1 LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI PROCESÓW

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI PROCESÓW FIZYCZNYCH
‚WICZENIE NR 3
Modelowanie i symulacja przewodzenia ciep»a
W przypadku gdy równania róóniczkowe opisujce proces zawieraj wi“cej nió jedn
zmienn niezaleón prowadzi to do równa½ róóniczkowych czstkowych. Równania
róóniczkowe czstkowe wyst“puj zawsze w zagadnieniach polowych, dotyczcych opisu takich
pól, jak np.: elektrostatyczne, magnetyczne, hydrodynamiczne czy w zagadnieniach dwu- lub
wi“cej wymiarowego przep»ywu ciep»a. JeÑli celem modelowania jest dynamika uk»adu, to
nawet zadanie jednowymiarowe jest opisane równaniami czstkowymi ze wzgl“du na
wprowadzenie czasu jako dodatkowej zmiennej niezaleónej. Modelowanie przewodzenia ciep»a
jest przyk»adem zadania, do którego rozwizania zastosowanie opisu o parametrach skupionych
nie wystarcza i konieczne jest wprowadzenie parametrów roz»oóonych.
Stosuje się trzy różne metody rozwiązywania numerycznego zagadnień polowych.
Pierwsza z nich to metoda różnic skończonych, w której stosuje się dyskretyzację pola na
odpowiednio małe elementy, a następnie aproksymuje różnicami skończonymi równania
różniczkowe dla poszczególnych elementów dyskretyzacji, i rozwiązanie problemu polega na
rozwiązaniu układu dużej liczby równań algebraicznych. Drugą metodą stosująca również
dyskretyzację pola jest metoda elementów skończonych, polegająca na przybliżonej
minimalizacji funkcjonału w postaci całki nieznanej funkcji dla całego obszaru rozpatrywanego
pola. Trzeca grupa metod to metody probabilistyczne.
1. Równania przewodzenia ciep»a
Równanie przewodzenia ciep»a ma nast“pujc postaƒ:
∂
∂T
∂
∂T
∂
∂T
∂T
(λ
)+ ( λ
)+ ( λ
) - cρ
= - g(x, y, z,t)
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂t
gdzie:
λ
c
ρ
(1)
wspó»czynnik przewodzenia ciep»a oÑrodka [W/(mK)],
-
ciep»o w»aÑciwe oÑrodka [J/(kgK)],
-
g“stoу oÑrodka [kg/m3],
1
T
-
temperatura [K],
x,y,z -
wspó»rz“dne [m],
t
-
czas [s],
g
-
wydajnoу przestrzennych ïróde» ciep»a [W/m3].
Zagadnienie poszukiwania pola temperatury zmiennego w czasie sprowadza si“ do
znalezienia rozwizania równania (1) przy odpowiednio sformu»owanych warunkach
granicznych. Na warunki graniczne sk»ada si“ warunek pocztkowy opisujcy pole temperatury
w rozwaóanym obszarze w chwili t=0 oraz warunek brzegowy okreÑlajcy stan cieplny na
powierzchni ograniczajcej badany obszar dla t>=0.
Warunki brzegowe najcz“Ñciej spotykane w zagadnieniach termokinetyki s szczególnym
przypadkiem warunku opisujcego mieszany charakter wymiany ciep»a z otoczeniem:
1. Warunek brzegowy pierwszego rodzaju, zwany równieó warunkiem Drichleta
odpowiada przypadkowi gdy znany jest rozk»ad temperatury na powierzchni ograniczajcej
rozwaóany obszar:
T(P,t) = ϕ (P,t)
(2)
gdzie:
P
-
punkt naleócy do powierzchni ograniczajcej badany obszar.
2. Warunek brzegowy drugiego rodzaju, zwany równieó warunkiem Neumanna
odpowiada przypadkowi gdy okreÑlony jest rozk»ad strumienia ciep»a oddawanego na zewntrz
lub wnikajcego do rozwaóanego obszaru cia»a:
λ(
dT
) = q(P,t)
dn P
(3)
gdzie:
(dT/dn)P
-
pochodna wzgl“dem skierowanej na zewntrz normalnej n do powierzchni
ograniczajcej rozwaóany obszar, w punkcie P,
Jeóeli strumie½ ciep»a q=0 to cia»o nie wymienia ciep»a z otoczeniem, co oznacza, óe
powierzchnia rozwaóanego cia»a pokryta jest idealn izolacj ciepln.
3. Warunek brzegowy trzeciego rodzaju:
λ(
dT
) = - αT(P,t)
dn P
(4)
2
gdzie:
α
-
wspó»czynnik przejmowania ciep»a,
odpowiada wymianie ciep»a ze Ñrodowiskiem przez konwekcj“ ze sta»ym wspó»czynnikiem
przejmowania ciep»a α.
Kaódy z wymienionych warunków brzegowych moóe dotyczyƒ ca»ej powierzchni
ograniczajcej rozwaóany obszar lub tylko jej cz“Ñci.
