ANALIZA FUNKCJONALNA 2, WPPT (MATEMATYKA) Lista zadań

ANALIZA FUNKCJONALNA 2, WPPT (MATEMATYKA)
Lista zadań na 20 X
1. Jeśli przestrzeń Banacha X jest refleksywna, to każdy funkcjonał liniowy x∗ ∈ X ∗
osiąga swoją normę na kuli jednostkowej (tj. istnieje x0 ∈ X taki, że kx0 k = 1,
|x∗ (x0 )| = kx∗ k).
2. Niech X0 = {(an ) ∈ `1 : ∞
n=1 an = 0}. Pokazać, że X0 jest domkniętą podprzestrzenią `1 (wskazówka: można rozważyć odpowiedni funkcjonał).
P
Zdefiniujmy na X0 funkcjonał φ0 wzorem
φ0 ((an )) = a1 + a2 .
Obliczyć normę tego funkcjonału. Znaleźć wszystkie rozszerzenia φ0 do funkcjonału
liniowego i ciągłego φ na X. Które z nich zachowują normę?
3. Niech X0 ⊂ C[−1, 1] będzie podprzestrzenią wszystkich parzystych funkcji ciągłych.
Na X0 definiujemy funkcjonał φ0 wzorem φ0 (f ) = f (1). Jak wyglądają rozszerzenia
tego funkcjonału do funkcjonału liniowego i ciągłego na C[−1, 1]?
4. Niech (X, k · k) będzie przestrzenią Banacha. Rozstrzygnąć, kiedy istnieje norma
k · k2 na X spełniająca dwa warunki:
• kxk ¬ kxk2
dla wszystkich x ∈ X;
• nie istnieje liczba C taka, że
kxk2 ¬ Ckxk dla wszystkich x ∈ X.
Wskazówka: rozważyć kxk2 = kxk + |φ(x)| dla odpowiednio dobranego funkcjonału
φ.
1