poprzeczka

Czego można się nauczyć z prostego modelu
szyny magnetycznej
1) Hamowanie
magnetyczne
I
R
B
FL
v
L
⊗
m
Poprzeczka o masie m może się przesuwać swobodnie po dwóch równoległych szynach, odległych
o L od siebie. Szyny znajdują się w obszarze pola magnetycznego o indukcji B, skierowanego
prostopadle do płaszczyzny szyn. Szyny zwarte są oporem R, który reprezentuje zarazem opory
resztkowe tzn. szyn, poprzeczki i doprowadzeń.
Elementy opisu:
•
siła elektrodynamiczna działająca na poprzeczkę z prądem, poruszającą się w polu
magnetycznym. Przy danym zwrocie wektora indukcji magnetycznej zwrot tej siły zależy od
kierunku przepływu prądu.
FL= I  
L 
B
•
siła elektromotoryczna (SEM)
ε= B L V
generowana w poruszającym się pręcie na skutek działania siły Lorentza na ładunki
swobodne znajdujące się w metalu (zjawisko Halla).
•
wersja alternatywna z prawa Faraday'a:
•
zwrot generowanej SEM określa reguła przekory (Lenza): zmiany w układzie (ruch)
powodują powstanie reakcji, która usiłuje im przeciwdziałać – prąd generowany w takim
kierunku aby zapobiec zwiększaniu strumienia magnetycznego przez hamowanie
poprzeczki.
ε =−
dΦ
dx
=B L
dt
dt
Rozwiązanie:
V (t )=V o e
−λ t
2
B L
λ=
mR
2
Bilans energetyczny:
Energia
kinetyczna
Ciepło
Joula-Lorenza
2)
Prądnica magnetyczna prądu stałego
I
B
R
FL
F
L
⊗
m
Elementy opisu:
•
•
•
jw. + warunek Vo=0
dodatkowo zewnętrzna siła napędzająca F , wykonująca pracę nad układem i
wprowadzająca do niego energię
ewentualna obecność mechanicznych sił oporu, które na razie zostaną pominięte
Równanie ruchu:
(
dV
m
= ( F −F L ) =
dt
2
2
B L
F−
V
R
)
Rozwiązanie:
V (t )=V k ( 1−e−λ t )
V k=
FR
2 2
B L
W stanie ustalonym:
2
• Moc wprowadzana do układu: P = F V k
2
2
2
F R
= 2 2
B L
2
B L Vk
F2R
ε
=
= 2 2
• Moc wydzielana: P r =
R
R
B L
Bilans energetyczny:
Praca
mechaniczna
Energia
kinetyczna
Ciepło
Joula-Lorenza
3) Prosty a w miarę realistyczny model działania silnika
elektrycznego prądu stałego
(może też być modelem działa elektromagnetycznego ;-)
I
Uo
+
-
B
R
v
⊗
m
FL
L
Poprzeczka o masie m może się przesuwać swobodnie po dwóch równoległych szynach, odległych
o L od siebie. Szyny znajdują się w obszarze pola magnetycznego o indukcji B, skierowanego
prostopadle do płaszczyzny szyn. Do tych szyn podłączono źródło zasilania o napięciu Uo przez
opornik o wartości R (opornik ten zawiera w sobie wszystkie opory resztkowe tzn. szyn, poprzeczki
i doprowadzeń). Na dynamikę ruchu poprzeczki mają wpływ następujące elementy:
•
siła elektrodynamiczna działająca na poprzeczkę z prądem, poruszającą się w polu
magnetycznym. Przy danym zwrocie wektora indukcji magnetycznej zwrot tej siły zależy od
kierunku przepływu prądu.
F⃗L= I ( ⃗L  ⃗
B)
•
siła oporu poprzeczki, zawierająca składową tarcia poprzeczki o szyny oraz ewentualną
siłę oporu powietrza, zależną od prędkości poprzeczki. Zwrot siły oporu jest zawsze
przeciwny do zwrotu wektora prędkości.
F T = m g b V
•
siła elektromotoryczna, generowana w poprzeczce przy jej ruchu w polu magnetycznym.
=B L V
Zwrot tej siły względem napięcia zasilającego Uo jest określony przez tzw. regułę przekory
albo regułę Lenza. Mówi ona, że generowana siła elektromotoryczna ma taki zwrot, aby
zapobiegać zmianom w układzie, w szczególności naszej sytuacji będzie zawsze skutkowała
hamowaniem ruchu poprzeczki.
•
generowanie prądu w obwodzie pod wpływem wypadkowej siły elektromotorycznej, tzn.
złożenia Uo i 
, określonego przez prawo Ohma z wartością oporności R. Napięcie
zasilające jest podłączone tak, aby wymuszać ruch poprzeczki w prawo.
I=
Uo−
R
Działanie tych czynników określa kompletną postać równania ruchu poprzeczki po szynach.
m
dV
Uo−B L V
= F L− F T = B L
−  m g − bV
dt
R
Po drobnych przekształceniach dostajemy:
dV
= a o− g −k V
dt
gdzie odpowiednie stałe dane są wzorami:
2
B LU o
ao =
mR
2
B L b
k =