2. Przyk»ad zagadnienia przewodzenia ciep»a
Do rozwiązania zagadnienia przewodzenia ciepła na zajęciach zostanie zastosowana
metoda różnic skończonych, będąca metodą ogólną i łatwą w użyciu. Dokładność jej jest na ogół
wystarczająca do rozwiązywania zagadnień nieustalonego przewodzenia ciepła występujących w
technice. Sposób postępowania przy dyskretyzacji zmiennych zostanie objaśniony na
przykładzie równania przewodzenia ciepła w jednowymiarowym, płaskim ciele stałym bez
wewnętrznych źródeł ciepła:
∂
∂T
∂T
(λ
) - cρ
=0
∂x
∂x
∂t
(5)
W ƒwiczeniu rozwaóany b“dzie jednowymiarowy przep»yw ciep»a przez p»yt“ o zadanej
gruboÑci sk»adajcej si“ z 3 warstw o róónej gruboÑci i róónych w»aÑciwoÑciach. Zadanie polega
na obliczeniu zmiennego w czasie rozk»adu temperatur w p»ycie przy uwzgl“dnieniu róónych
warunków brzegowych. Do rozwizania zagadnienia zastosowana zostanie metoda CrankaNicholsona. W ƒwiczeniu wykorzystana zostanie procedura CrankNicolson s»uóca do
rozwizywania równa½ róóniczkowych o postaci:
∂
∂u
∂u
(p(x,t) ) - c(x,t) = - f(x,t)
∂x
∂x
∂t
(6)
u(x,0) = ϕ (x)
(7)
z warunkiem pocztkowym:
i warunkiem brzegowym:
u(a,t) =ψ 1 (t)
u(b,t) =ψ 2 (t)
(8)
gdzie:
3
a,b
-
lewy i prawy koniec przedzia»u zmiennej x.
lub procedura CrankNicolsonmixed rozwizujca to samo równanie ale z innym warunkiem
brzegowym:
du
) - αu =ψ 1 (t)
dx a
du
(
) - βu =ψ 2 (t)
dx b
(
(9)
Nag»ówek procedury CrankNicolson:
procedure CrankNicolson (
n,j
: integer;
k,a,b : extended;
var u : vector;
zero
: extended;
var st : integer);
gdzie:
n
j
k
a,b
u
zero
st
-
liczba odcinków, na które dzielimy przedzia» [a,b],
numer kroku czasowego, w którym wyznaczane jest rozwizanie,
d»ugoу kroku czasowego,
ko½ce przedzia»u zmiennej x,
tablica zawierajca rozwizanie w kolejnym kroku czasowym,
wartoу graniczna, ponióej której wszystkie zmienne s ustawiane na 0,
zmienna sygnalizujca b»“dne parametry (st=1) lub brak rozwizania (st=2).
Nag»ówek procedury CrankNicolsonmixed:
procedure CrankNicolsonmixed (
n,j
: integer;
k,a,b,alpha,beta : extended;
var u
: vector;
zero
: extended;
var st
: integer);
zawiera ponadto dwa dodatkowe parametry:
alpha,beta -
sta»e wyst“pujce w warunkach brzegowych (9).
Powyósze procedury rozwizywania równania (6) odwo»uj si“ ponadto do zewn“trznych
funkcji wyst“pujcych w tymóe równaniu:
function c(x,t : extended) : extended;
function p(x,t : extended) : extended;
function f(x,t : extended) : extended;
oraz funkcji definiujcej warunek pocztkowy (7):
function phi(x : extended) : extended;
i funkcji definiujcych warunki brzegowe (8, 9):
function psi1(t : extended) : extended;
function psi2(t : extended) : extended;
4
Zadanie do wykonania
1.
Wpisaƒ do procedury stale programu symulacyjnego zadane przez prowadzcego
parametry modelowanej p»yty.
2.
Zgodnie z przyj“tymi w pkt.1 parametrami modelu napisaƒ funkcje c(x,t), p(x,t) f(x,t)
wyst“pujce w równaniu (6).
3.
Napisaƒ funkcj“ phi(x) opisujc warunek pocztkowy (7).
4.
Napisaƒ funkcje psi1(t), psi2(t) opisujce warunki brzegowe (8).
5.
6.
Uruchomiƒ program symulacyjny wykorzystujc procedur“ CrankNicolson.
Przeprowadziƒ badania symulacyjne dla warunku brzegowego pierwszego rodzaju przy
róónych parametrach zadania.
7.
Zmodyfikowaƒ funkcje psi1(t), psi2(t) opisujce warunki brzegowe (9).
8.
Uruchomiƒ program symulacyjny wykorzystujc procedur“ CrankNicolsonmixed.
9.
Przeprowadziƒ badania symulacyjne dla warunków brzegowych drugiego i trzeciego
rodzaju przy róónych parametrach zadania.
5