7.2. Ciąg arytmetyczny

7. 2. CIĄG ARYTMETYCZNY
Definicja ciągu arytmetycznego
Ciąg
(an ) jest ciągiem arytmetycznym
⇔ dla kaŜdego n ∈ N + zachodzi a n +1 = a n + r ,
gdzie r ∈ R
r – stała róŜnica ciągu arytmetycznego
Przykład 7.2.1. Oblicz cztery początkowe wyrazy w ciągu arytmetycznym , wiedząc, Ŝe
a) a1 = −3, r = 2
Rozwiązanie
Komentarz
W
ciągu
arytmetycznym
kaŜdy wyraz , oprócz
a1 = −3
pierwszego powstaje przez dodanie do wyrazu
a 2 = −3 + 2 = −1
poprzedniego liczby r , czyli
a 3 = −1 + 2 = 1
a 2 = a1 + r
a4 = 1 + 2 = 3
a3 = a 2 + r
a 4 = a3 + r
Odp. –3, -1, 1, 3
b) a 2 = 5, r = −3
Rozwiązanie
a 2 = a1 + r
5 = a1 + (− 3)
a1 = 5 + 3 = 8
a3 = 5 + (− 3) = 2
a 4 = 2 + (− 3) = −1
a5 = a 4 + r ......
Komentarz
Aby obliczyć pierwszy wyraz ciągu
wykorzystujemy zaleŜność a 2 = a1
+r
Obliczmy trzeci i czwarty wyraz dodając do
poprzedniego wyrazu liczbę r.
Odp. 8, 5, 2, -1
Przykład 7.2.2. Zbadaj które z podanych ciągów są arytmetyczne:
a) a n = 2 − 4n
Rozwiązanie
Komentarz
Aby wykazać ,Ŝe ciąg jest arytmetyczny musimy
a n +1 = a n + r
udowodnić ,Ŝe róŜnica r jest liczbą stałą .
r = a n +1 − a n
a n = 2 − 4n
Zapisujemy n –ty wyraz ciągu.
a n +1 = 2 − 4(n + 1) = −4n − 2
Wyznaczamy wyraz następny .
r = a n +1 − a n = (− 4n − 2 ) − (2 − 4n ) = −4
Odp. Ciąg (a n ) jest arytmetyczny.
Badamy róŜnicę r .
RóŜnica r jest liczbą stałą , zatem ciąg jest
arytmetyczny.
b) bn = 4n 2 + n
Rozwiązanie
Komentarz
bn = 4n + n
Zapisujemy n –ty wyraz ciągu.
bn +1 = 4(n + 1)2 + (n + 1) =
Wyznaczamy wyraz następny
2
(
)
= 4 n 2 + 2n + 1 + (n + 1) =
4n 2 + 9n + 5
(
)(
)
r = bn +1 − bn = 4n 2 + 9n + 5 − 4n 2 + n = 8n + 5 Badamy róŜnicę r .
RóŜnica r nie jest stała , zatem ciąg nie
Odp. Ciąg (bn ) nie jest arytmetyczny.
jest arytmetyczny.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
1 1
Przykład 7.2.3. Napisz wzór ogólny ciągu arytmetycznego: 2,1 ,1, ,0...
2 2
Rozwiązanie
Komentarz
a1 = 2
Wypisujemy a1 i obliczamy r wiedząc, Ŝe
1
1
a 2 = a1 + r
r = a 2 − a1 = 1 − 2 = −
2
2
Aby zapisać wzór ogólny danego ciągu
 1
a n = 2 + (n − 1) − 
wykorzystujemy wzór a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
 2
1
1
a2 = − n + 2
2
2
Przykład 7.2.4. Wyznacz setny wyraz ciągu arytmetycznego , w którym a1 = 3 i r = 5
Rozwiązanie
a100 = a1 + (100 − 1) ⋅ r
a100 = 3 + (100 − 1) ⋅ 5 = 498
Odp. Setny wyraz ciągu jest równy 498.
Komentarz
Wykorzystujemy wzór a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
Przykład 7.2.5. Wyznacz pierwszy wyraz oraz róŜnicę ciągu arytmetycznego, wiedząc, Ŝe
b7 = −8, b2 = 2 .
