t - Przegląd Elektrotechniczny

Andrzej RUSEK, Ihor SHCHUR, Marcjan NOWAK, Marek PATRO
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Instytut Elektrotechniki Przemysłowej, Zakład Maszyn i Napędów Elektrycznych
Model matematyczny dynamiki trójmasowego układu
zastępczego z połączeniami sprężystymi na przykładzie odcinka
linii technologicznej walcowania blach grubych
Streszczenie. W artykule przedstawiono model matematyczny dynamiki trójmasowego układu zastępczego z połączeniami sprężystymi na
przykładzie odcinka linii technologicznej walcowania blach grubych składającego się z klatki walcowniczej oraz rolek odbierającego samotoku
transportowego z motoreduktorowymi napędami indywidualnymi o konstrukcji samonośnej mocowanymi na końcach wałów rolek. Sformułowanie
modelu matematycznego oparto na równaniu Lagrange’a drugiego rodzaju. W modelu matematycznym uwzględniono sprężyste połączenia
pomiędzy masami układu zastępczego z uwzględnieniem położenia elementu transportowanego. Wykonano przykładowe obliczenia symulacyjne z
wykorzystaniem modelu symulacyjno-komputerowego. Wyniki obliczeniowe przykładowych stanów dynamicznych przedstawiono w formie
przebiegów czasowych.
Abstract. This paper presents the mathematical model of a dynamics triple-mass system with elastic connections based on example of the part of a
plate mill processing line with the roller table transporting line individually equipped with motors with gear reducers fixed at the ends of roller shafts.
Mathematical model was based on the basis of Lagrange’s equation of the second type. In the analysis, the moment of inertia as a function of time
was taken into account. This function was introduced into the system of differential equations describing the mechanical part of drive system.
Considering the complex parameters of drive system the exemplary numerical calculations by using a simulation model were made. Results of
simulation of computational dynamic states as time dependencies are presented. Mathematical model of a dynamics triple-mass system with
elastic connections based on example of the part of a plate mill processing line with the roller table transporting line
Słowa kluczowe: model matematyczny, układ trójmasowy, walcowanie blach grubych, model symulacyjny
Keywords: mathematical model, triple-mass system, plate mill, simulation model
doi:10.12915/pe.2014.07.25
Model matematyczny dynamiki układu
Zastępczą strukturę układu mechanicznego z rysunku 2
sprowadzono do trójmasowego układu mas wirujących
połączonych elementami sprężystymi z uwzględnieniem
tłumienia zakładając dla pierwszej masy część elementu
walcowanego przed klatką walcarki, klatkę walcowniczą
oraz połowę przewalcowanego elementu pomiędzy klatką
walcowniczą a pierwszą rolką samotoku odbierającego.
Drugą masę wirującą stanowi pierwsza rolka samotoku
odbierającego z połową przewalcowanego elementu przed
tą rolką i za tą rolką przy podziale zgodnie z modułami linii a
trzecią masę wirującą obejmuje druga rolka z pozostałą
częścią
przewalcowanego
elementu.
Współczynnik
sztywności mas wirujących określa zależność (1)
(1)
сl 2 
EAm Ea h2

