X - lme.zut.edu.pl

Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
5. POMIARY POJEMNOŚCI I INDUKCYJNOŚCI
ZA POMOCĄ WOLTOMIERZY, AMPEROMIERZY I WATOMIERZY
Opracował: A. Czajkowski
Na format elektroniczny przetworzył: A. Wollek
Niniejszy rozdział stanowi część skryptu:
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej, Politechnika Szczecińska, Szczecin 1984 i 1987
chronionego prawami autorskimi. Wszelkie przetwarzanie, kopiowanie i rozpowszechniane jest możliwe tylko za zgodą autorów
5.1. Wiadomości wstępne
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pośrednimi metodami pomiaru pojemności i indukcyjności za
pomocą podstawowych przyrządów pomiarowych: woltomierzy, amperomierzy i watomierzy.
Pomiarów dokonuje się przy stałej i znanej częstotliwości zasilania – najczęściej częstotliwości sieciowej. Omówione w niniejszym rozdziale metody pomiaru pojemności i indukcyjności stosuje się wtedy, gdy
nie dysponuje się innymi przyrządami umożliwiającymi wyznaczenie badanego parametru i istotna jest prostota przeprowadzenia pomiaru, dopuszczalna jest natomiast niezbyt duża dokładność pomiaru. Metody te są
szczególnie przydatne do pomiarów impedancji nieliniowych. Elementy nieliniowe charakteryzują się
zmiennym nachyleniem charakterystyki U = f (I ), tzn., że wartość impedancji danego elementu, zależy od
wartości przepływającego przez ten element prądu lub przyłożonego do niego napięcia. Przedstawione w niniejszym rozdziale metody pozwalają wyznaczyć wartość mierzonego parametru przy określonej wartości
prądu lub napięcia. Możliwe jest więc wyznaczenie charakterystyki:
wartość parametru w funkcji prądu lub napięcia, co w wielu przypadkach jest właściwym zadaniem pomiarowym. Do wyznaczania wartości parametru mierzonego w funkcji prądu lub napięcia nie są na ogół przystosowane inne podstawowe metody pomiaru parametrów C, L, M: metoda mostkowa lub metoda odchyłowa
(omomierz szeregowy zasilany napięciem zmiennym).
5.2. Schematy zastępcze kondensatorów i cewek indukcyjnych
Kondensatory i cewki indukcyjne rzeczywiste charakteryzują się, w odróżnieniu od idealnych kondensatorów i cewek indukcyjnych, pewną stratnością. W kondensatorze włączonym do obwodu elektrycznego
powstają straty energii – przede wszystkim w materiale dielektryka. Kondensator rzeczywisty może być zastąpiony rozmaitymi schematami zastępczymi złożonymi z C, R i L. Na wartości parametrów schematu zastępczego kondensatora mają wpływ głównie: konstrukcja kondensatora, rodzaj użytych do jego budowy materiałów i przedział częstotliwości, w którym rozpatrywany jest ten kondensator. Najczęściej stosowane są
schematy zastępcze budowane z punktu widzenia strat energii przy określonej częstotliwości. Kondensator ze
stratami może być przedstawiony w postaci szeregowego lub równoległego połączenia kondensatora idealnego i rezystora pobierającego taką samą moc jak kondensator rzeczywisty (rys.5.1a, 5.1b).
1
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
a)
b)
U
Rr
I R
Cs
Rs
I
I
Cr
I C
U C
U R
I
I C
I
δ
U
U R
δ
U C
U
I R
Rys. 5.1
Wartość strat określa się tzw. kątem stratności δ. Wartość kąta stratności δ może się zmieniać w funkcji
częstotliwości zwłaszcza wtedy, gdy rozpatrywany jest szeroki przedział częstotliwości. Na podstawie wykresów wskazowych (rys. 5.1) można wyznaczyć tg δ. Dla schematu szeregowego otrzymuje się:
tg    C S  RS
(5.1)
1
  C r  Rr
(5.2)
a dla schematu równoległego:
tg 
Ponieważ oba schematy są równoważne przy określonej częstotliwości, wobec tego spełniona jest równość:
RS  j
1
1

1
  CS
 j  C r
Rr
(5.3)
Z tej równości otrzymuje się zależności między równoważnymi elementami schematu szeregowego i równoległego:
C S  1  tg 2  C r
(5.4)
tg 2
 Rr
1  tg 2
(5.5)