Rozwiązanie
Komentarz
b7 = b1 + (7 − 1) ⋅ r
Wykorzystujemy wzór a n = a1 + (n − 1) ⋅ r i
b2 = b1 + (2 − 1) ⋅ r
− 8 = b1 + 6r

2 = b1 + r
− 8 = b1 + 6r

2 = b1 + r /⋅ (− 1)
− 8 = b1 + 6r

− 2 = −b1 − r
--------------------------- +
− 10 = 5r /⋅ 5
r = −2
zapisujemy układ równań z niewiadomymi b1 i r
Obliczmy pierwszy wyraz i róŜnicę ciągu
arytmetycznego rozwiązując układ równań
b1 + r = 2
b1 − 2 = 2
b1 = 4
Odp. b1 = 4, r = −2
ZaleŜność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
JeŜeli a , b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego , to zachodzi
2b = a + c
Przykład 7.2.6. Wyznacz wartość x , tak aby liczby 2 x + 3, x − 1,3 x + 4 w podanej kolejności
tworzyły ciąg arytmetyczny.
Rozwiązanie
Komentarz
Wykorzystujemy wzór 2b = a + c i zapisujemy
a = 2x + 3
równanie z niewiadomą x.
b = x −1
c = 3x + 4
2b = a + c
2( x − 1) = (2 x + 3) + (3 x + 4)
2( x − 1) = (2 x + 3) + (3 x + 4)
2 x − 2 = 2 x + 3 + 3x + 4
2 x − 2 x − 3x = 3 + 4 + 2
− 3x = 9 / : (− 3)
x = −3
Rozwiązujemy równanie i obliczamy x.
Suma częściowa ciągu arytmetycznego
a + an
Sn = 1
⋅n
2
lub
Sn =
2a1 + (n − 1) ⋅ r
⋅n
2
Przykład 7.2.7. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ,
w którym a1 = 5, r = 2 .
Rozwiązanie
Komentarz
Wypisujemy sześć kolejnych wyrazów ciągu i je
1 sposób:
dodajemy.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a 4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a 6 = 13 + 2 = 15
S 6 = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 60
2 sposób:
2 ⋅ 5 + (6 − 1) ⋅ 2
S6 =
⋅6
2
10 + 10
⋅6
S6 =
2
S 6 = 60
Wykorzystujemy wzór
Sn =
2a1 + (n − 1) ⋅ r
⋅n
2
Przykład 7.2.8. RozwiąŜ równanie , w którym lewa strona jest sumą ciągu
arytmetycznego: 5 + 7 + 9 + ... + x = 96
Rozwiązanie
Komentarz
Wypisujemy
dane.
a1 = 5
r=2
an = x
S n = 96
2a1 + (n − 1) ⋅ r
⋅n
2
2 ⋅ 5 + (n − 1) ⋅ 2
96 =
⋅n
2
10 + 2n − 2
96 =
⋅n
2
2n + 8
96 =
⋅n
2
Sn =
2a1 + (n − 1) ⋅ r
⋅n,
2
układamy równanie z niewiadomą n.
Wykorzystując wzór S n
=
96 = n 2 + 4n
− n 2 − 4n + 96 = 0
a = −1, b = −4, c = 96
∆ = (− 4 )2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 96 = 16 + 384 = 400
n1 =
n1 =
Rozwiązując równanie kwadratowe
2
wykorzystujemy wzory: ∆ = b − 4 ⋅ a ⋅ c
x1 =
−b− ∆
−b+ ∆
; x2 =
.
2a
2a
− (− 4 ) − 400 4 − 20
=
=8
2 ⋅ (− 1)
−2
− (− 4 ) + 400 4 + 20
=
= −12 ∉ N +
2 ⋅ (− 1)
−2
n=8
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
x = 5 + (8 − 1) ⋅ 2
x = 19
Uwzględniając , Ŝe
n ∈ N + , otrzymujemy n
Wykorzystując wzór
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r ,
obliczamy x
Przykład 7.2.9. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od100, które przy
dzieleniu przez 5 dają resztę 1.
Rozwiązanie
1 : 5 = 0 reszty 1
6 : 5 = 1 reszty 1
11 : 5 = 2 reszty 1
..........................
96 : 5 = 19 reszty 1
Komentarz
Wypisujemy sumę liczb której szukamy.
1 + 6 + 11 + ... + 96 = S n
a1 = 1
Wypisujemy dane.
r =5
a n = 96
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
96 = 1 + (n − 1) ⋅ 5
96 = 1 + 5n − 5
Obliczamy n ( liczbę składników sumy
S n ) korzystając ze wzoru:
a n = a1 + (n − 1) ⋅ r
− 5n = −96 + 1 − 5
− 5n = −100 / : (− 5)
n = 20
a + an
Sn = 1
⋅n
2
1 + 96
S 20 =
⋅ 20 = 97 ⋅ 10 = 970
2
Odp. Suma liczb mniejszych od 100, które
przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1
jest równa 970.