m2
m2
gdzie: E – moduł sprężystości podłużnej dla stali E =
(2,02,2)·1011 Pa, Am  a h2 – powierzchnia przekroju
walcowanego elementu.
h2
h1
Wstęp
Przyjęty do analizy układ napędowy składający się z
trzech
mas
wirujących
połączonych
elementami
sprężystymi ma charakter ogólny i może być odniesiony do
różnych linii technologicznych szczególnie linii hutniczych,
gdzie bardzo często występuje transport długich elementów
pomiędzy różnego rodzaju ogniwami obróbczymi w
zależności od przeznaczenia linii technologicznych. Do
odcinków linii technologicznych w stosunku do których
można odnieść zastępczy układ wirujących trzech mas
połączonych elementami sprężystymi jest odcinek linii
składający się z klatki walcowniczej oraz samotokowej linii
odbierającej.
Ogólny
schemat
takiego
układu
mechanicznego
dla
walcowania
blach
grubych
przedstawiono na rysunku 1.
Pomiędzy klatką walcowniczą a poszczególnymi rolkami
samotoku zgodnie z oznaczeniami na rysunku 1 założono
występowanie sprężystości i tłumienia związanego z
odcinkami elementu transportowanego pomiędzy klatką
walcowniczą i pierwszą rolką samotoku odbierającego oraz
pomiędzy kolejnymi rolkami tego samotoku. Do analizy
układu dla sformułowania modelu matematycznego przyjęto
zastępczą strukturę układu mechanicznego z rysunku 1
sprowadzoną do trzech mas wirujących połączonych
elementem sprężystym (rys.2).
Rys.1. Ogólny schemat układu mechanicznego dla walcowania blach grubych
PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 90 NR 7/2014
127
m1
m2
0,5Ms.w
0,5Mo.w
dw
v1
h1
v2
m2-3
Ms.r1
Ms.r2
Mo1
Mo2
r1
 r2
vr2
w
h2
l
dr1
i
i+1
Gi
Gi+1
l1
Rys.2. Zastępcza struktura układu mechanicznego dla sprowadzenia do trzech mas wirujących połączonych elementami sprężystymi
Przewalcowany element metalowy opiera się na
pierwszej i drugiej rolce samotoku, gdy jest spełniony
warunek m1  m2  l2  m1  m2  m3 . Model matematyczny
sformułowano w oparciu o równanie Lagrange’a
przedstawione zależnością (2)
d   



T  
T
V
Ф  Qk k  1, ..., n
d t  qk  qk
qk
q k
(2)
gdzie: T – całkowita energia kinetyczna układu, V –
całkowita energia potencjalna układu, Ф – całkowita moc
rozpraszania energii układu, qk – k-ta z niezależnych
uogólnionych współ-rzędnych, Qk – siła uogólniona
związana z k-tą współrzędną, n – współrzędne uogólnione.
Rozpatrując układ napędowy z rysunku 2 jako układ
skupiony trójmasowy w odniesieniu do którego współrzędne
uogólnione w zależności (2) wynoszą n=3 oraz przyjmując
odpowiednio uogólnione współrzędne q1 = φw kąt położenia
walca, q2 = φr1 kąt położenia pierwszej rolki, q3 = φr2 kąt
położenia drugiej rolki. Całkowitą energię kinetyczną układu
sprowadzonego do zastępczej struktury trójmasowej
określa zależność (3)

T  0,5 J  1 w2  J  2 r21  J  3 r22
(3)
gdzie:

J  1, 2,3 - momenty bezwładności zastępczych mas
wirujących.
Energię potencjalną struktury zastępczej
trójmasowego określa ogólnie zależność (5)
(4)
2
h 
J 1  J s p  2J w  0,25d m a h2  k  
 h2 
2
2
w
V  0,5cl1 x2  xr1   0,5cl 2 xr1  xr2 
2
(5)
gdzie:
2
x ri – położenie liniowe masy skupionej.
Wyrażając położenie liniowe mas skupionych z
zależności (5) poprzez położenie kątowe oraz parametry
procesu walcowania zależność (5) przyjmie postać
równania (6)
2
 hk

w  drr1   0,125cl 2 dr2 r1 r2 2
(6) V  0,125cl1  dw
 h2

gdzie: h2 - grubość elementu po przewalcowaniu, hk grubość elementu w połowie łuku walcowania od strony
wejścia elementu walcowanego w klatkę walcowniczą.
Całkowita moc rozproszenia energii potencjalnej jest
określona zależnością (7)
2
 hk

w  drr1   0,125bl 2dr2 r1 r2 2
(7) Ф  0,125bl1 dw
 h2

Siły zewnętrzne działające na masy skupione oraz
momenty występujące w strukturze zewnętrznej określają
zależności (8)
(8)
Q1  M s.w  M o.w ,
Q3  M s.r2  M o2 ,
Wielkości poszczególnych mas wirujących oraz
momenty bezwładności zastępczej struktury trzech mas
wirujących przedstawiają zależności (4)
t


mm1  m a h1  ls  1   m1  1   m2   v1 d t  
0


t


h 
m a h1 ls  1   m1  m2   0,5d w  k   w d t 
 h1  0


układu
Q2  M s.r1  M o1 ,
M o.w  2 k m a l 2 D ,   ,
Ms.r1  s.r1 pr 0.zsr1 prr1 , Ms.r2  s.r2 pr 0.zsr2 prr2 ,
M o1  0,5d wr m Gr  Gi  , Mo2  0,5dwmGr  Gi1
Gr  0,25 d r2 lr  r g


gdzie: D  ,  - ogólna funkcja względnych parametrów,
walcowania dla modelu matematycznego A.I.Celikowa lub
A.A. Korolowa [1], [8],  s.ri - współczynnik sztywności
charakterystyki mechanicznej silników rolek sekcji
samotokowej,  0.zsri - zadana prędkość obrotowa biegu
jałowego silników rolek,
podporach
wału rolek.

