Zestaw 14

Koło matematyczne.
zestaw 14/2015/2016
1. Po przepłynięciu dwóch kilometrów rzeką pod prąd, pływak napotkał
płynącą z prądem butelkę. Płynął jeszcze przez pół godziny, zawrócił i
dogonił butelkę dokładnie w tym momencie, w którym dotarł do punktu
wyjścia. Oblicz prędkość rzeki.
2. Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c, d, e
b
c
d
e
a
+
+
+
+
< 2.
e+a+b a+b+c b+c+d c+d+e d+e+a
3. Pokazać, że
a b c b c a
1 1 1
3 max
+ + , + +
≥ (a + b + c)
+ +
b c a a b c
a b c
dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c.
4. Każdy wyraz ciągu jest a1 , a2 , . . . jest kwadratem liczby całkowitej dodatniej. Ponadto dla każdej liczby naturalnej n, różnica an+1 − an jest
liczbą pierwszą lub kwadratem liczby pierwszej. Udowodnij, że ciąg
a1 , a2 , . . . jest skończony.
5. Czy istnieje taki ostrosłup o podstawie pięciokąta wypukłego, którego
każda ściana boczna jest trójkątem prostokątnym.
6. Znaleźć wszystkie funkcje f : R → R spełniające warunki
x(f (x + 1) − f (x)) = f (x) dla x ∈ R
|f (x) − f (y)| ≤ |x − y| dla x, y ∈ R
1