X - wmiRepo

UNIWERSYTET WROCŠAWSKI
Wydziaª Matematyki i Informatyki
Instytut Matematyczny
M.Majsnerowska
rok akademicki 2013/2014
KOMBINATORYKA I ELEMENTY RACHUNKU
PRAWDOPODOBIE‹STWA
LISTA ZADA‹ (3)
1. Sprawd¹, czy liczba
!
!
!
!
!
1 + 3 + 5 + : : : + 39 + 41
40
38
4
2
0
jest mniejsza od 500.
2. Wyznacz wszystkie liczby naturalne n speªniaj¡ce nierówno±¢
!
!
!
n + n < n+1 :
3
4
3
3. Korzystaj¡c ze wzoru dwumianowego Newtona, poka», »e
!
p n! n k!
X
n
p ; n p 0;
k
p
k
(
a
+
b
)
a
b
=
p
k=0 k p k
a st¡d przez odpowiednie podstawienie
!
!
! X
p
p n! n k !
X
n
k
n
n
k
p
( 1) k p k = 0; n p 0:
=2 p ;
k=0
k=0 k p k
4. Udowodnij, »e
n n! ak
X
n (a + 1)k 1
X
;
k k = k=1
k
n n! ( 1)k+1 X
n 1
X
=
;
k
k=1 k
k=1 k
n n! ak+1
n (a + 1)k+1 1
n 1
X
X
X
=
a
;
k=1 k k(k + 1) k=1 k(k + 1)
k=1 k
!
m n + k!
X
n
+
m
+
1
n = n+1 ;
k=0
dla ustalonego n oraz m = 1; 2; : : :
k=1
5. Znajduj¡c odpowiedni¡ inerpretacj¦ kombinatoryczn¡, udowodnij,»e
!
n
X
n
k(k 1) k = n(n 1)2n 2;
k=2
!
!
! !
n r = n n k ; n r k:
k r k
r k
6. Kostka domina to para fm; ng; 0 m n 6: Ile jest ró»nych kostek?
7. Rzucamy trzema ró»nymi kostkami. Ile jest wszystkich wyników, ile z nich daje sum¦ oczek
równ¡ 6, ile 7, a ile 10?
8. Rzucamy siedem ponumerowanych kostek. Oblicz, ile jest
a) wszystkich wyników,
b) takich, w których nie pojawi si¦ ani jedno, ani dwa oczka.
9. Oblicz, ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, ile jest takich liczb o wszystkich cyfrach
ró»nych, a ile takich, które maj¡ dokªadnie dwie cyfry jednakowe.
10. Oblicz, na ile sposobów mo»na rozda¢ 20 nagród mi¦dzy 100 studentów, je±li:
a) ka»dy mo»e otrzyma¢ dowoln¡ liczb¦ nagród,
b) ka»dy mo»e otrzyma¢ co najwy»ej jedn¡ nagrod¦.
Rozwa» oba przypadki: nagród rozró»nialnych i nierozró»nialnych.
11. Test skªada si¦ z 30 pyta«, z 4 odpowiedziami na ka»de. Wiadomo, »e zawsze dokªadnie jedna
odpowied¹ jest poprawna. Oblicz, na ile sposobów mo»na wypeªni¢ test przy zaªo»eniu, »e nie
ma punktów karnych za odpowiedzi bª¦dne. A je±li s¡, co oznacza, »e mo»na tak»e wstrzyma¢
si¦ od odpowiedzi?
12. Trzech rowerzystów wioz¡cych ró»ne baga»e jedzie jeden za drugim na ró»nych rowerach.
Co godzin¦ nast¦puje zmiana kolejno±ci w szyku lub zmiana baga»u lub zmiana rowerów.
Jazda trwa tak dªugo, a» wyczerpane zostan¡ wszystkie mo»liwo±ci. Oblicz, ile godzin jad¡
rowerzy±ci.
13. Oblicz, ile jest dziewi¦ciocyfrowych numerów telefonicznych rozpoczynaj¡cych si¦ od 607 oraz
ile spo±ród nich jest takich, w których wyst¡pi¡ dokªadnie dwie 5 i trzy 7.
14. Oblicz, na ile sposobów dwudziestu pasa»erów mo»e opu±ci¢ autobus zatrzymuj¡cy si¦ na
o±miu przystankach. W ilu przypadkach
a) na ka»dym przystanku kto± wysi¡dzie,
b) na pewnym przystanku wszyscy wysi¡d¡?
15. Oblicz, ile jest ró»nych rozwi¡za« równania
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 37
a) w zbiorze liczb caªkowitych nieujemnych,
b) w zbiorze liczb naturalnych,
c) w zbiorze liczb naturalnych nie mniejszych od 5.