RS 

Na ogół tg  1 i wtedy wzory (5.4) i (5.5), upraszczają się do następującej postaci:
CS  Cr  C
(5.6)
2
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
1
RS  Rr  tg 2 
(5.7)
  C 2  Rr
Schemat zastępczy cewki indukcyjnej uwzględniający powstające w niej straty energii najwygodniej
jest przedstawić w postaci szeregowego połączenia cewki idealnej o indukcyjności L i rezystora idealnego o
rezystancji R, na którym wydzieli się taka sama moc strat, przy określonej częstotliwości, jaka wydziela się
w cewce rzeczywistej (rys.5.2).
a)
b)
U
Rr
I R
Ls
Rs
I
I
Lr
I L
U L
U R
I
I L
I
δ
U
U R
δ
U L
U
I R
Rys. 5.2
Rezystancja cewki R rośnie ze wzrostem częstotliwości, co spowodowane jest stratami energii wywoływanymi przez prądy wirowe i zjawisko naskórkowości. Jednak przy małych częstotliwościach (np. częstotliwość sieci) wzrost rezystancji spowodowany tymi zjawiskami jest na tyle mały (nie przekracza na ogół
1%), że w prostych pomiarach z dostateczną dokładnością można przyjąć wartość tej rezystancji równą wartości zmierzonej przy prądzie stałym.
Jeżeli rozpatrywana jest cewka z rdzeniem ferromagnetycznym, to występują dodatkowo straty w żelazie (straty na histerezę i prądy wirowe). Indukcyjność takiej cewki (dławika) jest sumą indukcyjności głównej i indukcyjności rozproszenia. Indukcyjność główna, określona strumieniem magnetycznym w rdzeniu,
zależy nieliniowo od prądu przepływającego przez dławik. Indukcyjność rozproszenia. określona strumieniami rozproszenia zamykającymi się przez powietrze, jest stała. Na ogół indukcyjność główna jest znacznie
większa od indukcyjności rozproszenia – wyjątek stanowią dławiki podmagnesowywane prądem stałym.
5.3. Metoda amperomierza i woltomierza
Do pomiaru impedancji prądem zmiennym stosuje się, podobnie jak w przypadku pomiarów rezystancji metodą woltomierza i amperomierza, jedną z dwu metod:
3
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
1. metodę poprawnego pomiaru prądu,
2. metodę poprawnego pomiaru napięcia.
5.3.1. Metoda poprawnego pomiaru prądu
Układ do pomiaru tą metodą przedstawiony jest na rys.5.3,
a wykresy wskazowe d1a tego układu przedstawiono na rys.5.4.
I x
∙
a)
b)
Z A
= U A
I x
jXA∙I x
Rx∙I x
jXC∙I x
x ∙I
x
jXx∙I x
U
x
U
= Z
∙
x
U
U x
= Z
RA∙I x
I x
I A
∙
Z A
= A
U I x
Rx∙I x
jXA∙I x
RA∙I x
Rys. 5.4
Rzeczywistą wartość impedancji ZX można obliczyć z prawa Ohma:
ZX 
UX
IX
(5.8)
ponieważ
U X  U U A  U  I X  Z A
(5.9)
więc wartość impedancji rzeczywistej wynosi:
ZX 
U  I X Z A
IX
(5.10)
a jej moduł:
4
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
ZX 
U  IX ZA
IX
(5.11)
W trakcie wykonywania pomiaru mierzone są wartości U i IX, wobec tego wartość zmierzona modułu
'
Z X' impedancji Z X wynosi:
Z X' 
U
IX
(5.12)
'
Wartość modułu impedancji Z X różni się od modułu impedancji rzeczywistej Z X . Odejmując od sie'
bie wartości zespolone impedancji Z X i Z X , otrzymuje się:
U U I X ZA

