VII KONKURS MATEMATYCZNY IM. MAJKI DLA GIMNAZJUM 2010 r.

VII KONKURS MATEMATYCZNY IM. MAJKI
DLA GIMNAZJUM
2010 r.
ROZWIĄZANIA I PUNKTACJA ZADAŃ
Zad. 1. ( 3 punkty )
1 p. : Gdyby Agata mówiła prawdę, to również wypowiedź Ceraty byłaby prawdziwa, co jest
sprzeczne z warunkami zadania, że tylko wypowiedź jednej z pań jest zgodna z prawdą.
1 p. : Załóżmy, że prawdę mówi tylko Beata. Wyklucza to przypadek posiadania przez
Donatę jednego lub dwóch samochodów, gdyż byłoby to zbieżne z wypowiedzią Ceraty.
Jedynym możliwym rozwiązaniem jest to, że Donata nie posiada samochodu.
1 p. : Rozpatrzmy jeszcze, aby rozwiązanie było pełne, ostatnią ewentualność, że prawdę
mówi jedynie Cerata. Mamy wtedy przypadki: pierwszy- Donata posiada jeden lub dwa
samochody, co jest zgodne z wypowiedzią Beaty ( sprzeczność ) i drugi- Donata ma trzy lub
więcej samochody, a to koresponduje z tym, co powiedziała Agata, a więc także sprzeczność.
Zad. 2. ( 3 punkty )
1 p. : Szukamy liczby pasażerów w każdym wagonie. Jest to największy wspólny dzielnik
liczb 462, 546 i 630 czyli 42.
1 p. : Wykonujemy działania 462: 42, 546: 42 oraz 630: 42
1 p. : W pierwszym pociągu było 11 wagonów, w drugim 13, a w trzecim 15.
Zad. 3. ( 1 punkt )
9
1 p. : Szukana liczba to: 9 9 . Do jej zapisania potrzeba 369693100 cyfr.
Zad. 4. ( 3 punkty )
1 p. : Wykonanie rysunku.
1 p. : Najmniejsza wartość b jest dla prostej, do której należy punkt A= ( -1; -1 ).
Podstawiając jego współrzędne do równania prostej otrzymujemy b= -4.
1 p. : Największa wartość b jest dla prostej, do której należy punkt C= ( 3; 2 ). Analogicznie
otrzymujemy b= 11.
Zad. 5. ( 3 punkty )
1p. : Dla x> 3 prawa strona równania jest dodatnia, zaś lewa niedodatnia. Otrzymujemy więc
sprzeczność
1 p. : Szukamy rozwiązań wśród pozostałych liczb naturalnych: 0, 1, 2 i 3.
1 p. : Przez podstawienie otrzymujemy, że dane równanie spełniają liczby: 0, 1 i 2.
Zad. 6. ( 3 punkty )
1 p. : Niech a= 223133. Wtedy mamy:
223134 ⋅ 446267 − 223133 (a + 1) ⋅ (2a + 1) − a
1 p. :
=
=
223133 ⋅ 446267 + 223134 a ⋅ (2a + 1) + a + 1
1 p. :
2a 2 + 2a + 1
= 1.
2a 2 + 2a + 1
Zad. 7. ( 2 punkty )
(x − 1) ⋅ 2 ⋅ (x − 2)2 = 2 x − 2
1 p. :
( x − 2 )2
1 p. : Wykreślenie prostej y=2x-2 z uwzględnieniem dziedziny x ≠ 2 .