ANALIZA FUNKCJONALNA 2, WPPT (MATEMATYKA) Lista zadań
Transkrypt
ANALIZA FUNKCJONALNA 2, WPPT (MATEMATYKA) Lista zadań
ANALIZA FUNKCJONALNA 2, WPPT (MATEMATYKA) Lista zadań na 20 X 1. Jeśli przestrzeń Banacha X jest refleksywna, to każdy funkcjonał liniowy x∗ ∈ X ∗ osiąga swoją normę na kuli jednostkowej (tj. istnieje x0 ∈ X taki, że kx0 k = 1, |x∗ (x0 )| = kx∗ k). 2. Niech X0 = {(an ) ∈ `1 : ∞ n=1 an = 0}. Pokazać, że X0 jest domkniętą podprzestrzenią `1 (wskazówka: można rozważyć odpowiedni funkcjonał). P Zdefiniujmy na X0 funkcjonał φ0 wzorem φ0 ((an )) = a1 + a2 . Obliczyć normę tego funkcjonału. Znaleźć wszystkie rozszerzenia φ0 do funkcjonału liniowego i ciągłego φ na X. Które z nich zachowują normę? 3. Niech X0 ⊂ C[−1, 1] będzie podprzestrzenią wszystkich parzystych funkcji ciągłych. Na X0 definiujemy funkcjonał φ0 wzorem φ0 (f ) = f (1). Jak wyglądają rozszerzenia tego funkcjonału do funkcjonału liniowego i ciągłego na C[−1, 1]? 4. Niech (X, k · k) będzie przestrzenią Banacha. Rozstrzygnąć, kiedy istnieje norma k · k2 na X spełniająca dwa warunki: • kxk ¬ kxk2 dla wszystkich x ∈ X; • nie istnieje liczba C taka, że kxk2 ¬ Ckxk dla wszystkich x ∈ X. Wskazówka: rozważyć kxk2 = kxk + |φ(x)| dla odpowiednio dobranego funkcjonału φ. 1