ZA
IX
IX
'
Z X  Z X  Z X 
(5.13)
Ponieważ mierniki używane do pomiaru mierzą tylko moduły wartości mierzonych (prądu i napięcia),
wobec tego należy określić o ile różnią się wartości modułów Z X' i ZX. Na podstawie (5.13) otrzymuje się:
'
Z X  Z X  Z X  Z A
(5.14)
Oznacza to, że bezwzględny błąd metody zawiera się w granicach od – ZX do + ZA.
Warto przypomnieć, że podobną zależność ma błąd metody otrzymany dla układu do pomiaru rezystancji metodą woltomierza i amperomierza przy poprawnym pomiarze prądu ( R X 
RA
). W tym przyRX
padku możliwe było uwzględnienie w prosty sposób, w wyniku pomiaru rezystancji RX, poprawki p = –RA.
Oczywiście w przypadku pomiaru impedancji uwzględnienie poprawki wynikającej z błędu metody jest
również możliwe, a problem jest o tyle bardziej złożony, że na podstawie zależności (5.14) można oszacować tylko przedział wartości w jakim mieści się wartość obliczonego błędu ΔZX, natomiast dla określenia
wartości tego błędu w konkretnym przypadku konieczna jest znajomość zarówno modułów jak i przesunięć
fazowych (wzór 5.13). Wyznaczenie przesunięć fazowych impedancji Z X' i ZX nie zawsze jest możliwe bez
dodatkowych pomiarów, zwłaszcza gdy interesuje nas tylko wartość modułu impedancji mierzonej bez znajomości jej składowej czynnej i biernej. W przypadku, gdy uwzględnienie błędu metody nastręcza pewnych
kłopotów, należy dążyć do takiego doboru przyrządów, aby błąd metody co do wartości bezwzględnej był
jak najmniejszy. W tym przypadku możliwe jest uwzględnienie tego błędu w analizie dokładności pomiaru,
tak jak uwzględnia się błąd systematyczny pomiaru. Ponieważ błąd względny pomiaru tą metodą wynosi:
5
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
 ZX 
ZA
ZX
(5.15)
wobec tego należy ją stosować, gdy ZA << ZX.
5.3.2. Metoda poprawnego pomiaru napięcia
Układ do pomiaru tą metodą przedstawiony jest na rys.5.5,
a wykresy wskazowe dla takiego układu przedstawiono na rys.5.6.
a)
b)
IX
RX ·IX
IV
I
UX = ZX ·IX
= RV·IV
UX = ZX ·IX
= RV·IV
JXC ·IX
jXL ·IX
I
IX
IV
RX ·IX
Rys.5.6
Zgodnie z prawem Ohma:
ZX 
UX
IX
(5.16)
Ponieważ IX = I – IV, więc wartość impedancji rzeczywistej wynosi:
ZX 
UX
I  IV
(5.17)
a jej moduł:
6
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
UX
I  IV
ZX 
(5.18)
Wartość mierzona modułu impedancji wynosi natomiast:
Z X' 
UX
I
(5.19)
'
Wartość impedancji Z X różni się od impedancji rzeczywistej Z X o  Z X :
'
Z X  Z X  Z X 
UX
UX

I
I  IV
(5.20)
Ponieważ
I
UX
Z X  RV
RV  Z X
a
IV 
UX
RV
(5.21)
więc
2
Z X  
ZX
RV  Z X
(5.22)
Stąd
2
Z X  Z
'
X
 ZX
ZX

RV  Z X
(5.23)
a błąd względny wynosi
 ZX 
ZX
RV  Z X
(5.24)
Uwzględnienie błędu metody przeprowadza się analogicznie jak to przedstawiono w pkt.5.3.1. Jak wynika z
zależności (5.24.), aby błąd metody był mały, musi być spełniona nierówność: RV >> ZX.
5.3.3. Kryteria wyboru właściwej metody pomiarowej
O tym, czy do pomiaru określonej impedancji należy wybrać metodę poprawnego pomiaru prądu czy
metodę poprawnego pomiaru napięcia decyduje to, która z tych metod obarczona jest w konkretnym przypadku mniejszym błędem metody.
Jak to przedstawiono w pkt.5.3.1 i 5.3.2, przeprowadzenie analizy matematycznej błędów metod spowodowanych wpływem impedancji mierników może być niekiedy zbyt złożone, aby było celowe. Prościej
jest przesądzić, która z metod jest w danym wypadku właściwsza na drodze wstępnych pomiarów (rys.5.7).
7
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
Na podstawie tabeli 5.1 można wyznaczyć położenie przełącznika, przy którym należy dokonać pomiaru.
Tabela 5.1
L.p.
Wskazania
woltomierza
Wskazania
amperomierza
Pozycja przełącznika P,
przy której należy wykonać pomiar
1.
U1  U 2
I1  I 2
1 lub 2
2.
U1  U 2
I1  I 2
1
3.
U1  U 2
I1  I 2
2
4.
U1  U 2
I1  I 2
Zastosować amperomierz o mniejszej ZA
lub woltomierz o większej RV
Należy zwrócić uwagę, że przy ograniczonej obciążalności impedancji mierzonych mogą wystąpić
trudności w dobraniu woltomierza o wystarczająco niskim zakresie przy metodzie poprawnego pomiaru napięcia lub amperomierza przy metodzie poprawnego pomiaru prądu.
A
1
2
P
~
ZX
V
Rys. 5.7
5.3.4. Pomiary pojemności metodą amperomierza i woltom1erza
Stratność stosowanych w praktyce kondensatorów jest na tyle mała, ze można ją pominąć nie popełniając znaczącego błędu. Impedancja będzie wtedy równa reaktancji:
Z  XC 
1
  CX
(5.26)
Korzystając z metody amperomierza i woltomierza przy:
1. dokładnym pomiarze prądu, jeżeli reaktancja pojemnościowa jest duża (XC >> ZA), tzn. pojemność jest
mała (rzędu nF),
2. dokładnym pomiarze napięcia, jeżeli reaktancja pojemnościowa jest mała (XC << RV), tzn. pojemność
jest duża (rzędu μF),
8
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
wyznacza się reaktancję kondensatora XC, a stąd pojemność kondensatora:
C
1
2   f  X C
(5.27)
gdzie f – częstotliwość zasilania.
Zakres pomiarowy zależy od: czułości amperomierza, dopuszczalnej wartości napięcia i właściwego
doboru częstotliwości. W przypadku napięcia praktycznie sinusoidalnego i małej stratności kondensatora
( tan   0,01 ) należy się liczyć z błędami pomiaru wynoszącymi kilka procent (2÷5 %).
5.3.5. Pomiary indukcyjności własnej cewki powietrznej
Przy pomiarze impedancji cewek oprócz reaktancji indukcyjnej występuje rezystancja, której nie można pominąć przy pomiarach. Jeżeli pomiaru dokonuje się przy niewielkich częstotliwościach (np. 50 Hz), to
zgodnie z tym co podano w pkt.5.2., składową czynną impedancji cewki można wyznaczyć przy prądzie stałym mostkiem Wheatstone'a lub Thomsona, albo metodą woltomierza i amperomierza. Znając ZX i RX można
wyznaczyć reaktancję XL wg wzoru:
X L  Z X2  R X2
(5.28)
Indukcyjność cewki wynosi:
L
XL
XL

