w tej nierówności ma miejsce
równość?
7. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność
a4 + b4 + c2 + 1 > 2a(ab2 − a + c + 1).
8. (Zad. dom.) Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste x, y, z spełniają warunek
x + y + z = 1, to
1
x2 + y 2 + z 2 > .
3
9. Nierówność Cauchy’ego. Niech n > 1 będzie liczbą naturalną. Udowodnić, że
dla dowolnych liczb dodatnich x1 , x2 , . . . , xn zachodzi nierówność
√
x1 + x2 + . . . + xn
> n x1 x2 . . . xn .
n
10. Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność
√
a(1 + b) + b(1 + c) + c(1 + a) > 6 abc.