mR m
Równanie to opisuje ruch poprzeczki, co oznacza, że dla prędkości początkowej Vo=0 równanie
można stosować dla a o większego od g , kiedy poprzeczka sama rusza do przodu, albo w
sytuacji V > 0.
Rozwiązanie równania dla Vo=0 ma postać:
V t  = V k  1−e− t 
gdzie:
Vk =
a o− g
B L U o − m g R
BL
g
=
=
Uo −
k
kmR
kmR
k
Po wstawieniu wartości stałej k otrzymujemy:
Vk =
B LU o
2
2
B L b R
−
mg R
2 2
B L b R
Prąd pobierany w czasie ruchu poprzeczki wynosi:
Ik =


2 2
U o−B L V k
Uo
Uo
B L
 gBL
bR
mg BL
=
1−

=
 2 2
2 2
R
R
kmR
kR
R B L b R B L b R
Pomijamy opór powietrza (b=0)
W sytuacji gdy pominiemy opór powietrza dostajemy:
Ik =
m g
BL
Oznacza to, że układ zużywa prąd tylko na pokonanie oporów tarcia (sił przeciwdziałających
ruchowi silnika), natomiast sam ruch bez oporów (bieg swobodny silnika) nie powoduje żadnego
zużycia energii ani wydzielania ciepła. Zamiast siły tarcia może tu wystąpić dowolna siła
hamująca niezależna od prędkości np. siła wykonująca pracę użyteczną.
Dodatkowo dla tego przypadku równanie na prędkość końcową przyjmuje postać:
Vk =
Uo
mg R
−
2 2
BL
B L
Po uwzględnieniu wartości na prąd końcowy dostajemy prostą i zrozumiałą relację:
Vk =
U o− R I k
BL
Po prostu prędkość musi osiągnąć wartość przy której indukowana siła elektromotoryczna
równoważy napięcie zasilania pomniejszone o spadek napięcia na oporach w obwodzie:
B LV k = U o − R Ik
Ponowne przyjrzenie się pełnym równaniom na prędkość i prąd końcowy prowadzi do istotnego
wniosku, że napisane powyżej równanie jest prawdziwe ogólnie, nie tylko dla b=0 ! Oznacza to
tylko tyle, że cała rola sił oporu, zarówno sił tarcia jak i sił oporu powietrza zostaje w pełni
uwzględniona przez wartość prądu w stanie końcowym i wniosek końcowy wiążące wielkości
mierzone w stanie końcowym prowadzi do prostego i oczywistego równania, którego sensem jest
drugie prawo Kirchhoffa.
Bilans energetyczny:
Energia
zasilania
Praca
mechaniczna
Energia
kinetyczna
Ciepło
Joula-Lorenza