konspekt funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza
Ustalmy dowolną liczbę a∈(0,1)∪(1,∞).
Jeżeli każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkujemy liczbę y=ax , to tak
określoną funkcję nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie a
Niech dana będzie funkcja wykładnicza f(x)=ax.
Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
Każda funkcja wykładnicza jest monotoniczna.
Zauważmy, że bez względu na wartość a, zawsze f(1) = a i f(0) =1
Przypadek 1. a∈(0,1)
W tym przypadku funkcja jest malejąca, a jej wykresem jest krzywa
wykładnicza naszkicowana poniżej:
Przypadek 2. a∈(1,∞)
W tym przypadku funkcja jest rosnąca, a jej wykresem jest krzywa
wykładnicza naszkicowana poniżej:
ZADANIA:
1. Dane są dwie funkcje określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x
wzorami f(x)=−5x+1 oraz g(x)=5X. Liczba punktów wspólnych wykresów
tych funkcji jest równa
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
Rozwiązanie:
Funkcja f jest malejącą funkcją liniową (współczynnik kierunkowy jest ujemny).
Funkcja g jest rosnącą funkcją wykładniczą (podstawa jest większa od liczby
1).
Obie funkcje przecinają się w punkcie (0; 1), patrz rysunek.
Odpowiedź:
C.
2. Zbiorem wartości funkcji f(x)=2x +3 jest zbiór:
A. wszystkich liczb rzeczywistych
B. (0,+∞)
C. (−3,+∞)
D. (3,+∞)
Rozwiązanie:
Zbiorem wartości funkcji wykładniczej g(x)=2x jest przedział (0,∞). Wykres
funkcji f(x)=2x +3 powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o trzy jednostki
w górę, więc jej zbiorem wartości jest przedział (3,∞).
Odpowiedź: D.
Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych
wzorem y=−2x−2, należy punkt
A=(1,−2)
B=(2,−1)
C=(1,12)
D=(4,4)
Rozwiązanie:
Podstawiając za x pierwszą współrzędną punktu do wzoru y=−2x-2, powinieneś
uzyskać drugą współrzędną, o ile oczywiście punkt należy do wykresu funkcji.
Dla x=2 wartość funkcji
wynosi:
stąd wnioskujemy, że do wykresu funkcji należy punkt (2,−1).
Odpowiedź: B.