Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1. Obliczyć pochodne cząstkowe względem każdej zmiennej
√
a) f (x, y, z) = xy 2 z 3 − y sin z,
b) f (x, y) = ln(x + x2 + y 2 ),
c) f (x, y) = xy ,
e) f (x, y) = ln(x +
d) f (x, y, z) = 2x3 y − 5x2 y 3 + x cos 2y,
√
x2 + y 2 ),
f ) f (x, y) = ln (x + ln y).
2. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu względem każdej zmiennej
√
b) f (x, y, z) = x y − ez ln y,
a) f (x, y, z) = xy 2 z 3 − y sin z,
√
c) h(x, y) = x y + √yx ,
d) g(x, y) = (1 + xy)y ,
e) f (x, t) = ln sin(x − 2t)
f ) h(x, y) = (sin x)ln y .
3. Wykazać, że funkcja f (x, y) = ln(ex + ey ) spełnia równanie
f |1 (x, y) + f |2 (x, y) = 1.
4. Wykazać, że funkcja f (x, y) = xy y x spełnia równanie
xf |1 (x, y) + yf |2 (x, y) = (x + y + ln f (x, y))f (x, y).
5. Wykazać, że funkcja f (x, y, z) = x + x−y
spełnia równanie
y−z
f |1 (x, y, z) + f |2 (x, y, z) + f |3 (x, y, z) = 1.
6. Wykazać, że funkcja f (x, y) = xy spełnia równanie
x
f |1 (x, y, z) + ln1x f |2 (x, y, z) = 2f (x, y).
y
7. Wyznaczyć różniczki zupełne funkcji
a) f (x, y) = y ln 2x,
d) f (x, y) = arctg xy .
b) f (x, y, z) =
xy
,
z
c) f (x, y, z) = eax cos byz ,
8. Obliczyć pochodne funkcji złożonych
a) f (z, y) = ez−2y , gdzie z = sin x,
y = x3 ;
b) f (z, v) = uz ev , gdzie u = sin x,
v = cos x.
9. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji
a) f (x, y) = x4 + y 4 + 2xy + 1, w punkcie (1, 2) w kierunku wektora u→ = [3, −1],
b) f (x, y) = ln (x2 + y 2 ), w punkcie (1, 1) w kierunku wersora dwusiecznej
pierwszej ćwiartki ukadu współrzędnych,
c) h(x1 , x2 , . . . , xn ) = x21 + x22 + . . . , x2n , w punkcie (1, 2, . . . , n) w kierunku
wektora u→ = [1, 1, . . . , 1].
10. Wyznaczyć pochodne funkcji uwikłanych określonych równaniami
a) x3 y − xy 3 = a4 ,
b) xey + yex − exy = 0.
11. Wyznaczyć o ile istnieją ekstrema funkcji f określonej wzorem
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 6x − 9y,
f (x, y) = 2xy − 2x√− 4y,
f (x, y) = (x2 + y) ey ,
f (x, y) = x3 + y 3 − 3axy, a ∈ R
f (x, y) = x2 y 3 (6 − x − y),
f (x, y, z) = x3 + x, y + y 2 − 2xz + 2z 2 + 3y − 1,
2
2
2
f (x, y, z) = (x + y + 2z)e−(x +y +z ) .
12. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
a) f (x, y) = x2 − y 2 + 2a2 , w kole x2 + y 2 ¬ a2 ,
b) f (x, y) = 2x3 + 4x2 + y 2 − 2xy, w obszarze domkniętym ograniczonym
liniami y = x2 oraz y = 4,
c) f (x, y) = xy(4 − x − y) w trójkącie ograniczonym prostymi x = 1, y = 0
oraz x + y = 6.
13. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej postaci z = f (x, y) zadanej równaniem
a) z 3 − xyz + y 2 = 16,
c) x2 + y 2 − z 2 = 0,
b) x2 + y 2 + z 2 − xz − y 2 + 2x + 2y + 2z = 2,
d) z 2 + xyz − xy 2 − x3 = 0.
14. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej postaci y = f (x) zadanej równaniem
a) y 2 + 2xy + x2 = 0,
b) x2 + y 2 − 8x − 4y + 19 = 0.
15. Liczbę a > 0 rozłożyć na n mnożników, tak aby suma ich odwrotności była najmniejsza.
16. Liczbę a > 0 rozłożyć na n składników, tak aby suma kwadratów tych składników była
najmniejsza.