Obliczamy sumę
1 + 6 + 11 + ... + 96 = S n
korzystając ze wzoru
a + an
Sn = 1
⋅n
2
Przykład 7.2.10. Pewien uczeń postanowił w ciągu 10 dni rozwiązać wszystkie zadania ze
zbioru zadań . Zdecydował , Ŝe pierwszego dnia rozwiąŜe 6 zadań, a kaŜdego
następnego o 5 więcej niŜ dnia poprzedniego. Oblicz ile było zadań w zbiorze.
Rozwiązanie
Szukane:
Dane:
a1 = 6
r=5
n = 10
Komentarz
Ilość zadań rozwiązywanych przez ucznia w
kolejnych dniach tworzą ciąg arytmetyczny.
Sn = ?
Szukana jest suma wszystkich zadań
rozwiązanych przez ucznia w ciągu 10 dni.
Sumę S n obliczymy korzystając ze wzoru:
2a1 + (n − 1) ⋅ r
⋅n
2
2a + (n − 1) ⋅ r
Sn = 1
⋅n
2 ⋅ 6 + (10 − 1) ⋅ 5
12 + 45
2
⋅ 10 = 57 ⋅ 5 = 285
Sn =
⋅ 10 =
2
2
Sn =
Odp. W zbiorze było 285 zadań.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 7.2.1. (2pkt.) Podaj cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (a n ) ,
wiedząc, Ŝe a 2 = −4, a3 = −8 .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
Odpowiedź
(an ) .
Podanie pierwszego i czwartego wyrazu ciągu (a n ) .
Podanie róŜnicy r ciągu arytmetycznego
Ćwiczenie 7.2.2. (2pkt.) Udowodnij, Ŝe ciąg a n =
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
Podanie róŜnicy
a n +1 .
r = a n +1 − a n i uzasadnienie, Ŝe ciąg
jest arytmetyczny.
1
1
n+2
jest ciągiem arytmetycznym.
3
Odpowiedź
Podanie wyrazu następnego
Liczba punktów
Liczba punktów
1
1
Ćwiczenie 7.2.3. (1pkt.) Sprawdź, czy liczby
ciąg arytmetyczny.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2 − 3,1,5 − 2 tworzą w podanej kolejności
Odpowiedź
Liczba punktów
Podanie odpowiedzi z uzasadnieniem.
1
Ćwiczenie 7.2.4. (3pkt.) Ciąg arytmetyczny (a n ) jest takim ciągiem , w którym
a1 = 3, r = −2 . Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Wyznacz: a14 , a5n .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie wzoru ogólnego ciągu (a n ) .
1
2
Podanie a14 .
1
3
Podanie a5n .
1
Ćwiczenie 7.2.5. (3pkt.) Oblicz sumę : 7 + 11 + 15 + ... + 51 .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
2
Podanie róŜnicy ciągu arytmetycznego jaki tworzą
składniki sumy.
Podanie liczby n składników sumy.
3
Podanie sumy.
1
Liczba punktów
1
1
1
Ćwiczenie 7.2.6. (2pkt.) Wyznacz pierwszy wyraz oraz róŜnicę ciągu arytmetycznego,
wiedząc, Ŝe a5 = 10, S 7 = 210 .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
UłoŜenie układu równań z niewiadomymi a1 , r .
1
2
Podanie wartości a1 , r .
1
Ćwiczenie 7.2.7. (2pkt.) Między liczby 4 i 108 wstaw trzy liczby x, y, z, tak aby liczby
4, x , y , z , 108 tworzyły ciąg arytmetyczny.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Wyznaczenie róŜnicy r ciągu arytmetycznego.
1
2
Podanie wartości x,
1
y, z
Ćwiczenie 7.2.8. (2pkt.) Darek odkładał za stypendium pieniądze na wakacje.
W pierwszy miesiącu odłoŜył 30 zł, a w kaŜdym następnym o 5 złotych więcej
niŜ w poprzednim. Przez ile miesięcy oszczędzał, jeśli w sumie uzbierał 450 zł.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
2
Odpowiedź
Wypisanie z zadania a1 , r , S n .
Podanie n – liczby miesięcy ,w ciągu których Darek
oszczędzał.
Liczba punktów
1
1