  2   f
(5.29)
Trzeba pamiętać, że reaktancja XL wyznaczona jest na drodze pomiaru różnicowego, który to pomiar
może być obarczony znacznym błędem. Jeżeli ZX i RX niewiele się od siebie różnią. Niepewność bezwzględna dla tego przypadku wynosi:
2
2

 

ZX
RX
U X L   
 U Z X   
 U R X 
 Z 2  R2
  Z 2  R2

X
X
X
X

 

(5.30)
a stąd niepewność względna wyraża się wzorem:
2
 Z2
  R2

U rel X L    2 X 2  U rel Z X    2 X 2  U rel R X 
 Z X  RX
  Z X  RX

2
(5.31)
Po podzieleniu liczników i mianowników przez Z X2 otrzymuje się ostatecznie:
9
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
2



1
U rel X L   
  RX
 1  
  ZX
2



2
   R 2

   X 

   Z X 



 U rel Z X   

U
R
rel
X 
2
   RX 


  1  

   ZX 

Na rys.5.8 przedstawiono jak zmieniają się składowe błędu U rel X L  przy zmianie stosunku
(5.32)
RX
.
ZX
A,B
3
1
A
R
1   X
 ZX




A
2
 RX 


 ZX 
B
R 
1   X 
 ZX 
B
1
RX
ZX
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Rys.5.8
Jak wynika z wykresu (rys.5.8) i wzoru (5.32), można praktycznie uznać, że U rel X L   U rel Z X  gdy
RX 1
 .
ZX 3
W przypadku pomiaru indukcyjności cewki z rdzeniem ferromagnetycznym rezystancja RX nie może
być wyznaczona przy prądzie stałym. Należy wobec tego zastosować metodę amperomierza, woltomierza i
watomierza omówioną w następnym punkcie. Pomiary należy wykonywać przy takiej wartości prądu, przy
której poszukiwana jest wartość indukcyjności.
5.4. Metoda amperomierza, woltomierza i watomierza
10
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
W wielu przypadkach poszukiwany jest nie tylko moduł impedancji mierzonej ale również przesunięcie fazowe tej impedancji. Znajomość przesunięcia fazowego impedancji umożliwia bowiem, jak wiadomo,
wyznaczenie składowych: czynnej i biernej mierzonej impedancji. Wyznaczenie obu składowych impedancji
możliwe jest przy zastosowaniu metody amperomierza, woltomierza i watomierza (rys.5.9).
UA
a)
b)
*
*
IX
*
*
A
W
W
A
IV
ZX
U
U
ZX
V
V
UX
IUW
Rys. 5.9
Jeżeli nie uwzględni się poboru mocy przez mierniki, to otrzymuje się:
cos  X 
P
U I
(5.33)
Analizę błędu metody przeprowadza się w tym przypadku podobnie jak w metodzie amperomierza i
woltomierza (pkt.5.3.1 i 5.3.2), uwzględniając w przypadku układu z rys.5.9a dodatkowo pobór prądu cewki
napięciowej watomierza IUW (IUW + IV – całkowity prąd pobierany przez mierniki), a w przypadku układu z
rys.5.9b – spadek napięcia na cewce prądowej watomierza UIW (UIW + UA – całkowity spadek napięcia na
miernikach).
Wyboru odpowiedniego połączenia dla układu amperomierza. woltomierza i watomierza można również dokonać w układzie wg rys.5.7, pamiętając o tym, że w tym przypadku przełącznik P musi być przełącznikiem o dwóch parach styków, z których pierwsza przełącza woltomierz (jak na rys.5.7), a druga przełącza miejsce włączenia początku cewki napięciowej.
