Oswoić procent składany Oswoić procent składany

nauczanie matematyki
Oswoić
procent składany
n
ANNA PIEKARSKA
W
klasie pierwszej ponadgimnazjalnej ponownie wracamy do
procentów. Niemały problem
sprawia uczniom nieco inne, niż w gimnazjum, podejście do tych zagadnień. Klasy „niematematyczne” traktują procenty
jako zło konieczne. Uczniom trudno jest
się oderwać od przyzwyczajeń i najchętniej każde zadanie rozwiązywaliby korzystając z proporcji. Przykładowo – w zadaniach, gdzie mamy do czynienia z podwyżkami czy obniżkami, uczniowie chcą
dodawać lub odejmować i trudno jest ich
przekonać do tego, aby zamiast pisać
150 zł + 10% × 150 zł pisali 1,1 × 150 zł,
czy zamiast 150 zł - 10% × 150 zł pisali
0,9 × 150 zł.
Gdy daję uczniom możliwość wyboru
metody obliczeń, to zazwyczaj wybierają
metodę dłuższą, tą, do której są przyzwyczajeni. Tymczasem to „nowe” podejście
przydaje się np. przy zagadnieniach związanych z procentem składanym.
Opowiem o pewnej lekcji, którą przeprowadziłam w pierwszej klasie humanistycznej w liceum ogólnokształcącym.
W ramach wstępu do lekcji zapytałam,
co można obecnie zrobić z pieniędzmi,
które chciałoby się zaoszczędzić. Ku mojemu zdziwieniu nie padła odpowiedź
w stylu: „dać na lokatę do banku”, ale „zainwestować, np. w fundusze”. Podążyłam
za tą myślą. Opowiedzieliśmy sobie pokrótce, jak działają fundusze i jaka jest
412
różnica w ich funkcjonowaniu w porównaniu z bankiem. Przyjęliśmy, że średni
roczny zysk z funduszu wynosi 13%. Potem opowiedziałam im historię pewnego
amerykańskiego listonosza Scotta Bauera,
który przez 47 lat swojej pracy odkładał
codziennie po 1 dolarze. Pieniądze inwestował w fundusze i gdy przechodził na
emeryturę w 2002 roku okazało się, że
jego majątek wynosi 2 mln dolarów!
Potem zadałam magiczne pytanie: Ile
trzeba by dziś wpłacić pieniędzy na fundusze inwestycyjne, aby za 30 lat być milionerem? Zakładamy oczywiście, że pieniędzy
nie wybieramy przez cały ten okres. W tym
momencie klasa się ożywiła, padały różne odpowiedzi, od 500 zł do 100 000 zł.
Zaproponowałam, aby spróbowali to policzyć. Byliśmy już po lekcji z podwyżkami i obniżkami, więc uczniowie powoli
przestawali dodawać, a zaczynali mnożyć.
Ułożyliśmy nierówność:
x × (1,13)30 ³ 1 000 000.
Kalkulatory poszły w ruch i po paru minutach dostaliśmy odpowiedź: niecałe
26 tys. zł. Klasa stwierdziła, że na obecne
czasy nie są to aż tak wielkie pieniądze.
Niektórzy dodali, że oczywiście chcieliby
być w wieku 46 lat milionerami, tylko skąd
wziąć 26 tys. zł?
Poddałam więc pod dyskusję inne pytanie: Po ile trzeba by wpłacać przez pięć
lat, a potem już nic nie wpłacać i nic nie
wybierać, aby za 30 lat być milionerem?
