Geometria Zadania na ćwiczenia nr 5 W. Pompe 1. Dany jest trójkąt

Geometria
Zadania na ćwiczenia nr 5
W. Pompe
1. Dany jest trójkąt o bokach 3, 4, 6. Obliczyć sinus największego kąta tego trójkąta.
Posługując się tablicami funkcji trygonometrycznych wyznaczyć przybliżone miary kątów tego
trójkąta.
2. W trójkącie o bokach a, b, c zachodzi zależność 4p(p − a) = bc (jak zwykle p oznacza
połowę obwodu). Dowieść, że jeden z kątów tego trójkąta ma miarę 120◦ .
3. Wykazać, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości wszystkich jego
boków jest równa sumie kwadratów długości przekątnych.
(Jest to tzw. reguła równoległoboku.)
4. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio
w punktach D, E, F . Udowodnić, że proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie.
5. Okręgi dopisane do trójkąta ABC są styczne do odcinków BC, CA, AB odpowiednio
w punktach D, E, F . Udowodnić, że proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie.
6. Środkowe AD, BE, CF trójkąta ABC przecinają się w punkcie S. Wykazać, że
AS BS CS
=
=
= 2.
SD SE SF
7. Punkty D i E leżą odpowiednio na bokach BC i CA trójkąta ABC, przy czym
BC = 3·CD oraz CA = 3·AE. Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie P . Proste AB i CP
przecinają się w punkcie F . Obliczyć ilorazy: AF/F B, AP/P D, EP/P B.
8. Punkt F leży na boku AB trójkąta ABC, przy czym F B = 2 · AF . Punkt P leży na
odcinku CF . Proste AP i BP przecinają boki BC i CA odpowiednio w punktach D i E.
Proste DE i AB przecinają się w punkcie G. Wykazać, że AG = AB.
9. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są
styczne do prostej AC w tym samym punkcie. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny
do boków AB i BC odpowiednio w punktach K i L, a okrąg wpisany w trójkąt ADC jest
styczny do boków AD i DC odpowiednio w punktach M i N . Wykazać, że proste AC, KL
oraz M N są równoległe lub przecinają się w jednym punkcie.
10. Na przyprostokątnych BC i CA trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, po zewnętrznej stronie, kwadraty BEF C oraz CGHA. Punkt D jest rzutem prostokątnym punktu
C na prostą AB. Wykazać, że proste AE, BH oraz CD przecinają się w jednym punkcie.
11. Trójkąt równoboczny ABC jest wpisany w okrąg o. Punkt D leży na tym łuku AB
okręgu o, który nie zawiera punktu C. Udowodnić, że AD + BD = CD.
12. Punkt P leży wewnątrz prostokąta ABCD. Wykazać, że wartość wyrażenia
AP · P C + BP · P D
jest większa lub równa od pola prostokąta ABCD.
13. Kwadrat ABCD jest wpisany w okrąg o. Punkt P leży
√ na tym łuku CD okręgu o,
który nie zawiera punktów A i B. Dowieść, że P A + P C = P B 2.