m -
współczynnik tarcia w

h
2
 ls  1   m1  m2 1     0,5dw k 1    w t   0,5m1 
W oparciu o [8], [10] dla przypadku obciążenia
h2

 przewalcowanym
metalem trzech rolek linii samotokowej
mm.r1  0,5 m a h2 m1  m2 
obciążenia poszczególnych rolek określają zależności (9).
J  2  J r.i  0,125  m a h2 d r2 m1  m2 
J  3  J r.i  0,125 
128
2
m a h2 d r
m2  d r  r2 t 
(9)
Gi 1 
q
1
q 

A
Gi  A31  2Gi 1
  A31 
2 32 
m
4m 
4m

PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 90 NR 7/2014
gdzie:
m  m1  m2 ,
A31  2m  m23  0,5l 2 l 2 ,
bezwładności jako analityczny układ zastępczy układu
mechanicznego klatki walcowniczej z rysunku 2.
(14)
A32  2m  m23   2m  m23   m243 .
4
4
3


b d d h d
c d2
 l1 w r  k  r1  l1 w
4 J 1 h2 d t
4 J 1
Zakładając, że długość przewalcowanego metalu siły
obciążające poszczególne rolki można wyznaczyć z
zależności (10)
(10)
Gi 1 
Gi 

q 
1
2
2m  m23 4  2m  m23 4  m243 
 2m  m23  
8m 
2m 2


q 
1
2
2m  m23 4  2m  m23 4  m243 
32m  m23  
4m 
2m 2

t
t
m23  vr2 d t  0,5d r  r2 d t  0,5d r r2 t 


0
0
Uwzględniając zależności (10) oraz zależności (11)
otrzymano
końcowe
wzory
określające
momentu
obciążenia rolek przedstawione zależnością (12)
(11)
Gr  0,25 d r2 lr  r g
t
t
m12  vr1 d t  0,5d r1  r1 d t  0,5d r r1 t 

0
2


d 2  w  m a h2
1   2  d w hk   d  w  

2
dt
8 J 1
 h2   d t 
2
 d
1  bl1d w2  hk 
    s.w p w2  w 

J 1  4  h2 
 d t


0
q  g a h2  m

 s.w p w  0.zsw
2
 hk 
c d d h
   w  l1 w r  k  r1
4 J 1 h2
 h2 
 2 k m a l 2 D ,  
0
J 1
2
2
d2 r1 bl1dwdr hk dw bl1  bl 2 dr  4 s.r1 pr dr1

 



4J2 h2 dt
4J2
dt
dt 2

c  c d 2
bl 2dr2 dr2 сl1dwdr hk


 w  l1 l 2 r r1 
4J2 dt
4J2 h2
4J2
cl 2dr2
g a h2 mdwrm
r2 

f1r2  
8mJ2
4J2
 g dr2 lr r dwrm 8s.r1 pr0.zsr1
a h2  m

 2



d
l

f



0
1
r2 
 r r r
m
8J2


2
g d wr  m  2
a h2  m

d2 r2 ma h2dr3  dr2  bl 2dr2 dr1





f

M o2 
d
l
r
r
r
2
r2




 


8
2m


8J 3  dt  4J 3 d t
dt 2
2
4
4
d 
d   d  d4  b d 2  4 s.r2 pr2 dr2 сl 2dr2
1 

g a h2 mdwrm
f1r2  32m r r2   2 2m r r2  2m r r2   r r24   l 2 r
f 2 r2 


r1 
2
2
2
16
4J 3
dt 4J 3
16mJ 3


 2m 
 

 g dr2 lr r dwrm  8 s.r2 pr0.zsr2
сl 2dr2
2
4
4


0

4
r2
d  1 
d   d  d 

4J 3
8J 3
f2r2 2m r r2  2 2m r r2 2m r r2  r r24 
2  2m 
2   2  16 
Warunki
początkowe
do
rozwiązania
układu