Ten problem nie był już taki prosty, ale
czuło się zainteresowanie nim klasy. Wzięmatematyka
nauczanie matematyki
liśmy na początek 1000 zł. Ten tysiąc, po
30 latach działania procentu składanego, dał nam nieco ponad 39 tys. zł. Po
roku wpłacamy kolejny tysiąc i ten po 29
latach daje nieco ponad 34,5 tys. zł. Kolejny po 28 latach daje 30,6 tys. zł, następny po 27 latach da nam 27,1 tys. zł,
a ostatni będzie procentował tylko przez
26 lat i da nam niecałe 24 tys. zł. Sumując to wszystko dostajemy tylko około
155 tys. zł. Do miliona brakuje sporo. Po
ile zatem wpłacać przez pierwsze 5 lat
oszczędzania? Przydałby się arkusz kalkulacyjny, aby to szybko obliczyć, ale niestety nie mieliśmy takiej możliwości. Podzieliliśmy się zatem na grupy i każda
zajęła się inną kwotą, od 4 do 7 tys. zł.
Właściwą okazała się kwota między 6 a 7
tys. zł. Przyjęliśmy 6,5 tys. zł. Czy zatem
oszczędzanie 6,5 tys. zł rocznie, czyli niecałych 550 zł miesięcznie jest realne? Odpowiedzi były różne.
Idąc dalej zaproponowałam regularne
oszczędzanie przez całe 30 lat: Po ile zatem należałoby wpłacać rocznie, aby za 30
lat być milionerem? Na rozwiązanie tego
problemu czasu brakło, ale klasa sama
stwierdziła, że chętnie policzą to w domu.
Na następnej lekcji sami przypomnieli, że
mieli taki problem rozwiązać i że mieliśmy do niego wrócić. Kilku uczniów przyniosło wykonany w Excelu arkusz kalkulacyjny z obliczeniami, inni rozwiązali
zadanie z użyciem kalkulatora. Klasa była
wyraźnie podekscytowana, tym bardziej,
że okazało się, iż wystarczy co roku przez
30 lat wpłacać po 3020 zł, czyli po około
250 zł miesięcznie, aby w wieku 46 lat być
milionerem. Dla niektórych było to prawdziwe zaskoczenie.
Lekcja dała nam bardzo wiele. Pokazała, że nawet w klasie o zainteresowaniach humanistycznych można, poprzez
silną motywację, obudzić w uczniach chęć
aktywnego udziału w lekcji matematyki.
Okiełznaliśmy tajemnicę procentu składa7/2009
nego, wykorzystując naturalną dla człowieka żądzę pieniądza. Każdy przecież
chciałby być milionerem i to w stosunkowo młodym wieku. Oczywiście, podczas
lekcji pojawiło się mnóstwo pytań, typu:
A co się stanie, jeśli oprocentowanie się
zmieni, będzie wyższe lub niższe? A jeśli
ktoś będzie chciał lub będzie musiał wybrać pieniądze wcześniej wpłacone? Czy
tak się da? Jaką mamy gwarancję, że fundusz nie upadnie przez te 30 lat? Te pytania, bardziej ekonomiczne, finansowe, nie
były pytaniami, którymi można się zajmować na lekcjach matematyki, ale niewątpliwie przekonałam klasę o sile procentu
składanego i (jak niektórzy słusznie mówią)
o jego magii.
Po tej lekcji przyszła mi na myśl jeszcze jedna refleksja. Dlaczego w nowych
zbiorach zadań (z 2008 r.) wciąż pojawiają
się „stare” zadania, w których lokata bankowa oprocentowana jest 20% w skali
roku, a nawet 24%. Nie znalazłam zadań
o długoterminowym inwestowaniu w fundusze inwestycyjne, mimo, że te istnieją
w Polsce już od prawie 10 lat. Wciąż rozwiązujemy tylko stare zadania o lokatach.
Czas chyba zmienić nieco repertuar,
zwłaszcza że uczniowie doskonale czują,
które zadania nie są na czasie.
Prócz tego udowodniłam sobie i uczniom, że znajomość podstawowych pojęć
i obliczeń matematycznych, nawet dla
uczniów klas humanistycznych, jest absolutnie niezbędna do rozwiązywania podstawowych problemów życia codziennego,
jak oszczędzanie czy planowanie własnych
finansów. Ponadto, nie musi to być trudne i nudne, ale może być bardzo interesujące i wciągające.
q
ANNA PIEKARSKA
nauczycielka LO w Piekarach k/ Krakowa
413