5.5. Metoda trzech woltomierzy
11
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
Układ do pomiaru tą metodą przedstawiono na rys.5.10, a wykres wskazowy na rys.5.11.
IX
RW
jXX·I
U1
V
ZX
~
V
V
U = ZX·I
U2
φX
U1
U3
U2 = RW·I
Rys. 5.10
RX·I
I
Rys. 5.11
Zamiast trzech woltomierzy można użyć jednego woltomierza, którym mierzy się kolejno napięcia U1,
U2 i U3. Warunkiem poprawności pomiaru jest to, by rezystancja woltomierzy (woltomierza) były dostatecznie duże w porównaniu z RW i ZX, tzn. włączenie woltomierzy nie zmieniało stanu obwodu. Widać stąd, że
metodę tę należy stosować do pomiaru impedancji o małych wartościach.
Z wykresu wskazowego:
cos  X 
U 12  U 22  U 32
2 U 2 U 3
(5.34)
Znając cos  X można wyznaczyć ZX, RX, XX:
ZX 
U3 U3

 RW
I
U2
(5.35)
R X  Z X  cos  X
(5.36)
X X  Z X2  R X2
(5.37)
5.6. Metoda trzech amperomierzy
Jest to metoda analogiczna do metody trzech woltomierzy. Układ do pomiaru tą metodą przedstawiono
na rys.5.12, a wykres wskazowy na rys.5.13.
12
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
I1
U·BX
I1
A
A
I2
I3
A
ZX
~
I3
φX
RW
I2
GX·U
U
Rys. 5.12
Rys. 5.13
Warunkiem poprawności pomiaru jest (przez analogię do układu trzech woltomierzy), aby admitancje
amperomierzy były dostatecznie duże w stosunku do konduktancji GW i admitancji GX, tzn. by spadki napięć
na amperomierzach były do pominięcia. Widać stąd, że metodę tą należy stosować do pomiaru admitancji o
małych wartościach (impedancji o dużych wartościach).
Przez analogię do układu trzech woltomierzy można wyznaczyć wprost cos  X i YX, GX oraz BX:
cos  X 
I 12  I 22  I 32
2  I2  I3
(5.38)
I
I
1
1
 3  3
Z X U I 2 RW
(5.39)
GX 
1
 Y X  cos  X
RX
(5.40)
BX 
1
 Y X2  G X2
XX
(5.41)
YX 
5.7. Pomiar indukcyjności wzajemnej
Schemat połączeń układu przedstawiono na rys.5.14.
13
Materiały pomocnicze do laboratorium z Metrologii elektrycznej i elektronicznej
M
I1
I2
A
~
Z1
Z2
n1
E2
V
n2
Rys. 5.14
Do pomiaru indukcyjności wzajemnej wykorzystuje się zależność siły elektromotorycznej E2 od prądu
I1 i indukcyjności wzajemnej M:
I
t
(5.42)
E2  I    M
(5.43)
E2  M 
Wartość skuteczna indukowanej SEM wynosi:
Pomiar siły elektromotorycznej E2 powinien się odbywać bez poboru prądu przez woltomierz
(RV >> Z2), gdyż w przeciwnym razie woltomierz wskaże wartość napięcia U2 jako wartość SEM pomniejszonej o spadek napięcia na impedancji Z2:
U2  E  I 2  Z 2
(5.44)
Do tego pomiaru używa się bardzo często woltomierzy elektronicznych o rezystancjach wewnętrznych
około 1 MΩ.
Na podstawie (5.42) otrzymuje się:
M 
E2
2    f  I1
(5.45)
gdzie – częstotliwość zasilania.
Należy się liczyć z błędami pomiaru do 5 %.
LITERATURA
1. Gąszczak J., Orzeszkowski Z.: Podstawy miernictwa elektrycznego, cz. 2. PWN, Warszawa 1976
2. Lebson S.: Podstawy miernictwa elektrycznego, WNT, Warszawa 1972
14