(12)
M o1 
g d wr  m
8
Z cyklu pracy klatki walcowniczej oraz odbierającej linii
samotokowej
wynika,
że
poszczególne
momenty
zastępczych mas wirujących są zależne od czasu a w
przypadku podziału mas dla struktury zastępczej (rys.2)
przypadek taki zachodzi dla zastępczej masy pierwszej i
trzeciej zakładając ciągłość walcowania pomiędzy klatką
walcowniczą a drugą rolką linii samotokowej. Przy tak
przyjętych założeniach momenty bezwładności zależne od
czasu określa układ równań (13)
(13)
 d J1
d w
d  

w  J  1
T  
d t   w 
dt
dt

d  r1
d  

T   J  2
d t   r1 
dt
 d J 3
d  r2
d  

  r2  J  3
T  
d t   r2 
dt
dt
Uwzględniając
zależności
dotyczące
składników
równania Lagrange’a drugiego rodzaju określonego
zależnością (2) dokonując przekształceń otrzymano układ
trzech
nieliniowych
równań
różniczkowych
(14)
określających dynamikę trójmasowego układu połączonego
elementem sprężystym o zmiennym w czasie momencie
nieliniowych
równań
różniczkowych
określonych
zależnością (14) przedstawiają zależności (15)
(15)  w
t2
0  0 , r10 0,  r2 0  0 , m2  0,5dr r1 dt
0
dw
0   w 0   w.2 t 2  , dr1 0  r10  r1.2t2 
dt
dt
d  r2
0   r2 0  v2.2 t 2   0,5d r  r 2.2 t 2    r 2.2 t 2 
dt
0,5d r
0,5d r
Przedstawiony układ równań (15) zakłada ciągłość
walcowania pomiędzy klatką walcowniczą a drugą rolką linii
samotokowej. Obliczenia symulacyjne wykonano dla
przypadku: rozruch pod obciążeniem trzech rolek dla
początkowego położenia elementu transportowanego
m0=0,2m, m3=0,7m i następujących parametrów układu
napędowego sekcji samotoku:
moduł samotoku m = 1000 mm, szerokość elementu
transportowanego a = 1500 mm, grubość elementu
transportowanego h = 200 mm, długości elementu
transportowanego
ls = 2900 mm, materiał elementu
transportowanego – stal s = 7900 kg/m3, współczynnik
tarcia tocznego metalu z rolką f m = 0,0015, zmieszczenie
PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 90 NR 7/2014
129
e = 0, współczynnik
osi symetrii względem osi symetrii rolki
tarcia ślizgowego w podporach  m = 0,07.
Przebiegi obliczeniowe przedstawiono na rysunkach 3, 4, 5.
42.5
42
n.r [obr/min]
41.5
41
40.5
40
39.5
39
38.5
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
t [s]
0.9
0.89
0.88
v. m [m/s]
0.87
0.86
0.85
0.84
0.83
0.82
0.81
0.8
1
2
3
t [s]
Rys.3. Przebiegi prędkości obrotowych rolek samotoku i prędkości
liniowej elementu transportowanego
250
200
LITERATURA
Mo [Nm]
150
100
50
0
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
t [s]
150
J [kg m2]
100
50
0
1
2
3
t [s]
Rys.4. Przebiegi momentów obciążenia statycznego osi rolek oraz
przebiegi momentu bezwładności elementu transportowanego
przeliczonego do osi rolek
400
300
Moj [Nm]
200
100
0
-100
-200
-300
-400
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
t [s]
35
30
25
Ms [Nm]
20
15
10
5
0
-5
-10
1
2
3
t [s]
Rys.5. Przebiegi dynamicznego obciążenia osi rolek od zmiany
momentów bezwładności elementu transportowanego oraz
przebiegi momentów elektromagnetycznych silników napędowych
rolek
Podsumowanie i wnioski
Analizowany
układ
napędowy
stanowi
nowe
opracowanie dla układu zastępczego trzech mas wirujących
połączonych elementami sprężystymi z uwzględnieniem
tłumienia i jest w zakresie analizy kontynuacją podobnych
opracowań przedstawionych między innymi [2], [3], [4], [5],
[6], [7]. Model matematyczny opisany układem równań (14)
ma charakter ogólny i pozwala na prowadzenie
wielowariantowych
analiz
obliczeniowych
stanów
dynamicznych układu mechanicznego przedstawionego na
130
