Lista zadan nr 2 z matematyki dyskretnej

LISTA ZADAŃ NR 2 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Zbiory i operacje na zbiorach, iloczyn kartezjański
1. Czy zbiory A i B są równe? Odpowiedź uzasadnij.
a) A = Ø , B = {Ø} .
b) A = {Ø} , B = {Ø,{Ø}} .
2. Wyznacz elementy następujących zbiorów:
a) A = {x ∈ Z : -2 ≤ x < 9} .
b) B = {x ∈ R : (3 - 2 x)( x + 5) = 0} .
3. Wyznacz następujące zbiory określając własności, które muszą spełniać ich elementy:
a) Zbiór liczb całkowitych nieparzystych.
b) Zbiór liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3.
c) Zbiór liczb naturalnych, które są sumą kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych.
4. Znajdź warunek charakteryzujący elementy zbiorów:
a) A = {−4, − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3, 4}.
b) B = {1, 2, 4, 8,16, 32, ...}.
 1 1 1

c) C = 1, , , , ....
 3 9 27 
d) D = {1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24}.
5. Wyznacz wszystkie podzbiory następujących zbiorów:
a) A = {a, b}.
b) B = {1, 2, 3}.
c) C = {a,{b, c}, d , e}.
6. Uzasadnij, że liczba wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego ( n ∈ N ) wynosi 2 n .
Wskazówka: zastanów się ile podzbiorów 0, 1, 2,...,k,...,n- elementowych ma ten zbiór.
Porównaj otrzymany wynik ze wzorem dwumianowym Newtona.
7. Dane są dwa zbiory A = {0,1, 2,8} , B = {0,1, 2,3, 4} . Wyznacz: A ∩ B , A ∪ B , A \ B ,
B\ A.
8. Dana jest przestrzeń U (uniwersum) oraz zbiory A i B. Wyznacz A′ i B ′ .
a) U = N , A = {0,1, 2, 3} , B- zbiór liczb naturalnych większych od 6.
b) U = Z , A = N , B- zbiór liczb całkowitych mniejszych od -2.
c) U – zbiór potęg liczny 3 o wykładniku naturalnym, A- zbiór potęg liczby 3 o wykładniku
parzystym, B = {1, 3, 9}.
9. Za pomocą diagramów Venna sprawdź czy poniższe równości są prawdziwe. Udowodnij
te, które są prawdziwe.
a) ( A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′.
b) ( A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′.
c) A ∪ ( A ∩ B) = A.
d) A ∩ ( A ∪ B) = A.
e) ( A ∪ B) \ A = B \ ( A ∩ B).
f) A \ ( A \ B) = A ∩ B.
g) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ).
h) ( A \ B) \ C ) = ( A \ C ) \ ( B \ C ).
1

10. Niech dla każdego n ∈ N + An =  x ∈ R :
≤x≤
n

a) Ai , i = 1, 2, 3, 4, 5.
3
 . Wyznaczyć zbiory:
n
∞
b)
∩A .
n
n =1
∞
c)
∪A .
n
n =1
11.Wyznaczyć iloczyny kartezjańskie A × B i B × A dla następujących zbiorów:
a) A = {0,1} , B = {1, 2, 3} .
b) A = Ø , B = {1, 2, 3} .
12. Przyjmując, że punkty na płaszczyźnie są uporządkowanymi parami (a, b) liczb
rzeczywistych, gdzie a – odcięta, b- rzędna punktu, przedstawić w układzie współrzędnych
zbiory A × B i B × A dla następujących zbiorów A i B:
a) A = {x ∈ R : 1 < x < 2} , B = {x ∈ R : 0 < x < 1} .
b) A = {x ∈ N : −1 ≤ x ≤ 1} , B = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1} .
c) A = {x ∈ R : 0 < x < 1 ∨ 2 < x ≤ 3} , B = {x ∈ R : 1 < x ≤ 2 ∨ x ≥ 3} .
d) A = N , B = {x ∈ Z : −3 ≤ x ≤ 2} .
13. Udowodnić wzory:
a) ( A ∩ B) × C = ( A × C ) ∩ ( B × C ) .
b) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) .
c) A × ( B \ C ) = ( A × B) \ ( A × C ) .
Dorota Majorkowska-Mech