Wektor, prosta, płaszczyzna - E-SGH

Wektor, prosta, pªaszczyzna
Justyna Winnicka
Na podstawie podr¦cznika Matematyka. e-book
M. D¦dys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kªopotowskiego.
rok akademicki 2016/2017
Denicja
Rzeczywist¡ n-wymiarow¡ przestrzeni¡ liniow¡ (wektorow¡) Rn
wszystkich elementów postaci
 
x1
x2 
 
x =  . ,
 .. 
nazywamy zbiór
gdzie x1 , x2 , ..., xn ∈ R,
xn
z dziaªaniami dodawania elementów i mno»enia ich przez liczb¦ rzeczywist¡:

    
x1 + y1
y1
x1
x2  y2  x2 + y2 

    
x+y = . + . =
. ,
 ..   ..   .. 
xn
yn
xn + yn

  
αx1
x1
x2  αx2 

  
α · x = α ·  .  =  . .
 ..   .. 
xn
αxn
Element x ∈
nazywamy wektorem, liczb¦ xi - i -t¡ wspóªrz¦dn¡ wektora x.
x + y nazywamy sum¡ wektorów x i y, αx - iloczynem wektora x przez liczb¦ α.
Rn
Denicja (c.d.)

−x1
−x2 

Wektor −x = 
 .  nazywamy wektorem przeciwnym do wektora x,
 .. 

−xn
 
0
0

wektor 0 = 
 .  - wektorem zerowym,
 .. 
0
0
1
0
1
 
 
=  .  , e2 =  .  , . . . ,
 .. 
 .. 
0
0
 
wektory
e1
 
0
 
0
 
en =  .  - wektorami jednostkowymi.
 .. 
1
Przykªad
Dla wektorów x, y ∈ R2 ,
x=
x + y,
2
−1
i
y=
−3
2
wyznaczymy wektory
−2x,
3x,
1x − 1y
2
2
i podamy ich interpretacj¦ graczn¡.
Denicja
Niech a, b ∈ Rn ,
a 6= b. Prost¡
l
w przestrzeni Rn nazywamy zbiór
= {(1 − t)a + t b, t ∈ R}.
Równanie x = (1 − t)a + t b, t ∈ R nazywamy
przechodz¡cej przez punkty a, b.
równaniem parametrycznym prostej
Przykªad
Wyznaczymy
prostej przechodz¡cej
przez
punkty

 równanie
 parametryczne



2
0
3
a =  1  , b =  −3  i sprawdzimy, czy punkt c =  3  do niej nale»y.
−1
−1
−1
Denicja
Ka»d¡ prost¡ l ⊆ Rn mo»na przedstawi¢ w postaci
l
= {x0 + t v, t ∈ R}.
Wektor v nazywamy wektorem kierunkowym prostej l . Równanie x = x0 + t v, t ∈ R
nazywamy równaniem parametrycznym prostej. Prosta o równaniu
x = x0 + t v, t ∈ R przechodzi przez punkt x0 i jest równolegªa do wektora v.
Przykªad
Wyznaczymy
prostej przechodz¡cej przez

 wektor
 kierunkowy

2
0
a =  1  , b =  −3  i jej równanie parametryczne.
−1
−1
Denicja
Odcinkiem o ko«cach a, b,
gdzie a, b ∈ Rn ,
a 6= b
nazywamy zbiór
[a, b] = {(1 − t)a + t b, t ∈ h0, 1i}.
Przykªad
2
Sprawdzimy, czy c ∈ [a, b], gdzie a =  1  ,
−1


0
b =  −3  ,
−1


3
c =  3 .
−1


Denicja
Zbiór H = {x ∈ Rn : a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b}, gdzie co najmniej jedna
z liczb a1 , a2 , . . . , an jest ró»na od zera ( a12 + a22 + . . . + an2 6= 0), nazywamy
hiperpªaszczyzn¡. Równanie a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b nazywamy równaniem
hiperpªaszczyzny.
Przykªad
Hiperpªaszczyzna
w przestrzeni
R2
Hiperpªaszczyzna
w przestrzeni
 
R3 ,
x
H={ 1
x2
to zbiór
: a1 x1 + a2 x2 = b, a12 + a22 6= 0},
czyli prosta.
to zbiór
x1
H = { x2  : a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b, a12 + a22 + a32 6= 0}, czyli pªaszczyzna.
x3
Przykªad
Zbadamy
wzajemne
w R3 prostej o równaniu parametrycznym


 poªo»enie

0
1
x =  1  + t  −2  , t ∈ R i pªaszczyzny o równaniu 3x1 + 2x2 − x3 = 4.
−2
−1
Denicja
Niech
v1 , v2 , . . . , vk ∈ Rn
oraz α1 , α2 , . . . αk ∈ R. Wektor
x = α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk
nazywamy kombinacj¡ liniow¡ wektorów v1 , v2 , . . . , vk . Liczby α1 , α2 , . . . αk
nazywamy wspóªczynnikami kombinacji liniowej.
Zbiór wszystkich kombiacji liniowych wektórów v1 , v2 , . . . , vk oznaczamy symbolem
L(v1 , v2 , . . . , vk ).
Przykªad
Wektor
x=
2
−1
2
−1
−2
3
+3
1
3
=
1
4
jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów
−1
−2
1
,
,
o wspóªczynnikach odpowiednio 2, −1, 3.
2
3
1
Przykªad
Sprawdzimy,

 czy x∈ L(a
, b) (tzn. czy
2
0
a =  0  , b =  1  oraz
−1
−1

a) x = 

b) x = 
x
jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów a, b), je±li
1
1 ,
−1

−4

3 .
−1
Denicja
Mówimy, »e wektory v1 , v2 , . . . , vk ∈ Rn tworz¡ ukªad liniowo
liniowo niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi warunek
^
niezale»ny
lub »e s¡
(α1 v1 + α2 v2 + . . . + αk vk = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αk = 0).
α1 ,α2 ,...αk ∈R
W przeciwnym przypadku mówimy, »e wektory
lub »e s¡ liniowo zale»ne.
liniowo zale»ny
v1 , v2 , . . . , vk ∈ Rn tworz¡ ukªad
Przykªad

Zbadamy liniow¡ niezale»no±¢ wektorów
v1 = 
−1

−1

2 ,
0
v2
1
=  1 ,
1
v2
1
=  1 ,
1

v3
0
=  3 .
2
v3
0
=  4 .
6



Przykªad

Zbadamy liniow¡ niezale»no±¢ wektorów
v1 = 
1 ,
2




Twierdzenie
Niech v1 , v2 , . . . , vk ∈ R b¦dzie takim ukªadem wektorów, »e k ≥ 2. Wektory
v1 , v2 , . . . , vk s¡ liniowo zale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacj¡
n
liniow¡ pozostaªych.
Przykªad
1
−2
2


 , v2 =  5  s¡ liniowo niezale»ne, bo »aden z nich nie jest
Wektory v1 = 
3
 0
4
−6
kombinacj¡ liniow¡ drugiego.




Twierdzenie
Wektor
x
jest liniowo niezale»ny wtedy i tylko wtedy, gdy
x 6= 0.
Twierdzenie
v1 , v2 , . . . , vk ∈ Rn
v1 , v2 , . . . , vk s¡ liniowo
Je±li
jest takim ukªadem wektorów, »e
k > n,
to wektory
zale»ne.
Przykªad
1
=  2 ,
3

Wektory
v1

4
=  5 ,
6

v2




e
−7
v3 =  −8  , v4 =  √π  s¡ liniowo zale»ne.
17
−9
3