rysunku 2, jak również podobnych układów mechanicznych
które można sprowadzić do zastępczego układu
trójmasowego.
W
zakresie
wariantów
symulacji
obliczeniowej przedstawiona w niniejszym artykule analiza
pozwala na uwzględnianie następujących grup parametrów
związanych z układem napędowym:
- prowadzenie
analizy
obliczeniowej
dla
różnych
parametrów elementu walcowanego z bezpośrednią
możliwością analizy wpływu tych parametrów na
występowanie momentów obciążenia określonych w
zależnościach (8),
- możliwość zmiany rozstawu pomiędzy klatką walcowniczą
a rolką samotoku odbierającego oraz zmiany modułu linii
samotokowej z możliwością analizy dodatkowej wpływu
tych wielkości na występowanie sił obciążających
poszczególne rolki określone zależnością (9) i (10),
- możliwość analizy obliczeniowej z uwzględnieniem
ogólnych parametrów walcowania dla prowadzenia
wariantowych
obliczeń
z
wykorzystaniem modelu
matematycznego A.I. Celikowa lub A.A. Korolowa poprzez
wprowadzenie różnych ogólnych funkcji względnych
parametrów walcowania w zależności (8)
[1] C e l i k o w A . I . , T o m l o n o w A . D . , Z i u z i n W . I . i in. Tieoria
prokatki. Sprawocznik. – Moskwa: Mietałurgia, 1982. – 335 s.
[2] Czaban A., Lis M. A Mathematical Model of a DC Drive on the
Basis of Variational Approaches Przegląd Elektrotechniczny
R.88 nr 12b s.20-22 ISSN 0033-2097.
[3] Czaban A., Lis M. Mathematical Modelling of Transient States
in a Drive System with a Long Elastic Element. Przegląd
Elektrotechniczny R.88, nr 12b 2012 s.167-170 ISSN 00332097.
[4] Czaban A., Lis M. Model matematyczny i analiza układu
napędowego silnika indukcyjnego z długim elementem
sprężystym dla parametrów rozłożonych. Prace Naukowe
Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej nr 66 Seria: Studia i Materiały nr 32
2012 s.224-230 ISSN 1733-0718.
[5] C z a b a n A . , R u s e k A . , L i s M . The Approach Based on
Variation Principles for Mathematical Modeling of Asymmetrical
States in a Power Transformer. Przegląd Elektrotechniczny
R.88 nr 12b 2012 s.240-242 ISSN 0033-2097.
[6] Popenda A. Modelowanie i symulacja dynamicznych stanów
pracy układów napędowych do reaktorów polimeryzacji z
silnikami indukcyjnymi specjalnego wykonania, Wydawnictwo
Politechniki Częstochowskiej, 2011, ISBN 978-83-7193-503-9.
[7] Popenda A. Model-simulation investigations of induction motor
with the consideration of skin effect in rotor bars, Przegląd
Elektrotechniczny, R.88 nr 12b/2012.
[8] R u s e k A . Stany dynamiczne układów napędowych z silnikami
indukcyjnymi specjalnego wykonania, Seria Monografie nr 228,
Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa
2012, ISBN 978-83-7193-528-2.
[9] Rusek A. Mathematical and computer modelling of the load of a
section of the transport roller line // Problems of automatic
electric drive. Theory and practices / Bulletin of the NTU "KPI".
– Kharkov: NTU "KhPI", 2011. – № 28.– P. 318-322.
[10] R u s e k A . Mathematical and computer modelling of the load
of a section of the transport roller line // Problems of automatic
electric drive. Theory and practices / Bulletin of the NTU "KPI".
– Kharkov: NTU "KhPI", 2011. – № 28.– P. 318-322.
Autorzy:
prof. dr hab. inż. Andrzej Rusek, prof. dr hab. inż. Ihor Shchur
mgr inż. Marcjan Nowak, mgr inż. Marek Patro, Instytut
Elektrotechniki Przemysłowej, Wydział Elektryczny Politechniki
Częstochowskiej, Al. Armii Krajowej 17, 42-200 Częstochowa
PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 0033-2097, R. 90 NR 7/2014