Lista piąta
Transkrypt
Lista piąta
In»ynierskie zastosowania statystyki ¢wiczenia Tydzie« 5: Estymacja parametrów rozkªadu metod¡ momentów Poni»ej opisano u»ywane poj¦cia i zebrano charakterystyczne dla tego tematu typy zada«. Tam gdzie nie jest to jawnie napisane, ale wynika to z tre±ci zadania, rozwa»amy prób¦ losow¡ X = (X1 , . . . , Xn ) niezale»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie podanym w zadaniu. Zadania 1. Metod¡ momentów wyznaczy¢ estymatory: (a) parametru p ∈ [0, 1] w rozkªadzie geometrycznym P (X = k) = (1 − p)k−1 p, (b) parametru (c) parametru λ > 0 w rozkªadzie wykªadniczym λ2 > 0 w rozkªadzie Poissona P (X = k) = dla k ∈ N+ o funkcji g¦sto±ci e−λ λk , k! dla k ∈ N 2. Metod¡ momentów wyznaczy¢ estymator wektora parametru (a) Θ = (µ, σ) w rozkªadzie normalnym µ ∈ R, σ ∈ R+ , ∀x ∈ R : f (x) = (b) p Θ: N (µ, σ 2 ) √1 e− σ 2π (x−µ)2 2σ 2 Θ = (n, p), w rozkªadzie Bernouliego. n ∈ N, p ∈ [0, 1], ∀k ∈ {0, . . . , n} : P (k = X) = 3. Oblicz estymator parametru f (x) = λe−λx 1(0,∞) (x) n k k p (1 − p)n−k metod¡ momentów dla próby losowej X = (X1 , . . . , Xn ) nieza- le»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie dyskretnym danym przez P (X = 0) = p, P (X = 1) = 1 − 2p, P (X = 2) = p, 4. Wyznacz (metod¡ momentów) estymator parametru k dla próby losowej X = (X1 , . . . , Xn ) niezale»nych zmiennych losowych o tym samym trzypunktowym rozkªadzie dyskretnym danym przez nast¦puj¡ce prawdopodobie«stwa 1 P (X = −1) = 2k2 1 P (X = 0) = 1 − k2 P (X = 1) = 1 2k2 . 5. Metod¡ momentów wyznacz estymator parametru k dla próby losowej X = (X1 , . . . , Xn ) niezale»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie o g¦sto±ci prawdopodobie«stwa fk (x) = xk2 2 1[0, 2 ] (x). k 6. Poka», »e korzystaj¡c z metody momentów dla zmiennych losowych kªadu jednostajnego U(−θ, θ) mo»na otrzyma¢ estymator v u n u3 X θ̂ = t Xi2 . n i=1 Xi pochodz¡cych z roz- Teoria Metoda momentów jest jedn¡ z metod estymacji parametrów opart¡ na idei podstawienia. W metodzie tej zakªada si¦, »e naturalnymi estymatorami momentów rozkªadów prawdopoodobie«stwa s¡ odpowiednie momenty z próby losowej E(X k ) (X1 , X2 , . . . , Xn ) 1 (momenty empiryczne). Odpowiednikiem Pn k moment z próby n i=1 Xi . Estymatory wyznaczone metod¡ momentów w ogólno±ci nie s¡ wyznaczone jednoznacznie, to znaczy, »e mo»e istnie¢ wi¦cej ni» jeden momentu rozkªadu jest k -ty estymator wyznaczony metod¡ momentów danego parametru. Ogólny algorytm post¦powania, aby obliczy¢ estymator metod¡ momentów: 1. Znale¹¢ funkcj¦ momentów teoretycznych równ¡ nieznanemu parametrowi, który estymujemy 2. Zast¡pi¢ momenty teoretyczne momentami empirycznymi, np. Zamiast warto±ci oczekiwanej EX podstawi¢ ±redni¡ z próby x̄ = 1 n Pn i=1 Xi . Przykªadowe zadanie: Wyznacz estymator momentów parametru a w rozkªadzie ci¡gªym o funkcji g¦sto±ci danej wzorem fa (x) = a1[−0.5,0] (x) + 1[0,0.5] (x) + (1 − a)1[0.5,1] (x) Rozwi¡zanie przykªadowego zadania: Obliczmy pierwszy moment: Z∞ EX = −∞ xdx+ xadx+ xf (x)dx = −0.5 Z1 Z0.5 Z0 0 0.5 0 0.5 1 ax2 x2 (1 − a)x2 1−a x(1−a)dx = + + . = 2 −0.5 2 0 2 2 0.5 Mamy st¡d równanie na nieznany parametr: a = 1 − 2EX . Zast¦puj¡c EX ±redni¡ z próby otrzymujemy estymator mentów: â = 1 − n 2X Xi n i=1 â parametru a uzyskany metod¡ mo-